2025-2026学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷一、填空题（满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）.1．直线的斜率是．2．已知为等差数列，，，则公差．3．已知向量平行于向量，则．4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．5．平行直线与间的距离为．6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为．7．已知数列满足，，则．8．已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是．9．数列的通项公式，则．10．圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则．11．已知实数、、、满足，则的最小值为．12．某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽为2米，渠深到直线的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米）二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）.13．已知空间向量，则向量的模为（）A．1 B．3 C．9 D．，，14．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（）A． B． C． D．15．设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数的取值范围是（）A．， B． C． D．16．已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题：①曲线关于原点中心对称；②曲线与直线恒有交点；③曲线上的点到原点的距离的最小值为；④存在直线与曲线有且仅有一个交点．其中正确的命题序号为（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）.17．已知直线和直线，其中为实数．（1）若，求的值；（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，求直线的方程．18．如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点、分别在棱和棱上，且，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的大小；（3）求点到平面的距离．19．已知数列满足：，，且对任意正整数都成立．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值．20．（18分）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数、，满足，且．”（1）请将该命题类比到空间中，并证明．（2）在四面体中，已知，，，点在平面内，且满足．①求的值；②求的值．21．（18分）已知抛物线，焦点为．（1）若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度；（2）已知、为上两点，且．求△面积的最小值；（3）抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点（点在点、之间），点满足，记△、△的面积分别为、，求的最小值．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）.1．直线的斜率是0．解：直线的图像如图所示：易知其倾斜角，其斜率．故答案为：0．2．已知为等差数列，，，则公差2．解：为等差数列，，，可得，所以．故答案为：2．3．已知向量平行于向量，则．解：已知向量平行于向量，则，解得，所以．故答案为：．4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．解：方程表示焦点在轴上的椭圆，则，即．故答案为：．5．平行直线与间的距离为．解：根据直线与互相平行，可得，解得，所以直线的方程为，即．因此，两条平行直线、之间的距离．故答案为：．6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为．解：由题意得，，解得，，双曲线的方程是，故答案为：．7．已知数列满足，，则．解：因为，，所以，，，所以数列是周期为3的周期数列，所以．故答案为：．8．已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是．解：由可得，联立，可得，，故直线过定点，因为，，故直线的斜率或或不存在．故直线的倾斜角且．故答案为：．9．数列的通项公式，则．解：数列中，，可得，故数列是公差为2，首项为3的等差数列，由等差数列的性质可得：数列亦是等差数列，且公差为4，首项为3，所以．故答案为：．10．圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则8．解：由椭圆定义得①，②．①②得，，即△的周长为，将装置中的去掉，激光从发出经Ⅰ两次反射后返回，不妨设，激光从发出后经处反射后经过，再由处反射后返回，如图，由椭圆定义知△的周长为，一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，经过的路程为△的周长为，将装置中的去掉，激光从发出经Ⅰ两次反射后返回，经过的路程为△的周长为，因为光线的速度相同，且双曲线与椭圆共焦点，所以．故答案为：8．11．已知实数、、、满足，则的最小值为．解：因为，所以，，所以满足圆，满足直线，由题意，要求的最小值，即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值，因为圆，即，圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最短距离为，所以的最小值为．故答案为：．12．某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽为2米，渠深到直线的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为0.71米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米）解：如图，建立平面直角坐标系，由题意知，，当所挖的土方量最少时，梯形的面积最小，且等腰梯形的两腰均与抛物线相切，设右侧切线与轴交于点，与梯形的上底交于点，切点为．设抛物线的方程为，将的坐标代入方程可得，所以曲线段的方程为．设，，因为，所以在处的切线的斜率为，所以切线的方程为，即，将代入可得，所以；将代入可得，所以，根据等腰梯形的对称性可得其面积为，当且仅当，即时等号成立，此时水渠的底部宽度为米．故答案为：0.71．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）.13．已知空间向量，则向量的模为（）A．1 B．3 C．9 D．，，解：因为是空间两两垂直的单位向量，所以，故．故选：．14．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（）A． B． C． D．解：由于等差数列的前项和为，若，，故，，整理得，故，所以，故，所以的最大值为．故选：．15．设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数的取值范围是（）A．， B． C． D．解：因为，，所以，因为数列是递增数列，所以，解得，即，故实数的取值范围是．故选：．16．已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题：①曲线关于原点中心对称；②曲线与直线恒有交点；③曲线上的点到原点的距离的最小值为；④存在直线与曲线有且仅有一个交点．其中正确的命题序号为（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④解：由题意知直线，的斜率均存在，故可设，，由，得，去分母后可得，整理，得，即点的轨迹（曲线方程为．对于①，将，分别替换为，得，方程不变，故曲线关于原点中心对称，故①正确．对于②，联立与，得，即，解得，但需满足，即，由，得，所以当时，曲线与直线有交点；当时，曲线与直线没有交点，故②错误；对于③，曲线上的点到原点的距离，由，，得，所以，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，此时，即曲线上的点到原点的距离的最小值不是，所以③错误；对于④，因为曲线的方程可转化为，取直线，将代入，得，即存在直线与曲线有且仅有一个交点，故④正确．所以说法正确的有①④．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）.17．已知直线和直线，其中为实数．（1）若，求的值；（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，求直线的方程．解：（1）若，则直线，即，，两直线垂直，符合题意；若，则，解得．综上所述，或0．（2）由在直线上，则，解得，故显然直线的斜率一定存在且不为0，设直线的方程为，令，可得，再令，可得，在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，所以，解得或，所以直线的方程为或．18．如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点、分别在棱和棱上，且，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的大小；（3）求点到平面的距离．解：（1）证明：直三棱柱中，，以为原点，以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，2，、，0，、，0，，所以，，设平面的一个法向量为，则，得，令，则，，得到平面的一个法向量，又，0，，，1，，，因为，所以，又平面，所以平面；（2）易知平面的一个法向量为，则，所以平面与平面所成二面角是或；（3）因为，0，，，所以点到平面的距离．19．已知数列满足：，，且对任意正整数都成立．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值．解：（1）证明：因为，对一切正整数成立，所以，即，因为，，所以，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列；（2）由（1）得，所以通过累加得，当时，满足上式，综上所述，；（3），从而，所以，当无限增大，的值越来越趋近于0且小于0，所以的值越来越趋近于且小于，所以对任意正整数，不等式恒成立时，，即实数的最小值为．20．（18分）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数、，满足，且．”（1）请将该命题类比到空间中，并证明．（2）在四面体中，已知，，，点在平面内，且满足．①求的值；②求的值．解：（1）类比空间中命题是：“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数、、，满足，且．”证明如下：①若平面，由向量共面的充要条件知，存在实数、，使得，由向量的加法与减法运算知，，所以，令，，，则，且；②若，且，则，即，根据向量共面的充要条件知，、、共面，即、、、四点共面，所以点在平面内；综上，“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数、、，满足，且．”（2）①由（1）的结论知，，平面，所以，解得，所以，因为，，，所以；②因为，所以，所以．21．（18分）已知抛物线，焦点为．（1）若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度；（2）已知、为上两点，且．求△面积的最小值；（3）抛物线的准线与轴的交点为