小学五年级数学《一个数除以小数的算理与算法》教学设计

小学五年级数学《一个数除以小数的算理与算法》教学设计

  一、设计理念与理论框架

  本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深刻把握小学数学核心素养，特别是“运算能力”与“推理意识”的内涵与培养路径。我们认识到，“一个数除以小数”并非孤立的知识点，而是整数除法、小数乘法、商不变性质等核心概念的逻辑汇聚与认知飞跃。教学将摒弃机械的算法灌输模式，转向“理解性数学”的深度建构。我们以建构主义学习理论为基底，认为学习是学习者在原有认知基础上主动建构意义的过程。因此，设计将着力于制造认知冲突，引导学生在解决真实问题的驱动下，通过操作、观察、比较、推理、概括等系列化数学活动，自主完成对算理的本质理解与对算法的自主建构。同时，融入社会建构主义视角，强调合作学习与对话交流在知识社会化建构中的关键作用。整个教学过程，将贯彻“以学生为中心”的原则，视学生为积极的探索者和意义的创造者，教师的角色则是设计者、促进者和高阶思维的激发者。

  二、学情分析与前测诊断

  教学对象的认知起点分析至关重要。经过前期的学习，五年级学生已牢固掌握：整数除法的计算方法（包括试商、调商）；小数除以整数的算理与算法（商的小数点与被除数小数点对齐）；商不变的性质及其在简算中的应用；小数点的移动引起小数大小变化的规律。然而，从“除数是一位（或整数）的小数”跨越到“除数是任意小数”，对学生而言是一个重大的认知节点。常见的迷思概念包括：将被除数与除数的小数点盲目地同时去掉或随意移动；认为商一定比被除数小（受除数是整数的正迁移影响）；在进行竖式计算时，无法正确处理转化后商的定位问题。前测可通过一道开放题进行诊断，如：“请尝试计算7.65÷0.85，并写出你的思考过程。”预期将收集到直接移动小数点、将除数转化为85但不知如何处理被除数、尝试将小数化为分数等多种原始策略，这些都将成为课堂探究的宝贵资源。

  三、学习目标与核心素养指向

  基于课标要求与学情分析，设定以下多维度的学习目标。在知识与技能层面，学生能理解并掌握一个数除以小数的计算方法，能正确、熟练地进行笔算，并能在实际问题中加以应用。在过程与方法层面，学生经历将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法的探索过程，体验“转化”这一核心数学思想方法，发展观察、比较、分析、归纳和推理的能力。在情感、态度与价值观层面，学生感受数学知识之间的内在联系，获得运用已有知识解决新问题的成功体验，培养严谨认真的计算习惯和探索精神。本课学习目标直接指向的核心素养包括：运算能力（理解算理、掌握算法、寻求合理简洁的运算途径）、推理意识（通过逻辑推理探究算理依据）、模型意识（从具体算例中抽象概括出普适性计算法则）。

  四、教学重难点及突破策略

  教学重点确定为：理解并掌握一个数除以小数的计算算理，特别是“为什么要把除数和被除数同时扩大相同的倍数”。教学难点在于：理解算理背后的数学本质（商不变性质），并能灵活、准确地在竖式计算中实现转化与定位。为突破重难点，拟采用以下策略：其一，创设“人民币兑换”这一高度结构化且蕴含数量关系不变性的真实情境，为“转化”提供直观意义支撑。其二，设计多层次探究活动，从“估一估”建立数感，到“画一画”（利用面积模型或线段图）进行直观表征，再到“算一算”（利用商不变性质进行推理），最后到“说一说”（小组交流明确算理），实现从具体到抽象的思维爬坡。其三，运用对比分析，将学生的不同原始算法与标准算法进行对比，聚焦核心争议点（小数点的处理），在思辨中达成共识。

  五、教学资源与技术支持

  准备多媒体课件，动态演示小数点移动与除法算式的转化过程。准备实物投影仪，用于展示学生探究单及不同算法。设计并印制分层探究学习单，内含情境问题、操作指引、算法对比栏和巩固练习。学生自备练习本、笔、直尺。考虑利用交互式白板的拖拽、书写功能，增强师生、生生互动。同时，准备一些实物道具（如仿制人民币、长度可伸缩的纸条）作为学具，供有需要的学生进行具身化操作。

  六、教学实施过程详案

  （一）第一阶段：创设情境，冲突导入——在真实问题中激发探究欲（预计用时：8分钟）

  师：同学们，随着全球化的发展，出国旅游、留学或进行跨国网购变得越来越普遍。这时，我们常常会遇到一个实际问题——货币兑换。（课件出示情境图：小明和妈妈去英国旅游，看中一个标价7.65英镑的纪念品。当时的汇率大约是1英镑兑换8.5元人民币。）请问：这个纪念品折合多少元人民币？

    学生迅速根据“总价=单价×数量”的数量关系列出算式：8.5×7.65。这是一个小数乘法问题，学生可轻松解决。

  师：如果我们换个角度思考。小明妈妈手中有65.25元人民币，她想知道这些钱大约能兑换多少英镑？该如何列式呢？

    引导学生分析：求能兑换多少英镑，就是求65.25元人民币里面包含了多少个8.5元（因为每8.5元换1英镑）。列式为：65.25÷8.5。这是一个除数是小数的除法。

  师：再来看一个更贴近我们生活的问题。（课件出示：妈妈买了0.85千克的核桃，总共花了7.65元。每千克核桃多少钱？）

    学生齐声：7.65÷0.85。

  师：观察这两个除法算式，65.25÷8.5和7.65÷0.85，与我们之前学过的除法算式有什么显著不同？

    学生发现并指出：除数都是小数。

  师：是的，这就是我们今天要深入研究的核心问题——“一个数除以小数”。（板书课题）面对这样一个新问题，你的第一感觉是什么？有什么疑问？

    预设学生反应：觉得有点难；不知道小数点该怎么处理；能不能像以前一样直接除？

  师：伟大的数学家笛卡尔说过：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，一切代数问题都可以转化为方程问题，而一切方程问题都可以转化为解方程问题。”对我们来说，今天的关键就是“转化”。我们能否运用已经掌握的知识，把这个“新问题”转化成一个我们熟悉的“老问题”呢？让我们带着这个核心任务开始今天的探索之旅。

  （二）第二阶段：多元探究，深度建构——在操作与思辨中理解算理（预计用时：22分钟）

  本阶段是教学的核心环节，分为三个层次推进，旨在让学生亲历算理的“发现”过程。

  层次一：初步感知，估算引路。

  师：首先，我们聚焦问题“7.65元买0.85千克核桃，单价是多少？”在不计算的前提下，请你先估一估，每千克核桃的价格大概是比7.65元多，还是少？为什么？

    学生独立思考后交流。预设：学生会发现，因为买的千克数（0.85）小于1千克，所以总价7.65元对应的单价应该比7.65元多。教师追问：你能估出一个大概的范围吗？比如在7元到10元之间吗？通过估算，学生不仅建立了数感，也为后续精确计算的结果提供了检验的参照，更重要的是，他们初步感知到“除数小于1时，商大于被除数”这一规律，打破了原有的思维定势。

  层次二：多维探究，理解算理。

  探究活动：以小组为单位，利用学习单，尝试用多种方法计算7.65÷0.85，并记录下你的思考过程。教师提供以下“脚手架”供学生选择使用：1.画图法（如线段图、面积模型图）；2.单位换算思想；3.商不变的性质；4.将小数转化为整数。

    学生分组探究，教师巡视指导，重点关注不同思维路径的生成，并选取有代表性的方法准备展示。

  小组汇报与全班交流：

  方法一（单位转化法）：生1：0.85千克=850克，7.65元=765分，问题就变成了765分买850克，求每克多少钱？765÷850=0.9（分/克），再换算回来，0.9分/克=9角/克=0.9元/千克？等等，好像不对。（此时学生可能陷入单位换算的混乱中）教师引导：大家觉得这个方法本质是什么？它把除数和被除数同时乘了100，变成了整数除法。但单位换算过程容易出错，有没有更通用的方法？

  方法二（商不变性质推理法）：生2：我们根据商不变的性质。因为7.65÷0.85的商，与（7.65×100）÷（0.85×100）的商是一样的，也就是765÷85。这样就把除数是小数的除法，变成了除数是整数的除法，我们会算。

  师：为什么可以这样做？依据是什么？

  生2：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。

  师：非常棒！你们抓住了核心的数学原理。那么，为什么要选择同时乘100呢？

  生2：因为0.85是两位小数，乘100就能把它变成整数85。为了商不变，被除数7.65也必须同时乘100。

  方法三（直观模型辅助法）：生3：我们画了一个长方形表示总价7.65元，它的宽是0.85千克，长就是单价。如果把宽（0.85）扩大到原来的100倍变成85，要想让面积（总价）表示的数值不变，长（单价）就必须不变，那么面积（总价）的数值也必须扩大到原来的100倍，变成765。所以还是计算765÷85。（教师利用课件动态演示这一面积模型的伸缩变化过程，将抽象的“同时扩大”直观化）

  师：感谢三个小组的精彩分享。虽然方法不同，但同学们发现它们的共同点了吗？

    引导学生总结共同策略：都是想办法把除数0.85变成整数85。为了实现这个转化，必须同时改变被除数，并且要保证“商”这个我们要求的结果不变。而保证“商不变”的数学法宝，就是“商不变的性质”。至此，算理的核心得以凸显。

  层次三：尝试竖式，明确算法。

  师：理解了算理，我们如何用竖式清晰、规范地表达这个计算过程呢？请大家尝试列竖式计算7.65÷0.85。

    学生试做，教师巡视，收集典型写法。预计会出现两种主要写法：一种是先写出原式7.65÷0.85，然后在旁边或上方标注转化的过程；另一种是直接在竖式中体现转化。

  投影展示学生竖式：

  写法A：先写7.65÷0.85，然后划去除数和被除数的小数点，在旁边写上“×100”，再计算765÷85。

  写法B：直接写出竖式，将除数0.85的小数点划去，看作整数85，同时将被除数7.65的小数点也向右移动两位（划去原小数点，在5后面点上新的小数点），再计算765÷85。

  师：两种写法都体现了转化。哪种写法更简洁，并且能直接在竖式中体现出“商的小数点”的位置关系？

    通过讨论，学生明确写法B更优。教师示范标准竖式书写：

  1.先写除号，把除数0.85和被除数7.65写入。

  2.将除数0.85的小数点向右移动两位，变成整数85。为了商不变，被除数7.65的小数点也必须向右移动两位。

  3.被除数7.65只有两位小数，移动两位后，位数不够，需要在末尾用“0”补足吗？引导学生观察：7.65小数点右移两位后，变成了765，整数部分已经完整，无需补零。这里是一个易错点，需强调：移动小数点后，被除数变成了整数，就直接按整数对待。

  4.在新的竖式下，计算765÷85。商9写在个位上（因为现在是用765除以85），85×9=765，余数为0。

  师：现在的“9”是相对于谁写的？它对应原被除数的哪一位？商的小数点应该点在哪里？

    关键讨论：现在的“9”是765除以85的商，765对应原被除数7.65扩大100倍后的结果。由于商不变，所以这个“9”就是原题的商。它表示9个“一”，所以是个位。而原被除数7.65的个位是“7”，所以商“9”应该对齐被除数7.65的个位“7”。因此，商的小数点应该点在“9”的右下角，与被除数转化前的小数点对齐。这是一个至关重要的定位法则。教师板书强调：转化后的除法，商的小数点要与被除数移动后的小数点对齐（实质上就是与原被除数的小数点对齐）。

  （三）第三阶段：抽象概括，模型内化——在对比辨析中形成算法（预计用时：8分钟）

  师：我们成功攻克了7.65÷0.85。是不是所有“一个数除以小数”的问题都可以这样解决呢？请同学们用刚才探索出的方法，独立计算以下两道题，并思考计算步骤是怎样的。

    尝试题1：12.6÷0.28（被除数小数位数比除数少）

    尝试题2：0.546÷0.16（被除数和除数都是小数，且被除数小数位数多）

  学生独立计算后，全班交流订正。针对尝试题1，重点讨论：除数0.28变成28，小数点右移两位。被除数12.6只有一位小数，移动两位位数不够怎么办？必须在末尾添“0”补足两位，变成1260。针对尝试题2，讨论商的位置定位。

  师：现在，请大家结合我们解决这几个问题的过程，以小组为单位，讨论并概括一下：计算一个数除以小数，一般要分哪几个步骤？每一步需要注意什么？

    小组讨论后，全班共同总结计算法则（教师板书，学生完善笔记）：

  1.看：先看清除数有几位小数。

  2.移：把除数的小数点向右移动几位，使它变成整数。同时，被除数的小数点也向右移动相同的位数。（位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足。）

  3.算：按照除数是整数的小数除法进行计算。

  4.点：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐（即与原被除数的小数点对齐）。

  师：这个法则的精髓是什么？它背后的“灵魂”是什么？

    引导学生再次回顾“商不变的性质”，深刻理解算法每一步都是为了保证商不变。将“转化”思想提升到方法论的高度。

  （四）第四阶段：分层应用，拓展延伸——在变式练习中发展素养（预计用时：10分钟）

  练习设计遵循“基础巩固→变式深化→综合应用→思维拓展”的梯度。

  1.基础巩固营：直接应用法则进行竖式计算。如：4.68÷1.2，0.196÷0.56，10.8÷4.5。要求书写规范，说清步骤。

  2.变式诊断台：出示典型错例，请学生扮演“小医生”进行诊断和纠正。

  错例1：计算2.4÷0.06，学生写成2.4÷0.06=24÷6=4。（错误：被除数只移动了一位，除数移动了两位，移动位数不同。）

  错例2：计算3.5÷0.5，竖式中将除数0.5变成5，被除数3.5变成35后，商7写在十位上，点上小数点得0.7。（错误：商的位置定位错误，未与被除数原小数点对齐。）

    通过辨析错例，深化对算理和算法细节的理解。

  3.综合应用场：解决实际问题。

  （1）一辆汽车0.8小时行驶了64.8千米，照这样的速度，行驶182.25千米需要多少小时？

  （2）妈妈用一根长6.4米的丝带包装礼盒，每个礼盒需要0.75米，这根丝带最多可以包装几个这样的礼盒？还剩多少米？

    第（2）题涉及“去尾法”取近似值，引导学生根据实际情况灵活处理计算结果，培养应用意识。

  4.思维拓展域（供学有余力学生探究）：

  （1）不计算，你能直接判断下面各题的商比被除数大还是小吗？为什么？

    5.28÷1.2，5.28÷0.12，5.28÷1，5.28÷0.99

    引导学生发现规律：除数大于1，商小于被除数；除数小于1（0除外），商大于被除数；除数等于1，商等于被除数。这一规律是对估算环节的深化和理论总结。

  （2）已知A÷B=2.46，如果A和B的小数点同时向左移动一位，那么商是多少？如果只把B的小数点向右移动两位，商又是多少？

    本题考察对商不变性质及其逆运用的深度理解，培养学生的逆向思维和推理能力。

  （五）第五阶段：反思总结，评价提升——在回顾展望中构建体系（预计用时：2分钟）

  师：同学们，回顾今天的探索之旅，我们是如何一步一步学会“一个数除以小数”的？你最大的收获是什么？还有哪些疑问？

    引导学生从知识、方法、思想等多个层面进行反思总结。

  知识层面：掌握了除数是小数的除法的计算法则。

  方法层面：我们运用了“转化”的方法，把新知识转化为旧知识（除数是整数的小数除法）来解决。

  思想层面：深刻体会到“商不变性质”的强大作用，感受到了数学知识之间严密的逻辑联系。

  师：转化，是数学中一种极其重要的思想。在未来，我们还会遇到更多复杂的新问题，希望你们都能像今天一样，善于联系已有知识，运用转化的钥匙，去开启一扇扇新知识的大门。课后，请大家完成分层作业单，并预习下一节内容，思考在计算中如果遇到被除数位数不够或商中间有0的情况，该如何处理。

  七、板书设计（结构化呈现思维过程）

  板书分为三个区域：左侧为核心问题与算式区，中间为探究算理过程区，右侧为算法法则总结区。

  [左侧]

  一个数除以小数

  核心问题：7.65÷0.85=？

  转化思想：新问题→老问题

  [中间]

  探究之路：

  为什么转？除数是小数，不便计算。

  依据是什么？商不变的性质。

  怎么转？除数0.85→（×100）→85

    被除数7.65→（×100）→765

  计算：765÷85=9

  定位：商9→对齐原被除数个位

  [右侧]

  计算法则：

  1.看—除数小数位数

  2.移—除数、被除数同向右移

    （位数不够“0”补足）

  3.算—按整数除法算

  4.点—商点对齐被除数（原）点