2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算

第一章

空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系第1课时空间向量的坐标及运算课程标准：1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量线性运算的坐标表示.3.掌握空间向量的数量积的坐标表示．教学重点：1.空间向量坐标的定义.2.空间向量运算的坐标表示．教学难点：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角问题．核心素养：1.通过学习空间向量坐标的定义培养数学抽象素养.2.通过利用空间向量的坐标运算解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一空间向量的坐标(1)单位正交基底一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是______向量，而且这三个向量__________，就称这组基底为单位正交基底．(2)向量的单位正交分解在__________________向量的分解称为向量的单位正交分解．(3)向量的坐标如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组___________为向量p的坐标，记作____________，其中x，y，z都称为p的坐标分量．单位两两垂直单位正交基底下(x，y，z)p＝(x，y，z)[提醒]

(1)单位正交基底中的向量两两互相垂直且长度为1，即|e1|＝|e2|＝|e3|＝1，e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0.(2)空间中任一向量在一组单位正交基底下的坐标是唯一的．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)x1x2＋y1y2＋z1z2|a|知识点三空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，(1)a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔__________________________⇔_________________.当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔_________________；(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔___________________________．(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0[想一想]

(1)向量平行的条件是a≠0，那么可以b＝0吗？(2)a⊥b需要a，b都为非零向量吗？提示：可以b＝0，因为规定零向量与任意向量平行，那么此时λ＝0.提示：不需要，因为一旦a，b其中有一个为零向量，且约定零向量与任意向量都垂直，所以还是可以推出a·b＝0；若a，b都为零向量，同样可以推出a·b＝0.1．(空间向量的坐标)若{e1，e2，e3}是单位正交基底，已知p＝e1＋2e2－e3，则向量p的坐标为________________．2．(空间向量的运算与坐标的关系)已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，－3，0)，c＝(7，－2，1)，则a＋b＋c＝________________．3．(空间向量的坐标与空间向量的夹角)已知a＝(0，3，3)，b＝(－1，1，0)，则两向量的夹角的大小为________．4．(空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________．(1，2，－1)(5，－3，6)60°核心素养形成题型一空间向量的坐标表示(2)设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(

)A．(12，14，10) B．(10，12，14)C．(14，12，10) D．(4，3，2)解析

∵p＝8a＋6b＋4c，a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，∴p＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)．故选A.【感悟提升】若i，j，k为两两垂直的单位向量，有序实数组(x，y，z)使得p＝xi＋yj＋zk，我们把(x，y，z)称为向量p在单位正交基底{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)．题型二空间向量的坐标运算

例2

(1)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)．(2)已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，若c＝e1＋xe2－e3，且(a＋c)·b＋a·c＝4，求x的值．解

由题意，得a＝(3，2，－1)，b＝(－1，0，3)，c＝(1，x，－1)，则(a＋c)·b＝(4，2＋x，－2)·(－1，0，3)＝－4＋0－6＝－10，a·c＝(3，2，－1)·(1，x，－1)＝3＋2x＋1＝4＋2x，故－10＋4＋2x＝4，解得x＝5.【感悟提升】空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题先将空间向量用坐标表示，再准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)求参数问题写出向量的坐标形式，根据题中条件建立方程(组)，解方程(组)即可求出参数．【跟踪训练】2．已知a＝(2，－4，1)，b＝(3，2，0)．求：(1)a－b；(2)2a＋b；(3)－3b；(4)a·(a－b)．解:(1)a－b＝(2，－4，1)－(3，2，0)＝(－1，－6，1)．(2)2a＋b＝2(2，－4，1)＋(3，2，0)＝(7，－6，2)．(3)－3b＝－3(3，2，0)＝(－9，－6，0)．(4)因为a－b＝(－1，－6，1)，所以a·(a－b)＝2×(－1)＋(－4)×(－6)＋1×1＝23.题型三空间向量的模和夹角的计算【感悟提升】1．求向量的模的两种基本策略2．利用数量积求两向量夹角的步骤【跟踪训练】3．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)．求：(1)|a＋b－2c|；(2)cos〈a－b，b－c〉．题型四空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直

例4已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．(1)若|c|＝3，d＝b－a，且c∥d，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.【感悟提升】解决空间向量平行与垂直问题的策略【跟踪训练】4．设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求分别满足下列条件时，实数x的值．(1)a∥b；(2)a⊥b.随堂水平达标1．已知向量a＝(1，－2，1)，a＋b＝(3，－6，3)，则b＝(

)A．(2，－4，2) B．(－2，4，2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)解析：b＝(a＋b)－a＝(3，－6，3)－(1，－2，1)＝(2，－4，2)．故选A.2．已知向量p在基底{a＋b，b＋c，c＋a}下的坐标为(0，2，1)，则p在基底{a，b，c}下的坐标为(

)A．(0，1，2) B．(1，2，3)C．(1，3，2) D．(3，2，1)解析：由向量p在基底{a＋b，b＋c，c＋a}下的坐标为(0，2，1)，得p＝0×(a＋b)＋2(b＋c)＋1×(c＋a)＝a＋2b＋3c，所以p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)．故选B.5．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝________，y＝________．－4课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点求单位向量已知向量垂直求参数已知向量平行求参数空间向量的坐标表示求向量的夹角和模；判断向量垂直求向量的投影由坐标运算求参数题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点已知向量的夹角求参数的取值范围已知向量平行、垂直求参数；求向量夹角的余弦值已知向量垂直求参数；求向量的模；由坐标运算求参数已知向量的夹角求参数的取值范围空间向量的坐标运算求向量的夹角；向量模的最值问题与坐标运算有关的新定义问题2．已知向量a＝(x，2，3)，b＝(3，－4，－3)，若(a＋b)⊥a，则x＝(

)A．－4 B．4C．－4或1 D．4或－1解析：因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝x2＋13＋3x－17＝0，解得x＝－4或1.故选C.二、填空题6．已知向量a＝(2，3，2)，b＝(1，1，0)，则a在b上的投影的坐标为_____________．7．已知向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(x，4，z)，且a，b，c共面，在以下三个条件中①x＝1；②x＝0；③x＝－2选取一个作为已知，则z的值可以为_________________________________．－22或－12或8(只需写出一个)8．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若向量a＋kb与2a＋b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是________________________．三、解答题9．已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.求：(1)a，b，c；(2)a与b＋c夹角的余弦值．10．已知向量a＝(1，3，2)，b＝(－2，1，4)，c＝(5，1，x)．(1)若a⊥c，求实数x的值；(2)求|2a－b|；(3)若a，b，c不能构成空间向量的一组基底，求实数x的值．11．若向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)，且a与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为(

)A．(－∞，5)B．(－∞，－4)∪(－4，5)C．(－∞，5]D．(－∞，－4)∪(－4，5]