2025-2026学年上海师大附属外国语中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海师大附属外国语中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.1．已知集合，全集，则．2．若扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10，则该扇形的面积为．3．函数的定义域是．4．已知，是第三象限角，则的值为．5．函数，，的最大值是．6．若实数、满足，则的最小值是．7．关于的方程有解，则实数的取值范围是．8．若幂函数的图象不经过原点，则的值为．9．若函数，的定义域是，，值域是，，则．10．函数是定义在上偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为．11．已知函数在区间上恒有，则实数的取值范围是．12．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是．二、选择题：每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．下列各式正确的是（）A． B． C． D．14．函数的图象大致为（）A． B． C． D．15．函数在区间，上的图像是连续不断的，则“（1）（2）”是“函数在区间上没有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知函数，有下列两个结论：①的值域为；②对任意的正有理数，存在奇数个零点则下列判断正确的是（）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．已知函数的定义域为集合，集合．（1）当时，求；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．18．已知，求下列各式的值：（1）；（2）．19．某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建个每日得分（单位：分）与当日阅读时间（单位：分钟）的函数关系．要求如下：阅读的部分图像接近图示；每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分；每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分；每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①；②；③．（1）请你根据以上要求选择合适的函数模型并求出其解析式；（2）若该校要求每日得分不少于5分，每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数）20．（18分）已知函数的表达式为．（1）求函数的零点；（2）解不等式：；（3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围．21．（18分）已知函数（其中为常数）．（1）当时，求在上的值域；（2）若当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，是否存在正数，使得对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案一、填空题（共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．已知集合，全集，则或．解：集合，则或．故答案为：或．2．若扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10，则该扇形的面积为．解：根据，可得扇形的圆心角，结合扇形的半径，可得该扇形的面积．故答案为：．3．函数的定义域是，，．解：由题意可得，解得且，所以函数的定义域为，，．故答案为：，，．4．已知，是第三象限角，则的值为．解：因为，是第三象限角，则，所以．故答案为：．5．函数，，的最大值是0．解：．因为，，所以时，函数的最大值为0．故答案为：0．6．若实数、满足，则的最小值是．解：因为实数、满足，所以，当且仅当时取等号．故答案为：．7．关于的方程有解，则实数的取值范围是，，．解：方程有解，即有解，即直线与曲线有交点，又，，故，解得或．故答案为：，，．8．若幂函数的图象不经过原点，则的值为2．解：由幂函数的定义知，，即，解得或；当时，，幂函数，不经过原点，符合题意；当时，，幂函数，经过原点，不合题意，舍去；所以．故答案为：2．9．若函数，的定义域是，，值域是，，则1或．解：由题意得，当，在，上单调递增，由题意得（1），（2），解得，，则当时，在，上单调递减，由题意得（1），（2），解得，，则．故答案为：1或．10．函数是定义在上偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为，、，．解：根据题意，当时，，在区间，上，为减函数，在，上，为增函数，又由是定义在上偶函数，在区间，上，为减函数，在，上，为增函数，故的单调减区间为，、，．故答案为：，、，．11．已知函数在区间上恒有，则实数的取值范围是．解：由对数函数的图象性质，或由在区间上恒成立，得即由在区间上恒成立，得即故答案为12．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是，．解：令，解得，令，解得，因为函数的值域为，，又当时，，，则函数的最大值只能在时取，所以，且函数的最大值必须大于等于0，则，综上，实数的范围为，，故答案为：，．二、选择题：每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．下列各式正确的是（）A． B． C． D．解：根据，可知项不正确；由，可知项不正确；根据，可知项不正确；由，，且，可得，所以项正确．故选：．14．函数的图象大致为（）A． B． C． D．解：因为，易知，故选项和错误；令，，因为是定义域上的增函数，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以选项正确，选项错误．故选：．15．函数在区间，上的图像是连续不断的，则“（1）（2）”是“函数在区间上没有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：因为函数在区间，上的图像是连续不断的，当（1）（2）时，不能推出函数在区间上没有零点，故充分性不成立；当函数在区间上没有零点时，能推出（1）（2），故必要性成立，则“（1）（2）”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件，故选：．16．已知函数，有下列两个结论：①的值域为；②对任意的正有理数，存在奇数个零点则下列判断正确的是（）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对解：对于①，显然为无理数时，，则的值域中不包含负无理数，故①错；对于②，的零点为，当为有理数时，必有为解；当为无理数时，，必有或无解，所以的零点个数为3个或1个，故②对．故选：．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．已知函数的定义域为集合，集合．（1）当时，求；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．解：（1）已知函数的定义域为集合，则，则，则，当时，，则；（2）若是的必要条件，则，则，则，则实数的取值范围为，．18．已知，求下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）由题意得；（2）因为，，所以．19．某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建个每日得分（单位：分）与当日阅读时间（单位：分钟）的函数关系．要求如下：阅读的部分图像接近图示；每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分；每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分；每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①；②；③．（1）请你根据以上要求选择合适的函数模型并求出其解析式；（2）若该校要求每日得分不少于5分，每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数）解：（1）根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型，所以选对数型模型，故选函数模型③；由题意可知，在上，所以，解得，，所以，令，可得，解得，所以函数的解析式为：；（2）令，可得，即，解得，所以每天得分不少于5分，至少需要阅读66分钟．20．（18分）已知函数的表达式为．（1）求函数的零点；（2）解不等式：；（3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围．解：（1）由，可得，即，解得，故函数零点为；（2）由，可得，即，解得，解得，故不等式的解集为，；（3）由，可得，即，由题意此方程有且只有一个实数解，令，则，问题转化为：方程有且只有一个正数根，（1）当时，，不合题意；（2）当时，若△，则或，若，则，符合题意；若，则，不合题意；若△，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得；综上，实数的取值范围是．21．（18分）已知函数（其中为常数）．（1）当时，求在上的值域；（2）若当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，是否存在正数，使得对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）函数，当时，，导数为，在，上为减函数，在，上为增函数，当，或时，函数最大值，当时，函数取最小值2，故在，上的值域为，；（2）若