寒假基础巩固计划｜高中高一数学集合与函数讲义

202X1寒假巩固核心目标说明演讲人2026-07-10XXXX有限公司202X目录寒假巩固核心目标说明01模块综合应用与易错题辨析04函数概念与基本性质模块核心知识点梳理与典型题练03集合模块核心知识点梳理与典型题练02寒假自主巩固进度安排建议05寒假基础巩固计划｜高中高一数学集合与函数讲义目录1寒假巩固核心目标说明2集合模块核心知识点梳理与典型题练3函数概念与基本性质模块核心知识点梳理与典型题练4模块综合应用与易错题辨析5寒假自主巩固进度安排建议作为从事高中数学教学近十年的一线教师，我见过太多高一学生刚升入高中时，因为不适应高中数学的逻辑密度和知识跨度，在集合与函数模块留下大量知识漏洞，后续学习三角函数、数列、导数等内容时步步吃力。寒假是没有新课压力的黄金巩固期，这份讲义就是专门针对高一学生设计的基础巩固材料，覆盖集合与函数模块的所有核心考点、易错题和解题方法，大家按照内容循序渐进推进，就能彻底夯实这部分的基础。XXXX有限公司202001PART.寒假巩固核心目标说明1认知层面目标很多同学刚学集合与函数的时候，只会机械背公式做题，没有理解这两个模块的底层意义。集合是整个高中数学的通用描述语言，后续所有模块的问题都会用集合来表述取值范围、解集等内容，你首先要做到能熟练用集合语言转化各类数学问题，不需要额外花时间理解集合表述的含义。函数是高中代数体系的核心框架，后续所有的初等函数、导数、数列本质上都是函数的延伸，你要理解函数的对应逻辑，而不是只记几个性质模板。我往年带的学生里，凡是能吃透函数底层逻辑的，高二高三的代数学习都比其他同学轻松至少40%。2能力层面目标这个寒假的巩固要实现三个能力达标，第一是集合类题型零失误，所有基础题、中等题都能快速找到解题切入点，避开常见陷阱；第二是函数核心性质的应用熟练，拿到单调性、奇偶性相关的题目，能快速形成解题思路，不需要反复翻笔记；第三是参数分类讨论的逻辑清晰，遇到带参数的集合、函数问题，能按照标准逻辑分类，不会出现漏情况的问题。3应试层面目标集合与函数模块在高一上学期期末考试中占比在35%到45%之间，在高考中属于必考的基础题，分值在10到15分左右，这部分的分数是必须全部拿到的，不能有任何失分。寒假巩固结束后，你做这部分的专项测试卷，得分率要稳定在95%以上，才算基础过关。XXXX有限公司202002PART.集合模块核心知识点梳理与典型题练1核心基础知识点梳理1.1集合的基本概念集合是由确定的元素构成的整体，元素具有三个核心特性，分别是确定性、互异性、无序性。其中确定性是判断一组对象能不能构成集合的核心标准，比如“个子高的同学”就不能构成集合，因为没有明确的身高标准，不满足确定性。互异性是考试最高频的考点，也就是集合里的元素不能重复，只要题目里出现元素属于集合、集合相等的条件，你求出参数之后必须带回集合检验，确认没有重复元素，不然很容易出现多解的错误。无序性就是集合里的元素排列顺序不影响集合本身，比如由1和2构成的集合和由2和1构成的集合是同一个集合。1核心基础知识点梳理1.2集合的表示方法常用的集合表示方法有三种，分别是列举法、描述法、图示法。列举法适合元素数量较少的集合，直接把所有元素列出来就行。描述法是考试最常考的表示方法，你一定要先看清楚代表元素是什么，比如由满足y等于x的平方的x构成的集合，代表元素是x，指的是函数y等于x的平方的定义域，也就是全体实数；由满足y等于x的平方的y构成的集合，代表元素是y，指的是函数y等于x的平方的值域，也就是大于等于0的实数；由满足y等于x的平方的有序数对x和y构成的集合，代表元素是有序数对，指的是抛物线y等于x的平方上的所有点，这三个集合完全不一样，很多同学做题的时候不看代表元素，直接看后面的表达式，很容易出错。图示法包括韦恩图和数轴，是做集合运算的辅助工具，尤其是带范围的集合运算，画数轴标出来能极大降低出错概率。1核心基础知识点梳理1.3集合间的基本关系集合间的基本关系包括子集、真子集、相等三种。如果集合A的所有元素都属于集合B，那么A就是B的子集，记作A包含于B。如果A是B的子集且B里有元素不属于A，那么A就是B的真子集。如果两个集合的元素完全相同，那么两个集合相等。这里要重点记住空集的性质，空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，只要题目里出现子集、真子集、集合交集等于某个集合的条件，你首先要考虑空集的情况，这是最高频的漏分点，我每次改作业都有超过一半的同学会漏掉空集的情况。1核心基础知识点梳理1.4集合的基本运算集合的基本运算包括交集、并集、补集三种。交集是两个集合共有的元素组成的集合，记作A交B；并集是两个集合所有元素组成的集合，记作A并B；补集是全集里不属于某个集合的元素组成的集合，记作全集U下的A的补集。运算的时候要记住德摩根定律，也就是补集的交集等于交集的补集，补集的并集等于并集的补集，能简化运算过程。带参数的集合运算题，一定要注意端点值的判断，比如两个集合一个是x大于a，一个是x小于等于a，交集就是空集，不要把端点值搞错。2典型例题精讲2.1概念辨析类例题比如已知集合A由a加2、a加1的平方、a的平方加3a加3三个元素构成，若1属于A，求实数a的取值。这道题就是考察元素的互异性，我们分别令三个元素等于1，第一个a加2等于1，解得a等于负1，带入集合得到元素是1、0、1，有重复元素，不符合互异性，要舍去；第二个a加1的平方等于1，解得a等于0或者a等于负2，a等于0的时候集合元素是2、1、3，符合要求，a等于负2的时候集合元素是0、1、1，有重复，要舍去；第三个a的平方加3a加3等于1，解得a等于负1或者a等于负2，刚才已经验证过这两个值都不符合互异性，要舍去，所以最终a的取值只有0。这道题的核心就是求完参数一定要带回检验，不然很容易多解。2典型例题精讲2.2集合关系类例题比如已知集合A是x大于等于负2小于等于5的所有实数构成的集合，B是x大于等于m加1小于等于2m减1的所有实数构成的集合，若B包含于A，求实数m的取值范围。这道题首先要考虑B是空集的情况，也就是m加1大于2m减1，解得m小于2，这个时候B是空集，满足B包含于A的条件。然后考虑B非空的情况，这个时候要满足三个条件，分别是m加1小于等于2m减1，m加1大于等于负2，2m减1小于等于5，解得2小于等于m小于等于3。把两种情况合并起来，最终m的取值范围是m小于等于3。很多同学做这道题的时候只会考虑B非空的情况，漏掉空集，最后得到2小于等于m小于等于3的错误结果。2典型例题精讲2.3集合运算类例题比如已知全集U是全体实数，集合A是满足x的平方减4x减12小于0的x构成的集合，B是满足x的平方减4x加3大于等于0的x构成的集合，求A交B、A并B、全集U下A交B的补集。这道题首先要解两个不等式，x的平方减4x减12小于0的解集是x大于负2小于6，也就是A是负2到6的开区间；x的平方减4x加3大于等于0的解集是x小于等于1或者x大于等于3，也就是B是负无穷到1的左闭右开区间并上3到正无穷的左闭右开区间。然后画数轴标两个集合的范围，A交B就是负2到1的左开右闭区间并上3到6的左闭右开区间，A并B就是全体实数，全集U下A交B的补集就是负无穷到负2的左开右闭区间并上1到3的开区间并上6到正无穷的左闭右开区间。做这类题的时候一定要画图，不要凭感觉算，很容易搞错端点。3本模块易错点总结这个模块的易错点主要有四个，第一是求参数的时候忘记检验元素的互异性，导致多解；第二是做集合关系相关题目时漏掉空集的情况，导致少解；第三是用描述法的时候看错代表元素，把点集和数集搞混，把定义域和值域搞混；第四是集合运算的时候搞错端点值，或者漏掉补集的范围。你做题的时候要特意留意这几个点，避开陷阱。XXXX有限公司202003PART.函数概念与基本性质模块核心知识点梳理与典型题练1核心基础知识点梳理1.1函数的基本概念函数是从一个非空数集A到另一个非空数集B的对应关系，使得A中的每一个元素x，在B中都有唯一确定的元素y和它对应。函数有三个核心要素，分别是定义域、对应关系、值域，两个函数相等的充要条件是定义域和对应关系完全相同，和变量用什么字母表示没有关系。很多同学会觉得f括号x和f括号t是不同的函数，只要定义域和对应关系一样，它们就是同一个函数。1核心基础知识点梳理1.2函数的定义域求法求函数定义域有几个基本规则，整式函数的定义域是全体实数，分式函数的分母不能为0，偶次根式的被开方数要大于等于0，零次幂的底数不能为0，对数函数的真数要大于0，底数要大于0且不等于1。如果是实际问题的函数，定义域还要符合实际意义，比如边长不能为负数，人数必须是正整数。复合函数的定义域要记住一个核心原则，就是同一个对应关系f括号里的整体取值范围是相同的，比如f括号x的定义域是1到3的闭区间，那么f括号2x加1里的2x加1也要满足大于等于1小于等于3，解得x大于等于0小于等于1，也就是f括号2x加1的定义域是0到1的闭区间。反过来如果f括号2x加1的定义域是0到1的闭区间，那么2x加1的范围是1到3的闭区间，也就是f括号x的定义域是1到3的闭区间。1核心基础知识点梳理1.3函数的表示方法与解析式求法函数的表示方法有解析法、列表法、图像法三种。求函数解析式常用的方法有四种，第一是待定系数法，如果你知道函数的类型，比如一次函数、二次函数，就可以先设出解析式的形式，再带入条件求参数；第二是配凑法，比如已知f括号x加1等于x的平方加2x，你可以把右边配成x加1的平方减1，就能得到f括号x等于x的平方减1；第三是换元法，比如刚才的题可以令t等于x加1，那么x等于t减1，带入得到f括号t等于t减1的平方加2乘括号t减1等于t的平方减1，也就是f括号x等于x的平方减1，换元的时候要注意新元的取值范围；第四是方程组法，比如已知2倍f括号x加f括号x分之一等于3x，你可以把x换成x分之一，得到2倍f括号x分之一加f括号x等于3除以x，两个方程联立就能解出f括号x。1核心基础知识点梳理1.4函数的基本性质函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性，这个模块我们主要掌握单调性和奇偶性。单调性指的是函数在某个区间内的增减趋势，用定义证明单调性的步骤是固定的，分别是取值、作差、变形、定号、下结论，变形的时候通常要因式分解或者通分，直到能判断每个因子的正负为止。复合函数的单调性遵循同增异减的原则，也就是内层函数和外层函数的单调性相同，复合函数就是增函数，单调性相反就是减函数。奇偶性的判断首先要满足定义域关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，函数一定是非奇非偶函数。满足f括号负x等于f括号x的是偶函数，图像关于y轴对称；满足f括号负x等于负的f括号x的是奇函数，图像关于原点对称，奇函数在x等于0处有定义的话，一定满足f括号0等于0。奇偶性和单调性经常结合考察，偶函数在对称区间的单调性相反，奇函数在对称区间的单调性相同。2典型例题精讲2.1定义域类例题比如求函数y等于根号下x的平方减3x加2加1除以括号x减1的定义域，首先要满足两个条件，第一个是根号里的x的平方减3x加2大于等于0，解得x大于等于2或者x小于等于1；第二个是分母x减1不等于0，解得x不等于1。两个条件合并，最终的定义域是x大于等于2或者x小于1。还有复合函数的例题，已知f括号2x减1的定义域是0到2的闭区间，求f括号x的定义域，首先定义域指的是x的取值范围，也就是x属于0到2的闭区间，那么2x减1的取值范围是负1到3的闭区间，也就是f括号里的整体范围是负1到3的闭区间，所以f括号x的定义域就是负1到3的闭区间。2典型例题精讲2.2解析式求法例题比如已知f括号x是二次函数，满足f括号0等于1，f括号x加1减f括号x等于2x，求f括号x的解析式。我们先用待定系数法设f括号x等于a乘x的平方加b乘x加c，由f括号0等于1得到c等于1，所以f括号x等于a乘x的平方加b乘x加1。然后计算f括号x加1等于a乘括号x加1的平方加b乘括号x加1加1等于a乘x的平方加括号2a加b乘x加a加b加1，带入f括号x加1减f括号x等于2x，得到2a乘x加a加b等于2x，对应系数相等，2a等于2，a加b等于0，解得a等于1，b等于负1，所以f括号x等于x的平方减x加1。2典型例题精讲2.3单调性与奇偶性应用例题比如已知f括号x是定义在全体实数上的奇函数，且在0到正无穷的开区间上是增函数，f括号负3等于0，求x乘f括号x小于0的解集。首先由奇函数的性质，f括号负3等于负的f括号3等于0，所以f括号3等于0。奇函数在对称区间的单调性相同，所以f括号x在负无穷到0的开区间上也是增函数。我们可以画一个大致的图像，x大于0的时候，f括号x小于0的区间是0到3的开区间，这个时候x乘f括号x小于0；x小于0的时候，f括号x大于0的区间是负3到0的开区间，这个时候x乘f括号x小于0；x等于0的时候乘积是0，不符合要求。所以最终的解集是负3到0的开区间并上0到3的开区间。3本模块易错点总结这个模块的易错点主要有五个，第一是求函数解析式的时候忘记标注定义域，尤其是换元法求解析式的时候，一定要标注新元的范围；第二是判断奇偶性的时候忘记先看定义域是否关于原点对称，直接代入f括号负x判断，导致错误；第三是求单调区间的时候，把多个不连续的增区间用并集符号连接，比如y等于1除以x的增区间是负无穷到0的开区间和0到正无穷的开区间，不能写成两个区间的并集；第四是用定义证明单调性的时候，作差之后变形不彻底，没法判断正负；第五是复合函数单调性判断的时候，忘记考虑内层函数的值域要在外层函数的定义域内。XXXX有限公司202004PART.模块综合应用与易错题辨析1集合与函数的综合应用题型集合和函数经常结合考察，最常见的就是用集合表示函数的定义域、值域、不等式的解集，比如已知函数f括号x等于根号下m乘x的平方加m乘x加1的定义域是全体实数，求m的取值范围。这道题首先要考虑m等于0的情况，这个时候根号里是1，满足定义域是全体实数；然后考虑m不等于0的情况，这个时候二次函数m乘x的平方加m乘x加1要恒大于等于0，所以必须满足m大于0且判别式等于m的平方减4m小于等于0，解得0小于m小于等于4。两种情况合并，最终m的取值范围是0小于等于m小于等于4。这道题就是把函数定义域和集合、二次函数的性质结合起来，考察的就是综合应用能力。2高频易错题集中辨析我整理了近三年各地高一期末考的高频易错题，这里选三个最典型的给大家辨析。第一题，判断由满足y等于x的平方加1的y构成的集合和由满足y等于x的平方加1的有序数对x和y构成的集合是不是同一个集合，很多同学觉得表达式一样就是同一个集合，其实前者是数集，是函数的值域，后者是点集，是抛物线上的点，完全不一样。第二题，已知A是满足x的平方减3x加2等于0的x构成的集合，也就是元素是1和2，B是满足a乘x减1等于0的x构成的集合，若A交B等于B，求a的取值，很多同学只会算B的元素是1时a等于1，B的元素是2时a等于二分之一，漏掉B是空集的情况，也就是a等于0的时候，B是空集也满足条件，所以a的取值是0、1、二分之一。第三题，已知f括号x是定义在全体实数上的偶函数，在负无穷到0的开区间上是减函数，f括号2等于0，求f括号x小于0的解集，很多同学只考虑正半轴的情况，得到x小于2，忽略了偶函数的对称性，正确的解集是负2到2的开区间。3综合解题思路总结做集合与函数的综合题，你要遵循固定的解题流程，首先读题的时候先明确考察的核心考点，是集合的运算还是函数的性质，其次如果是函数相关的题，第一步先确定定义域，所有的分析都要在定义域范围内进行；如果是集合相关的题，首先看清楚代表元素是什么，有没有参数需要考虑空集或者互异性。遇到带参数的问题，要按照逻辑分类，不要跳步，每一类的条件都要列全，最后合并结果的时候要注意有没有重复或者遗漏的部分。XXXX有限公司202005