2025-2026学年上海中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1．在与角终边相同的角中，最大的负角为．2．函数的定义域为．3．已知钝角满足，则．4．已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数．5．已知和它的反函数的图像都经过，则．6．已知是奇函数，则实数的值为．7．已知锐角满足，钝角满足，则．8．“”是“”的条件．9．函数的值域为．10．已知函数满足，对任意实数均成立．若（1），（2），则．11．已知存在最小值，则实数的取值范围是．12．已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）13．化为弧度是（）A．180 B． C． D．14．已知定义域为的函数在，上严格增，且其图像关于直线对称．令，，（3）．这三个数的大小关系为（）A． B． C． D．15．已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若（2），则函数在区间，上零点个数的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．916．已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为，考虑如下两个命题：命题甲：若且函数，的最小正周期为，则；命题乙：若且函数，的最小正周期为，则．下列说法中正确的是（）A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题三、解答题（共48分）17．已知角满足．（1）请判断角属于第几象限；（2）求的所有可能取值构成的集合．18．（1）求函数的所有零点构成的集合；（2）解不等式．19．某产品初始售价为单件100元，初始销量为件．现决定采取降价措施，经市场调研得知：单件降价元后，销量将会是初始销量的倍．假设该产品成本为单件50元，售价必须是正整数且高于成本．（1）请将总利润（单位：元）写成单件售价（单位：元）的函数；（2）当总利润最大时，单件售价为多少元？20．已知函数，的图像关于点成中心对称．（1）求的值；（2）求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性；（3）若对任意都有成立，求实数的取值范围．21．若函数和的定义域均为，且对任意两个不同的实数，均有（a）（b）或（b）（a）成立，则称和为一对相关函数．（1）判断函数，，中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）；（2）已知函数和是一对相关函数，求实数的取值范围；（3）小菲说：“对任何一对相关函数和，只要存在正实数使得对任意实数恒成立，我都一定能找到一个正整数使得对任意，均有”，请判断小菲说法的正误并进行证明．

参考答案一、填空题（每题3分，共36分）.1．在与角终边相同的角中，最大的负角为．解：与角终边相同的角为，，当时，取最大的负角．故答案为：．2．函数的定义域为且．解：由题可得：，解得且．故答案为：且．3．已知钝角满足，则．解：因为钝角满足，所以，则．故答案为：．4．已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数2．解：根据题意，函数是幂函数，则有，解可得或，若，，是偶函数，符合题意，若，，是奇函数，不符合题意，故．故答案为：2．5．已知和它的反函数的图像都经过，则．解：由和它的反函数的图像都经过，可得过和，故，解得，故．故答案为：．6．已知是奇函数，则实数的值为．解：由是奇函数，可得定义域关于原点对称，又，解得且，故，解得．故答案为：．7．已知锐角满足，钝角满足，则．解：因为锐角满足，钝角满足，所以，，则．故答案为：．8．“”是“”的必要不充分条件．解：当时，，但，没有意义，充分性不成立，当时，，必要性成立．故答案为：必要不充分．9．函数的值域为，．解：，令，则，所以．时，；时，．时，，所以，所以；时，，所以，所以．综上所述，，即函数的值域为，．故答案为：，．10．已知函数满足，对任意实数均成立．若（1），（2），则1．解：令，则（1）（2）（3）（1）（2）（3），因为（1），（2），所以（3）（3），即（3），令，则（2）（3）（4）（2）（3）（4），因为（2），（3），所以（4）（4），即（4），令，则（3）（4）（5）（3）（4）（5），因为（3），（4），所以（5）（5），即（5），令，则（4）（5）（6）（4）（5）（6），因为（4），（5），所以（6）（6），即（6），综上，（1）（4），（2）（5），（3）（6），猜想的周期为3，下面进行证明：将替换为，得，又，两式相减得，，移项得，，因为不恒为0，所以，即，所以函数的周期为3．所以（1）．故答案为：1．11．已知存在最小值，则实数的取值范围是，．解：当时，第一段函数在为增函数，函数值的范围为，无最小值，不满足题意；当时，第一段函数为常函数；第二段函数在，为减函数，函数值的范围为，，第三段函数在，上为增函数，函数值的范围为，，所以，当时，函数的值域范围为，，有最小值；当，时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为，；第二段函数在，为减函数，函数值的范围为，，第三段函数在，上为增函数，函数值的范围为，，此时，，，所以，当，时，函数的值域范围为，，有最小值．当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为，；第二段函数在，为减函数，函数值的范围为，，第三段函数在，上为增函数，函数值的范围为，，此时，，即，，即，所以时，函数的值域范围为，，不存在最小值，当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为；第二段函数在，为减函数，函数值的范围为，，第三段函数在，上为增函数，函数值的范围为，，所以函数的值域为，无最小值；当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为，，且，第二段函数与第三段函数在对应的区间上的函数值为非负数，所以函数的值域为，，无最小值，综上，函数有最小值，实数的取值范围是，．故答案为：，．12．已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是．解：令，即，①如图，当左侧相切时，此时，即只有一个解，，整理得，△，解得或（舍去），时，有2个零点，时，有3个零点；②如图，当左侧直线过时，，解得或（舍去），当时，有4个零点，时，有3个零点；③如图，当右侧过时，，解得或（舍去），当时，有2个零点，时，有3个零点；④如图，当右侧相切时，又，则只有一个解，，整理得，△，解得或（舍去），当时，有4个零点；时，有3个零点；时，有2个零点；综上，函数恰有2个零点，正实数的取值范围为．故答案为：．二、选择题（每题4分，共16分）13．化为弧度是（）A．180 B． C． D．解：．故选：．14．已知定义域为的函数在，上严格增，且其图像关于直线对称．令，，（3）．这三个数的大小关系为（）A． B． C． D．解：定义域为的函数在，上严格增，且其图像关于直线对称，所以在上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，又，，（3），因为，，，又，所以（3），即．故选：．15．已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若（2），则函数在区间，上零点个数的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．9解：已知函数是定义域为的奇函数，故．又3是它的一个周期，即对所有成立．由已知（2），根据周期性，（5），故是零点；由奇函数性质，（2），再由周期性，（1），故是零点；进一步，（4），故是零点；（3），故是零点；（6）（3），故是零点．综上，函数在区间，上的零点为0，1，2，3，4，5，6，共7个．故函数在区间，上零点个数的最小值为7．故选：．16．已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为，考虑如下两个命题：命题甲：若且函数，的最小正周期为，则；命题乙：若且函数，的最小正周期为，则．下列说法中正确的是（）A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题解：命题甲：取函数，，，，满足，函数，，，命题甲是假命题；命题乙：取函数，，，，满足，函数，，，命题乙是假命题，所以甲和乙均为假命题．故选：．三、解答题（共48分）17．已知角满足．（1）请判断角属于第几象限；（2）求的所有可能取值构成的集合．解：（1）由，得在第一或第二象限，即，，故，，当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限，因此，属于第一或第三象限．（2）设，，整理得，解得，即或，因此，的所有可能取值构成的集合为．18．（1）求函数的所有零点构成的集合；（2）解不等式．解：（1）令得，，当时，，即，等式成立，所以是函数的一个零点，当且时，由指数函数的单调性可知，，解得或2，综上所述，函数的所有零点构成的集合为，2，；（2）由不等式，可得，解得或，所以不等式的解集为，，．19．某产品初始售价为单件100元，初始销量为件．现决定采取降价措施，经市场调研得知：单件降价元后，销量将会是初始销量的倍．假设该产品成本为单件50元，售价必须是正整数且高于成本．（1）请将总利润（单位：元）写成单件售价（单位：元）的函数；（2）当总利润最大时，单件售价为多少元？解：（1）由题意，，销量，所以总利润，是正整数）；（2），是正整数），则，由，解得，，是正整数时，，函数单调递增，，是正整数时，，函数单调递减，，所以单件售价为75元或76元时，总利润最大．20．已知函数，的图像关于点成中心对称．（1）求的值；（2）求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性；（3）若对任意都有成立，求实数的取值范围．解：（1）函数的图像关于点成中心对称，所以，所以；（2）由（1）得，令，则，易得为奇函数且时有定义，先考虑时的单调性，在上单调递增，上单调递减，根据奇函数的对称性可得，在上单调递增，在上单调递减，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；（3）若对任意都有成立，因为，所以，令，又，，，因为．则，解得不存在．实数的取值范围为．21．若函数和的定义域均为，且对任意两个不同的实数，均有（a）（b）或（b）（a）成立，则称和为一对相关函数．（1）判断函数，，中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）；（2）已知函数和是一对相关函数，求实数的取值范围；（3）小菲说：“对任何一对相关函数和，只要存在正实数使得对任意实数恒成立，我都一定能找到一个正整数使得对任意，均有”，请判断小菲说法的正误并进行证明．解：（1）函数，，中有3对相关函数，即函数与是相关函数对；函数与是相关函数对；函数与是相关函数对；若与不为相关函数对，则（a）（b）且（b）（a），则（a）（b）（b）（a），所以只要（a）（b）（b）（a）即可，当，时，（a）（b）（b）（a），所以函数与是相关函数对；当，时，（a）（b