2025-2026学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．垂直于同一平面的两直线（填“平行”，“垂直”，或“异面”．2．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了1000辆汽车的相关信息，时间是从某年的9月1日到下一年的9月1日，共发现有300辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是．3．正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为．4．圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角．5．若地球半径为，则北纬线长度为．6．已知棱锥的高为18，底面积为81，若用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的截面面积为16，则截得棱台的高为．7．如图，一个底面半径为1的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和4，则该几何体的体积为．8．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若为底面的中心，为中点，则直线与平面所成角的大小为．9．从，3，4，中先后两次随机取元素（取出的元素可相同），则这两个元素的和是3的倍数的概率为．10．如图，在正六棱柱中，为底面的中心，，，是上的动点，当时，有．11．已知点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，若使的点的轨迹长度为；使直线平面的点的轨迹长度为；使直线与平面所成角为的点的轨迹长度为，则．12．四棱锥中，，，，，，△内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等，则长的最小值为．二选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知事件，满足（A），（B），则（）A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立14．如图，正三棱柱的高为4，底面边长为，是中点，是线段上的动点，是线段的中点，设三棱锥体积为，则下列说法正确的是（）A．点运动时，发生变化 B．点运动时，不变，恒为 C．点运动时，不变，恒为 D．点运动时，不变，恒为15．如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，连接，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为（）A．点 B．点 C．点 D．点16．若正四面体、正四面体和正八面体（如图所示）的棱长均为，把它们拼接起来，使表面、分别与表面、重合，则所得多面体共有个面．A．6 B．8 C．10 D．12三解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．解答题的辅助线痕迹要画在“答题纸”的图上．使用空间向量解答一律不得分．17．已知四边形是矩形，是平面外一点，平面．（1）求证：平面平面；（2）若，，求异面直线与所成角的大小．18．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为．（1）试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．19．某电视台举办“读经典”知识挑战赛．初赛环节，每位选手先从，，三类问题中选择一类，该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．再次选择的一类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．（Ⅰ）已知选手甲先选择类问题且回答正确，接下来他按照，的顺序对各类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；（Ⅱ）由于选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，故可将回答顺序和顺序视为同一个顺序；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由．

参考答案一填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．垂直于同一平面的两直线平行（填“平行”，“垂直”，或“异面”．解：垂直于同一平面的两直线平行．故答案为：平行．2．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了1000辆汽车的相关信息，时间是从某年的9月1日到下一年的9月1日，共发现有300辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是0.3．解：由题意，共收集了1000辆汽车的相关信息，有300辆汽车的挡风玻璃破碎，所以一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是．共答案为：0.3．3．正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为．解：正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径：．故答案为：．4．圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角．解：圆锥底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为；所以扇形的圆心角为．故答案为：．5．若地球半径为，则北纬线长度为．解：设北纬线所在圆的半径为，则，可得，故北纬线长度为：．故答案为：．6．已知棱锥的高为18，底面积为81，若用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的截面面积为16，则截得棱台的高为10．解：在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比对应高的比．又棱锥的高为18，底面积为81，若用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的截面面积为16，相似比为．，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比为：，故截得的小棱锥的高为8，则截得棱台的高为：．故答案为：10．7．如图，一个底面半径为1的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和4，则该几何体的体积为．解：由已知圆柱底面半径为，即直径为2，用同样的几何体补在上面，可得一个半径，高为的圆柱，其体积为，所求几何体的体积为．故答案为：．8．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若为底面的中心，为中点，则直线与平面所成角的大小为．解：作出示意图如下：根据题意可知三棱柱的为正三棱柱，取的中点，连接，，则平面，所以直线与平面所成角为，设正三棱的高为，则正三棱的体积为，所以，又，，所以，所以直线与平面所成角为．故答案为：．9．从，3，4，中先后两次随机取元素（取出的元素可相同），则这两个元素的和是3的倍数的概率为．解：从，3，4，中先后两次随机取元素（取出的元素可相同），基本事件个数，这两个元素的和是3的倍数包含的基本事件有：，，，，，则这两个元素的和是3的倍数的概率为．故答案为：．10．如图，在正六棱柱中，为底面的中心，，，是上的动点，当时，有．解：以下底面的中心为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：因为，，设，则，2，，，1，，，1，，，0，，，，，可得，，，故，，，，1，，，可得，解得．故答案为：．11．已知点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，若使的点的轨迹长度为；使直线平面的点的轨迹长度为；使直线与平面所成角为的点的轨迹长度为，则．解：若点到点的距离为2，则点的轨迹为球的表面与正方体交轨，在平面内，的轨迹为以为圆心，2为半径的圆弧，由对称性知，这样的圆弧同样在平面内和平面内，故的轨迹长度；若平面，则点的轨迹为过点且平行于平面的平面与正方体交轨，而平面平面，所以点的轨迹长度为三角形的周长（除掉点，不影响周长），故，若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体交轨，在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；在平面为内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；在平面内是以点为圆心，2为半径的圆弧，如图，故点的轨迹长度为，所以．故答案为：．12．四棱锥中，，，，，，△内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等，则长的最小值为．解：在四棱锥中，延长交于点，令，，由，，得，又，则，，由，，得，则，，，，，，设点到底面距离为，依题意，由，得，则，，而，则，，令，，当，即，时，，所以长的最小值为．故答案为：．二选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知事件，满足（A），（B），则（）A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立解：由于对立事件的概率和为1，但（A）（B），错误；若事件与事件互斥，则（A）（B），错误；若事件与事件互斥，则，不可能同时发生，即，错误；因为，所以事件与事件相互独立，正确．故选：．14．如图，正三棱柱的高为4，底面边长为，是中点，是线段上的动点，是线段的中点，设三棱锥体积为，则下列说法正确的是（）A．点运动时，发生变化 B．点运动时，不变，恒为 C．点运动时，不变，恒为 D．点运动时，不变，恒为解：由题意知，平面，点，所以点到平面的距离相等，为，又因为为的中点，所以点到平面的距离为，又因为，所以三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为，是定值．故选：．15．如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，连接，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为（）A．点 B．点 C．点 D．点解：线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、不相交，因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段、相交，对选项，如图，连接、、，因为、分别为、的中点，易证，故、、、四点共面，与相交，错误；对、选项，如图，连接、，易证、、、四点共面，故、都与相交，、错误；对选项，连接，由选项分析知、、、四点共面记为平面，平面，平面，且平面，点，与为异面直线，同理由，选项的分析知、、、四点共面记为平面，平面，平面，且平面，点，与为异面直线，故与，都没有公共点，选项正确．故选：．16．若正四面体、正四面体和正八面体（如图所示）的棱长均为，把它们拼接起来，使表面、分别与表面、重合，则所得多面体共有个面．A．6 B．8 C．10 D．12解：如图所示，二面角和的大小为，二面角和的大小为，故，，，，五点共面，且，，三点共线；同理，，，，五点共面；二面角和的大小为，二面角和的大小为，故，，，四点共面，，，，四点共面，且均构成菱形．这样，拼接后的多面体共有6个面，它们分别为：，，，，，．故选：．三解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．解答题的辅助线痕迹要画在“答题纸”的图上．使用空间向量解答一律不得分．17．已知四边形是矩形，是平面外一点，平面．（1）求证：平面平面；（2）若，，求异面直线与所成角的大小．解：（1）证明：作出示意图如下：因为平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）若，，因为四边形是矩形，所以，，又根据（1）可知，所以异面直线与所成角为，又，所以异面直线与所成角的大小为．18．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为．（1）试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．解：（1），；；（2）．19．某电视台举办“读经典”知识挑战赛．初赛环节，每位选手先从，，三类问题中选择一类，该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．再次选择的一类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．（Ⅰ）已知选手甲先选择类问题且回答正确，接下来