2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．“若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是命题（填“真”或“假”．2．若球的表面积为，则该球的半径为．3．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为．4．已知，，，则．5．如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为．6．如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有个．7．如图为正六棱柱．其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有条．8．如图，点、分别是直角三角形的边、上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为．9．用一平面去截球所得的截面面积为，已知球心到该截面的距离为，则该球的体积是．10．已知为线段上的点，且，若，到平面距离分别为1和3，则到的距离为．11．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为．12．如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点．给出下列四个结论：①存在点，存在点，满足平面；②任意点，存在点，满足平面；③任意点，存在点，满足；④任意点，存在点，满足．其中所有正确结论的序号是．二、单选题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）13．两条异面直线所成角的范围是（）A． B． C． D．14．设，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件15．如图，已知、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线16．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24降雨量的等级划分如下：等级降雨量（精确到小雨中雨大雨暴雨在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是如图所示），则这降雨量的等级是（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨三、解答题17．如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：（1），，，四点共面；（2）平面平面．18．如图所示圆锥中，为底面的直径．，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为．（1）求圆锥的表面积；（2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小．19．如图，已知正方体．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成的角的大小．20．（18分）如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为和，高．（1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小；（2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．21．（18分）如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的侧面积和体积；（2）求三棱锥体积的最大值；（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．

参考答案一、填空题1．假．2．．3．1．4．或．5．3．6．4．7．5．8．．9．．10．或．11．．12．①③．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题18．解：（1）因为圆锥中，为底面的直径，，分别为母线与的中点，，圆锥的高为，所以，所以底面圆的半径为，所以母线长为，所以圆锥的表面积；（2）证明：如图，连接，，取中点，连接，，，则易知平行且等于的一半，又平面，平面，且，所以根据异面直线的判定定理可得与是异面直线；由，可得与所成角为或其补角，因为，所以可得三角形为等边三角形，所以，，，，所以，所以，所以与所成角为．19．解：（1）证明：由题意，在正方体中，，平面，平面，平面；（2）证明：平面，平面，，在正方形中，，又，且平面，平面，平面．（3）设正方体棱长为2，，连接，由（2）得，平面，所以，即所求直线与平面所成的角．在中，，，则，即，故所求直线与平面所成的角的大小为．20．解：（1）设正方形，的中心分别为，，连接，则平面，分别取，的中点，，连接，，，则，．又，分别为等腰梯形底边，的中点，所以，由，可得四边形是一个直角梯形，，又，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱台上、下底面的边长分别为和，高．则，所以．所以侧面与底面所成二面角的大小为；（2）设圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高，则圆台的体积为．又正四棱台的体积，所以削去部分的体积，所以削去部分与正四棱台的体积之比为．21．解：（1）圆柱的侧面积圆柱的体积