信号与系统（第6版）课件 第3章 连续信号与系统的频域分析（下）

3.9取样定理3.8LTI系统的频域分析3.7周期信号的傅里叶变换第3章连续信号与系统的频域分析(下）3.7周期信号的傅里叶变换一、正、余弦信号的傅里叶变换由频移性质已知由欧拉公式和线性性质二、一般周期信号的傅里叶变换指数形式的傅里叶级数复傅里叶系数公式1：示例:结论：周期信号的频谱由冲激序列组成：位置：ω

=nΩ强度：2πFn(a)周期矩形脉冲信号(b)傅里叶级数(c)傅里叶变换例1：周期为T的单位冲激周期函数

T(t)=解：例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期

信号f0(t)的周期拓展。即本题公式2：公式1：公式2：

注：求周期信号傅里叶级数的另一种方法3.周期信号傅里叶级数与傅里叶变换的关系结论：周期信号的频谱由冲激序列组成：位置：ω=nΩ强度：2πFn和ΩF0(jnΩ)3.8LTI系统的频域分析一、基本信号ejωt作用于LTI系统的响应周期信号：非周期信号：基本信号ejnΩt基本信号ej

t说明：频域分析中，基本信号的定义域为(–∞，∞)，而t=–∞总可认为系统的状态为0，因此本章的响应是指零状态响应，常写为y(t)。设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ej

t

时，其响应根据卷积定义，得定义：h(t)的傅里叶变换，记为H(j

)，常称为系统的频率响应函数。基本信号ej

t作用于LTI系统的响应：H(j

)反映了响应y(t)的幅度和相位。二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ej

tH(j

)ej

tF(j

)d

ej

tF(j

)d

H(j

)ej

t齐次性可加性f(t)Y(j

)=F(j

)•H(j

)y(t)三、傅里叶变换分析法傅里叶变换分析法步骤：第一步，求输入信号f(t)的傅里叶变换F(jω)；第二步，求频率响应函数H(jω)；第三步，求零状态响应y(t)的傅里叶变换Y

(jω)=F(jω)H(jω)；第四步，求Y

(jω)的傅里叶逆变换y

(t)=F

-1[F(jω)H(jω)]。四、傅里叶级数分析法周期信号的指数形式傅里叶级数：系统零状态响应：对周期输入信号，还可用傅里叶级数分析法：傅里叶级数分析法步骤：第一步，求周期输入信号fT(t)的傅里叶系数Fn；第二步，求系统频率响应H(jnΩ)=H(jω)|ω=nΩ；第三步，求零状态响应y(t)的傅里叶系数Yn=FnH(jnΩ)；第四步，求傅里叶级数展开式。若周期信号采用三角形式傅里叶级数表示：则可推导出系统频率响应函数：幅值相乘相位相加直流增益例：某LTI系统的|H(j

)|和θ(

)如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。解法一：用傅里叶变换分析法解法二：用三角傅里叶级数分析法f(t)的基波角频率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)五、频率响应H(j

)（1）定义：系统零状态响应y

(t)的傅里叶变换Y(j

)与激励f(t)的傅里叶变换F(j

)之比。即|H(j

)|称为幅频特性(或幅频响应),是

的偶函数；θ(

)称为相频特性(或相频响应),是

的奇函数。H(j

)一般是复函数，记为：（2）频率响应函数的求法(1)H(j

)=F[h(t)]

(2)H(j

)=Y(j

)/F(j

)例1如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求h(t)。解：画电路频域模型由电路的频域模型直接求出；对微分方程两边取傅里叶变换。{解：微分方程两边取傅里叶变换，例2

某系统的微分方程为，求输入信号时系统的零状态响应。系统频率响应函数输入信号傅里叶变换系统响应傅里叶变换傅里叶逆变换yzs(t)=(e-t

–e-2t

)ε(t)系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。六、无失真传输滤波示例：去噪传输示例：通信（1）无失真传输的定义：其频谱关系为信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。输入信号f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为

(1)对h(t)的要求：

h(t)=K

(t–td)(2)对H(j

)的要求：

H(j

)=Y(j

)/F(j

)=Ke-j

td即

H(j

)

=K,θ(

)=–

td

说明：上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。（2）无失真传输条件：例：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性θ(

)如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是()。(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)具有如图所示矩形幅频特性、线性相频特性的系统称为理想低通滤波器。

c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：通带止带止带（1）理想低通滤波器定义七、理想低通滤波器（2）冲激响应(2)理想低通滤波器是物理不可实现的非因果系统；原因：从h(t)看，t<0时未加激励已有输出。原因：δ(t)↔1信号频带无限宽，理想低通滤波器通频带是有限的，ωC以上的频率成分截止。(1)比较输入输出，可见严重失真；结论：（3）阶跃响应特点：(1)奇函数；(2)最大值Si(π)，

位置:x=π;(3)最小值Si(-π)，

位置:x=-π;(4)稳态值Si(∞)=π/2特点：有明显失真，只要

c<∞，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。上升时间tr：输出由最小值到最大值所经历的时间。可见：阶跃响应的上升时间tr与滤波器带宽B成反比。八、物理可实现系统的条件时域特性：佩利-维纳准则(必要条件)频域特性：因果条件平方可积条件并且说明：(1)物理可实现系统时域特性表明，响应不应在激励作用之前出现；(2)对于物理可实现系统,可以允许H(jω)

特性在某些不连续的频率点上为0，但不允许在一个有限频带内为0。按此原理，理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻等理想滤波器都是不可实现的；(3)佩利-维纳准则要求可实现的幅度特性其总的衰减不能过于迅速；(4)佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。几种常见的实际滤波器例：一种可实现的低通滤波器。量化数字信号处理

编码

取样

开关信号

F(j

)S(j

)

时域频域

3.9取样定理

一、冲激取样

（

s>2m）有限带宽信号

讨论：取样周期变化对频谱的影响(1)当

s2

m时，Fs(j)是F(j)在不同

s倍数上的重复与再现，幅值为原值的1/Ts。

(2)当

s<2

m时，Fs(j)中出现F(j)的叠加与混合（Overlap现象）

。

二、矩形脉冲取样

（

s>2

m）三、信号恢复即：从fs(t)中恢复f(t)要求理想低通滤波器：

信号f(t)的恢复实现：理想低通滤波器(ideallowpassfilter)Fs(j)含有F(j)完整频谱（

s>2m）理想冲激取样：

ωsωm如取ωC

=0.5ωS*四、时域取样定理

一个最高频率为

m的有限带宽信号f(t)，可用均匀取样间隔

的取样值fs(t)唯一确定。

若从fs(t)

恢复f(t),可用一个理想低通滤波器实现，滤波器增益为Ts，截止频率:取样间隔或:取样频率

奈奎斯特取样间隔(Nyquistsamplinginterval)奈奎斯特取样频率/角频率(Nyquistsamplingfrequency/angularfrequency)

五、取样定理意义1、实现连续信号离散化，为信号的数字处理奠定基础；2、实现信号的时分复用，为多路信号传输提供理论基础。常见采样率8kHz（电话、语音通信）16kHz（宽带语音、部分语音识别）22.05kHz（AM广播、早期多媒体）44.1kHz（音乐CD）48kHz（专业音频制作、影视音轨）哈里·奈奎斯特HarryNyquis1889年2月7日-1976年4月4日瑞典裔美国物理学家，通讯理论的奠基者之一，1917年获得耶鲁大学工学博士学位，曾在美国AT&T公司与贝尔实验室任职，奈奎斯特为近代信息理论作出了突出贡献。1928年，奈奎斯特首先提出取样定理。弗拉基米尔·科捷利尼科夫BладимирдлександровиЧKотельников1908年9月6日-2005年2月11日苏联无线电物理学家，雷达天文学家，苏联密码无线电通信技术的先驱，苏联科学院院士，副院长，社会主义劳动英雄。1933年，科捷利尼科夫首先用公式严格表述这一定理。1948年，香农在《通信的数学理论》中完善了这一理论，彻底奠定