2025-2026学年上海市普陀区长征中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市普陀区长征中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）.1．在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为．2．直线与的夹角的大小为．3．椭圆的离心率为．4．已知双曲线，则它的焦距为．5．函数的导函数．6．已知直线与直线相互平行，则实数的值是．7．曲线在处的切线方程是．8．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为．9．将化简为椭圆标准方程的形式，结果为．10．已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是．11．已知、，，则直线与圆：的位置关系是．12．若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有．①；②；③；④二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13．已知曲线表示圆，则的取值范围是（）A． B． C． D．，，14．“是函数的驻点”是“是函数的极值点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．曲线的图象（）A．关于轴对称 B．关于原点对称，但不关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称，关于直线对称16．设为曲线上的任意一点，记到的准线的距离为．若关于点集和，，给出如下结论：①任意，中总有2个元素；②存在，使得．其中正确的是（）A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．已知△三个顶点的坐标分别为、、，求：（1）边所在直线的方程；（2）边上的中线所在直线的方程．18．已知．（1）求函数的单调减区间；（2）求函数在，上的最大值和最小值．19．已知圆．（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（2）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长．20．（18分）已知，分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，两点，△面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，直线与交于点．①求直线的方程；②记，的面积分别为，，求的最大值．21．（18分）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数．（1）求函数在点，的切线方程；（2）已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？（3）若函数在定义域上为最小正周期为的奇函数，判别其导函数的奇偶性和周期性，并说明理由．

参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为．解：因为抛物线的焦点为，设抛物线的标准方程为，所以，所以，所以抛物线的标准方程为．故答案为：．2．直线与的夹角的大小为．解：直线的斜率不存在，故它的倾斜角为，的斜率为，故它的倾斜角为，故这两条直线的夹角的大小为，故答案为：．3．椭圆的离心率为．解：由椭圆的标准方程可知，，故答案为4．已知双曲线，则它的焦距为．解：双曲线方程，可得，显然双曲线为焦点在轴上，且，故双曲线的焦距为．故答案为：．5．函数的导函数．解：因为函数，所以．故答案为：．6．已知直线与直线相互平行，则实数的值是．解：由题意，，解得，检验：当时，与平行．故答案为：．7．曲线在处的切线方程是．解：因为，所以，所以当时，，，故，化简可得：．故答案为：．8．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为．解：由已知设双曲线的方程为，将，代入得，故双曲线方程为．故答案为：．9．将化简为椭圆标准方程的形式，结果为．解：由题可得：动点到定点和的距离之和为，可得动点的运动轨迹为以点和为焦点的椭圆，且，故，，可得．故椭圆方程为：．故答案为：．10．已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是．解：由题可得可得，如下图示，所以．故答案为：．11．已知、，，则直线与圆：的位置关系是相切．解：把圆：化为标准方程是：，所以圆心坐标为，，半径为，又圆心到直线的距离为，所以直线与圆的位置关系是相切．故答案为：相切．12．若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有②③④．①；②；③；④解：，，由题意，方程即有两个正根，设为，，则有，，△，，，，即．故答案为：②③④．二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13．已知曲线表示圆，则的取值范围是（）A． B． C． D．，，解：（1）将化为，因为曲线表示圆，所以，即或．故的取值范围是，，．故选：．14．“是函数的驻点”是“是函数的极值点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：驻点不一定是极值点，如，，充分性不成立，极值点也不一定是驻点，如，，必要性不成立．故选：．15．曲线的图象（）A．关于轴对称 B．关于原点对称，但不关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称，关于直线对称解：根据题意，曲线，设，则有，，，，即曲线的图象不关于轴对称，则有，，，，即曲线的图象关于原点对称，则有，，，，即曲线的图象不关于轴对称，则有，，，，即曲线的图象关于直线对称，则有，，，，即曲线的图象关于直线对称，依次分析选项：符合；故选：．16．设为曲线上的任意一点，记到的准线的距离为．若关于点集和，，给出如下结论：①任意，中总有2个元素；②存在，使得．其中正确的是（）A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立解：曲线的焦点，则，由得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的圆心，当点在原点处时，，此时，此时点的轨迹方程为，因为，所以点在圆外，则存在，使得两圆相离，即，故①错误，②正确，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．已知△三个顶点的坐标分别为、、，求：（1）边所在直线的方程；（2）边上的中线所在直线的方程．解：（1）因为，，所以直线的斜率为，故所求直线的方程为，即．（2）因为，，所以的中点为，不妨记，又，所以直线的斜率为，故所求直线的方程为，即．18．已知．（1）求函数的单调减区间；（2）求函数在，上的最大值和最小值．解：（1）的定义域为，且，令，可得，函数的单调递减区间为；（2）令，可得或，则的单调递增区间为，，在区间，上，，随的变换情况如下表：130011单调递减极小值单调递增59函数在，上的最大值为59，最小值为．19．已知圆．（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（2）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长．解：（1）将圆的方程化成标准形式为，其中圆心为，半径为5，设点关于直线的对称点为，则，解得，，圆的标准方程为．（2）直线可变形为，该直线恒过点，当该直线与直线垂直时，其与圆相交的弦长最短，由（1）知，点为，直线的斜率，，，直线方程为，此时圆心到直线的距离，弦长，故当时，直线与圆相交的弦长最短，最短弦长为．20．（18分）已知，分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，两点，△面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，直线与交于点．①求直线的方程；②记，的面积分别为，，求的最大值．解：（1）由题意可得，且，解得，，所以椭圆的方程为．（2）①设，，，，则直线的方程为，因为直线与直线垂直，所以直线的方程为，又因为，所以，所以，所以点的横坐标为，同理可得点的横坐标为，所以直线的方程为．②设直线，联立，得，所以，同理，可得，联立解得，同理，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．21．（18分）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数．（1）求函数在点，的切线方程；（2）已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？（3）若函数在