信号与系统（第6版）课件 第2章 连续信号与系统的时域分析

2.3冲激响应与阶跃响应2.2零输入响应与零状态响应2.4卷积积分2.1LTI连续系统的响应2.5相关函数第2章连续信号与系统的时域分析2.1连续系统的响应y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解)齐次解是齐次方程的解，由系统特征根决定函数形式，反映系统固有特性。齐次方程：y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0特解的函数形式与激励的函数形式有关，反映系统稳态响应（稳定系统）。特征根为特征方程λn+an-1λn-1+…+a0=0的根λi(i=1,2,…,n)核心概念：完全响应由齐次解(yh)和特解(yp)构成。齐次解反映系统固有特性，特解由外部激励决定函数形式。一、微分方程的经典解工程案例：RC电路齐次解对应固有充放电过程，特解对应电源稳态电压二、齐次解的常用函数形式三、特解的常用函数形式例

某系统的微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t),求

(1)当f(t)=2e-t,t≥0；y(0+)=2，y'(0+)=–1时的全解；(2)当f(t)=e-2t,t≥0；y(0+)=1，y'(0+)=0时的全解。解:(1)特征方程：λ2+5λ+6=0，得：λ1=–2，λ2=–3设定齐次解：yh(t)=C1e

–2t+C2e–3t设定特解：yp(t)=Qe

–t，代入微分方程：Qe

–t

+5(–Qe

–t)+6Qe

–t

=2e

–t

解得：Q=1全解：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e

–2t+C2e

–3t

+e

–ty(0+)=C1+C2+1=2y'(0+)=–2C1–3C2–1=–1解得

C1=3，C2=–2得全解

y(t)=3e

–2t

–2e–3t

+e–t,t≥0(2)齐次解：yh(t)=C1e–2t

+C2e

–3t同上特解：yp(t)=(Q0+Q1t)e–2t

(f(t)=e-2t,注意形式)代入微分方程：Q1e-2t

=e–2t解得：

Q1=1全解：

y(t)=C1e–2t

+C2e–3t

+te–2t

+Q0e–2t=(C1+Q0)e–2t+C2e–3t+te–2t代入初始条件，得：y(0+)=(C1+Q0)+C2=1，y'(0+)=–2(C1+Q0)–3C2+1=0解得

C1

+Q0=2，C2=–1最后得全解：

y(t)=2e–2t

–e–3t

+te–2t,t≥0说明：上式第一项系数C1+Q0=2，不能区分C1和Q0.

为求解微分方程，需要从已知的初始状态y(j)(0-)求得初始值y(j)(0+)。四、系统的初始值初始值是n阶系统在t=0时接入激励，其响应在t=0+时刻的值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。初始状态是指系统在激励尚未接入的t=0-时刻的响应值y(j)(0-)，该值反映了系统的历史情况，而与激励无关。例

某系统描述某系统的微分方程为y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y'(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y'(0+)。解：将f(t)=ε(t)代入微分方程得y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)系数匹配:上式在[0-,0+]区间两端δ(t)项的系数应相等。由于等号右端含2δ(t)，故只有y''(t)包含δ(t)（思考原因）故：y'(0+)≠y'(0-)不连续y(0+)=y(0-)=2连续

对y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)两端积分说明：积分区间[0-,0+]无穷小，且y(t)不含δ(t)，故于是由上式得：y'(0+)–y'(0-)=2→

y'(0+)=2

结论：微分方程等号右端含有δ(t)时，仅在等号左端y(t)的最高阶导数中含有δ(t)，则y(t)的次高阶跃变，其余连续；若右端不含冲激函数，则不会跃变。→→y'(0+)–y'(0-)→y(0+)–y(0-)=0→0→20

定义：特点：系统激励为零，仅由初始状态引起的响应，称之为该系统的“零输入响应”。随时间按指数规律衰减。例如：一个充好电的电容器通过电阻放电，是系统零输入响应的一个最简单的实例。2.2零输入响应与零状态响应一、零输入响应手机里的陀螺仪①初始值的确定y(t)=yzi(t)+yzs(t)分别采用经典法进行求解。yzi(t)对应齐次微分方程，故不存在跃变，即：yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)y(j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)=0②求解步骤Step1:求特征值，设定齐次解；Step2:代入初始值，求待定系数。例

描述某连续系统的微分方程为

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y′(0-)=0，f(t)=ε(t)，求零输入响应。解：确定零输入响应的方程：yzi''(t)+3yzi'(t)+2yzi(t)=0yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi'(0+)=yzi'(0-)=y'(0-)=0(1)由特征根–1,–2,设定：yzi(t)=C1e–t+C2e–2t

(2)代入初始值，求系数:C1=4,C2=–2yzi(t)=4e

–t–2e

–2t,t≥0二、零状态响应初始状态为零，仅由外加激励源引起的响应工程案例：地震信号的检测与分析地震波作为外部激励信号，作用于传感器系统。传感器捕捉信号并转化为电信号，该输出即为系统的零状态响应。通过分析波形特征，可反推地震的强度、位置和类型，为防灾减灾提供关键数据支持。①初始值的确定由系数匹配法，从yzs(j)(0-)=0求yzs(j)(0+)。yzs(j)(0-)=0，

j=0,1,2,…n-1②求解步骤Step1:求特征值，设定齐次解；Step2:设定特解，代入方程求特解；Step3:代入初始值，求待定系数。例

描述某系统的微分方程为

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y'(0-)=0，f(t)=ε(t),求零状态响应。解：确定零状态响应的微分方程：yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs

(t)=2δ(t)+6ε(t)yzs(0-)=yzs'(0-)=0由系数匹配法yzs

(0+)=yzs

(0-)=0yzs'(0+)-

yzs'(0-)=2,即：yzs'(0+)=2t>0时，yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs

(t)=6(1)设定齐次解为：yzsh(t)=D1e-t

+D2e-2t，(2)设定特解为：yzsp(t)=p,代入微分方程2p=6，求得p=3则yzs(t)=D1e-t

+D2e-2t

+3(3)代入初始值，求得系数：D1=-4,D2=1yzs(t)=–4e-t

+e-2t+3，t≥0三、响应分类①固有响应和强迫响应固有响应仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关。齐次解的函数形式仅与特征方程的根有关，特征方程的根称为系统的“固有频率”，齐次解常称为系统的固有响应或自由响应。强迫响应与激励的函数形式有关。特解的函数形式与激励的函数形式有关，常称为强迫响应。②暂态响应和稳态响应暂态响应是指响应中暂时出现的分量，随着时间的增长，它将消失。稳态响应是稳定的分量，若存在，通常表现为阶跃函数和周期函数。比如，电路系统中的直流稳态响应和正弦稳态响应。例

某系统的微分方程为

y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)在t≥0接入如下激励，判断各全响应中的固有响应和强迫响应分量，暂态响应和稳态响应分量。(1)f1(t)=10cos(t)，全响应为y1(t)=2e–2t–e–3t+cos(t–π/4)(2)f2(t)=2e–t，全响应为

y2(t)=3e–2t

–2e–3t

+e–t

(3)f3(t)=

ε(t)，全响应为y3(t)=-e–2t+3y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)其对应特征方程的特征根为-2，-3解：(1)f1(t)=10cos(t)，y1(t)=2e–2t

–e–3t

+cos(t–π/4)固有响应强迫响应暂态响应稳态响应(2)f2(t)=2e–t，y2(t)=3e–2t

–2e–3t

+e–t(3)f3(t)=

ε(t)，y3(t)=-e–2t

+3固有响应强迫响应暂态响应暂态响应固有响应强迫响应稳态响应特征根为-2，-3四、计算机仿真求解连续系统的零状态响应求LTI系统的零状态响应的函数lsim，其调用格式为y=lsim(sys,f,t)式中，t表示计算系统响应的抽样点向量；f是系统输入信号，sys是LTI系统模型，用来表示微分方程。系统模型sys要借助tf函数获得，其调用方式为sys=tf(b,a)式中，b和a分别为微分方程的右端和左端各项的系数。比如：y″(t)+5y′(t)+6y(t)=f″(t)+2f(t)

a=[1,5,6];b=[1,0,2];sys=tf(b,a)例系统的微分方程为y″(t)+2y′(t)+77y(t)=f(t)在t≥0接入激励f

(t)=10sin(2πt)，求零状态响应。sys=tf([1],[1,2,77]);%tf函数获得系统模型syst=0:0.01:5;%对时间t进行离散抽样f=10*sin(2*pi*t);y=lsim(sys,f,t);%求系统的零状态响应plot(t,y);%画图xlabel('Time(sec)')ylabel('y(t)')解：2.3冲激响应与阶跃响应一、冲激响应①定义：冲激响应是由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应，记为h(t)。h(t)隐含的条件：f(t)=δ(t)h(0-)=h'(0-)=0(对二阶系统)基本信号：冲激函数δ(t)基本响应：冲激响应h(t)如同给系统一个瞬间的刺激，观察其反应，这个反应就像系统的指纹，独一无二②求法

描述二阶LTI系统的微分方程的一般形式为：y''(t)+a1y'(t)+a0y(t)=b2

f''(t)+b1

f'(t)+b0

f(t)冲激响应不直接求，而是分两步进行：(1)选新变量h1(t)，使它满足h1''(t)+a1h1'(t)+a0h1(t)=

δ(t)h1(0-)=h1'(0-)=0采用经典法求解h1(t)；(2)根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分特性，则系统的冲激响应：h(t)=b2

h1''(t)+b1

h1'(t)+b0

h1(t)例如图所示LTI系统，求其冲激响应。解：(1)先列写系统的微分方程积分器的输出为x(t)，列出左端加法器的方程：右端加法器方程：合并整理：(2)求h1(t)，满足如下方程其特征根为-1和-2，特解为0，假设解为：代入初始值可求得：由系数匹配法：h1(0+)=h1(0-)=0h1′(0+)-h1′(0-)=1，即：h1′(0+)=1(3)求h(t)，满足如下方程求得冲激响应为：说明：结合零状态响应的线性性质和微分性质，来简化求解过程；若直接进行求解，方程右端将会出现冲激函数的各阶导数。计算h1′(t)：建筑抗震与冲击测试核心思想：冲击与响应如何评估一栋建筑的抗震能力？给它一个“瞬间的猛击”，观察其振动恢复过程，以此判断结构稳定性。工程原理：冲激响应测试通过在建筑底部施加瞬时冲击力（模拟冲激信号δ(t)），利用高精度传感器记录建筑的振动响应（冲激响应h(t)）。建筑结构抗震性能测试现场示意从响应看安全：平稳vs危险结构稳定·抗震性能好响应平稳、衰减快，说明建筑在冲击下能迅速恢复平衡。结构隐患·抗震能力差响应剧烈、长时间震荡，表明结构存在缺陷，易发生破坏。信号系统对应原理：响应

y(t)=地震波

x(t)*冲激响应

h(t)图：建筑结构受损实景（剧烈响应后果）音响音质与脉冲响应核心思想：音质的“干净度”测试如何判断音质好坏？给设备一个“极短的啪声”，观察其还原是否干净，无拖泥带水的回响。工程原理：冲激响应测试播放极短脉冲信号（模拟冲激），通过麦克风录制设备输出的声音，获取其冲激响应h(t)。音响脉冲响应测试示意脉冲信号音响系统冲激响应通过分析冲激响应波形，

评估设备的频率响应与瞬态表现。从响应听音质：清晰vs浑浊清晰音质特征响应干净、短促、无拖尾→声音清晰、细节丰富、低音不糊。浑浊音质特征响应拖尾长、震荡多→声音闷、浑浊、声场混乱。信号系统原理输出声音

y(t)=原始音乐

x(t)*系统冲激响应

h(t)音频波形对比：清晰（左）vs浑浊（右）阶跃响应是由单位阶跃函数ε(t)所引起的零状态响应，记为g(t)。g(t)隐含的条件：f(t)=ε(t)g(0-)=g'(0-)=0基本信号：阶跃函数ε(t)基本响应：阶跃响应g(t)二、阶跃响应①定义：工程案例：自动门控制系统方法一：求解系统的阶跃响应分两步进行：y''(t)+a1y'(t)+a0y(t)=b2

f''(t)+b1

f'(t)+b0

f(t)(1)选新变量g1(t)，使它满足g1''(t)+a1g1'(t)+a0g1(t)=

ε(t)g1(0-)=g1'(0-)=0采用经典法求解g1(t)；(2)根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分，则阶跃响应：g(t)=b2

g1''(t)+b1

g1'(t)+b0

g1(t)②求法

方法二：由于单位阶跃函数ε(t)与单位冲激函数δ(t)的关系为根据LTI系统的微（积）分特性，同一系统的阶跃响应与冲激响应的关系为例如图所示LTI系统，求其阶跃响应和冲激响应。解：(1)先列写系统的微分方程积分器的输出为x(t)，列出左端加法器的方程：右端加法器方程：合并整理：(2)求g1(t),满足如下方程其特征根为-1和-2，特解为0.5，设定解为：代入初始值可求得：由系数匹配法：g1(0+)=g1'(0+)=0(3)求g

(t)，满足如下方程求得阶跃响应为：说明：冲激响应和阶跃响应之间的关系，可以灵活运用；注意中间变量g1(t)的表达式。求得冲激响应为：三、仿真求解冲激响应和阶跃响应计算机仿真提供了专门用于求LTI系统的冲激响应和阶跃响应的函数。系统微分方程为求LTI系统的冲激响应的函数为：impulse(b,a)求LTI系统的阶跃响应的函数为：step(b,a)其中a和b表示系统方程左端和右端的系数向量。例求以下系统的冲激响应和阶跃响应。7y″(t)+4y′(t)+6y(t)=f′(t)+f(t)a=[7,4,6];%构造系数向量b=[1,1];subplot(2,1,1)impulse(b,a);%求系统的冲激响应并作图subplot(2,1,2)step(b,a);%求系统的阶跃响应并作图解：问f1(t)=

?

p(t)直观看出一、信号的时域分解2.4卷积积分“0”号脉冲高度f(0),宽度为Δ，用p(t)表示为：f(0)Δp(t)“1”号脉冲高度f(Δ),宽度为Δ，用p(t-Δ)表示为：f(Δ)Δp(t-Δ)“-1”号脉冲高度f(-Δ),宽度为Δ,表示为

f(-Δ)Δp(t+Δ)任意信号分解二、卷积公式根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)由时不变性：δ(t-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t-τ)由齐次性：f(τ)h(t-τ)由叠加性：‖f(t)‖yzs(t)卷积积分yzs(t)卷积积分的定义已知定义在区间(–∞,∞)上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。例f1

(t)=e-tε(t)，f2

(t)=ε(t)，求f(t)=f1

(t)*

f2

(t)。解：三、卷积积分的图解法卷积过程可分解为四步：(1)换元：

t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)(2)反折平移：由f2(τ)反折→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)(3)乘积：

f1(τ)f2(t-τ)(4)积分：

τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量。例1f(t),h(t)如图，求yzs(t)=h(t)*f(t)。解:

f(t-τ)f(τ)反折→f(-τ)平移t→①t<0时,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yzs(t)=0

t>0时,f(t-τ)向右移②0≤t≤1时④2≤t≤3时⑤t>3时，完全移出，f(t–τ)h(τ)=0，故

yzs(t)=0h(t)函数形式复杂,换元为h(τ)；

f(t)换元为f(τ)③1≤t≤2

时0图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。例2

f1(t),f2(t)如图，已知y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(6)=？解：

四、卷积积分的代数性质(1)满足乘法的三律：交换律：

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)分配律：

f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)结合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]证明：(仅证明交换律，其它类似)(2)复合系统的冲激响应五、奇异函数的卷积特性(1)f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)

证明：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)(2)f(t)*δ'(t)=f'(t)

证明：f(t)*δ(n)(t)=f

(n)(t)(3)f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)(1)证明：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)(2)证：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)(3)在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1'(t)*f2(–1)(t)六、卷积的微积分性质例1

f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)。解：通常复杂函数放前面，代入定义式得注意：套用f1(t)*f2(t)=f1'(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0显然是错误的。例2

f1(t)如图,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)。解：f1(t)*f2(t)=f1′(t)*f2(–1)(t)f1'(t)=δ(t)–δ(t–2)f1(t)*f2(t)=(1–

e–t)ε(t)–[1–

e–(t-2)]ε(t-2)解：f1(t)=ε

(t)–ε

(t–2)

f1(t)*f2(t)=ε

(t)*

f2(t)–ε

(t–2)*

f2(t)

ε

(t)*

f2(t)=f2(-1)(t)=(1-e–t)ε

(t)若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t

–t1)*f2(t

–t2)=f1(t

–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t

–t1–t2)=f(t

–t1–t2)例1

f1(t)如图,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)由时移特性，ε

(t–2)*

f2(t)=f2(-1)(t

–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)七、卷积的时移特性例2

两个门函数gτ1(t)和gτ2(t)，其幅度为1，宽度分别为τ1

和τ2，求卷积积分

结论：两个不同宽的门函数卷积时，其结果为梯形函数，梯形函数的高度为窄门的门宽，其上底为两个门函数宽度之差绝对值，下底为两个门函数宽度之和。*例3

f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t)解：

f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)

f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)*f2(t)=2ε

(t)*ε

(t+1)–2ε

(t)*ε

(t–1)–2ε

(t–1)*ε

(t+1)+2ε

(t–1)*ε

(t–1)