2026年6月宁波九校高二期末数学试题

绝密★考试结束前

2025学年

宁波市期末九校联考高二数学试题

第二学期

第I卷原牛考院

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知A、B为两个随机事件，则“A、B为互斥事件”是“A、B为对立事件”的。

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

2.已知集合U={1,2,3}，则U的所有子集中的元素之和为。

A.6B.12C.18D.24

3.下列说法中正确的是。

A.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1

B.若随机变量X服从正态分布N(3,o²),且P(X≤4)=0.7,则P(2<X<4)=0.4

C.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x²≈6.852,根据小概率值α=0.005的x²独

立性检验：o=7.879,可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%

D.一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第60百分位数为4

4.已知x⁴+4x³+7x²+7x+3=(x+m)⁴+A(x+m)²+B(x+m)+C,则实数m=.

A.1B.-1C.2D.-2

5.已知如果存在实数m,使得对任意的实数x,都有f(m)≤f(x)≤f(m+1)

成立，则の的最小值为。

A.1B.2C.πD.2π

6.在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c,已知C=2B,b=2,c=3,则△ABC的面积为。

7.现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色、绿色和蓝色。同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰

子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为X,绿色骰子掷出的点数为Y,下列

结论中正确的是。

A.P(X+Y=12)=P(X=6)P(Y=6)B.P(X=5|Y=4)=P(X=4|Y=5)

C.E(X+Y)=10D.D(X+Y)=4D(X)

8.已知三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA>PB>PC,且P在底面ABC内的射影在

△ABC的内部（不包括边界），二面角P-AB-C,二面角P-BC-A,二面角P-AC-B

的大小分别为α,β,γ，则.

A.α>β>γB.y>α>βC.α<γ<βD.α<β<y

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知向量a,b满足|a=1,|b|=1|a+b|=√3,则下列说法正确的是。

A.a与b夹角为C.|a-b|=1D.a-b与b夹角为

B

宁波市九校联考高二数学试题第1页共4页

10.在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为菱形，PA=2,AB=PB=PD=√5,AC=2√3,PC=2√2,

则下列说法正确的是。

A.异面直线PA与CD所成角的正切值为2

B.异面直线BD与PC垂直

C.直线PA与平面ABCD所成角为60°

D.四棱锥P-ABCD的棱上恰有3个异于A的点M(i=1,2,3),

使得直线AM，与直线PA所成角均为第10题图

11.已知函数f(x)的定义域为[0,+∞],且f(x+2)=(x).当x∈(0,2)时，

设k为大于1的正整数，则下列四个结论中正确的是。

A.存在x₀∈(0,1),使得f(2x。)=x₀且f(3x₀)=x₀

B.方程f(hx)=x的解的个数为k

C.若为方程f(kx)=x的解，则k的最小值为4

D.对任意有理数x₀∈(0,1),存在k,使得f(kx₀)=x₀

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知i是虚数单位，则|

13.在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2,A₁B₁=4,异面直线C₁D₁与AA₁所成角为60°，设二

面角A-A₁B₁-D₁的大小为θ，则tanθ=_▲

14.平面中的3个单位向量a,b,c满足a·b=[a·c]+[b.c]（其中[x]表示不超过实数x的最大整数）

,则|a+b+c|的取值范围是_▲·

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的

变革。某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整

理得到如图所示的频率分布直方图。

（1）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在[90,100]范围

的人数，求X的分布列；

(2）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在[80,100]范围的人

数，求Y的分布列.频率

组距

0.024

0.020

0.016

0.010

5060708090100(满意度评分)

宁波市九校联考高二数学试题第2页共4页

16.已知函数且定义域为（-1,1）.

，

（1）判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）利用单调性的定义证明：f(x)在（-1,1）上单调递减；

（3）求不等式f(1-Inm)+f(1-(lnm²)<0的解集。

17.在长方体ABCD-AB₁C₁D₁中，AB=BC=2,AA₁=3,E为棱AB上一动点。

（1）求证：A₁C⊥B₁D₁;

（2）当BC₁//平面A₁CE时，求线段AE的长度；

（3）在（2）的条件下，求底面正方形ABCD的内切圆上点P到平面A₁CE距离的最大值。

宁波市九校联考高二数学试题第3页共4页

18.设锐角三角形△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

（1）求角A的大小；

(2）若边BC上中线AD的长度为√6，求VABC面积的最大值；

（3）若点O为△ABC所在平面内一点，且满足（OA+OB)·AB=(OB+OC)·B

C=0,求sin²∠BOC-cos²∠AOC的取值范围。

19.一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细

菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为死亡的概率也为分裂生成的新细菌亦如此，当

，，