信号与系统（第6版）课件 第5-8章 离散信号与系统的时域分析-系统的状态空间分析

5.3单位脉冲响应和阶跃响应5.2零输入响应与零状态响应5.4卷积和5.1LTI连续系统的响应第5章离散信号与系统的时域分析5.1差分方程的经典解法差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例1

若描述某系统的差分方程为

y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始值y(0)=0，y(1)=2，激励f(k)=2kε(k)，求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)

y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2

y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10……（注：一般不易得到解析形式的(闭合)解。）

一、递推迭代与连续系统的微分方程经典解类似，差分方程的解由齐次解yh(k)和特解yp(k)两部分组成，即y(k)=yh(k)+yp(k)齐次解是对应齐次差分方程的解：

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0二、经典法

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bm

f(k)+…+b0f(k-m)特解的函数形式与激励的函数形式有关。特征根为1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0

的根λi

(i=1,2,…,n)，由特征根可以设定齐次解的函数形式。1.齐次解的常用函数形式2.特解的常用函数形式例

若描述某系统的差分方程为

y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知y(0)=0，y(1)=–1；f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征根：λ1=λ2=–2，设齐次解：yh(k)=(C1k+C2)(–2)k设特解为：yp(k)=P(2)k,k≥0，代入得：P=1/4故全解为：y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入y(0)，y(1)，解得：C1=1,C2=–1/4说明：齐次解也称为自由响应，特解也称为强迫响应。本例中|λ|>1，故自由响应随k的增大而增大；若|λ|<1，自由响应随k的增大而趋近0，则也称为暂态响应。（2）初始值的确定用y(-1)

，y(-2)

，…

，y(-n)

描述n阶系统的初始状态。y(-l)=yzi(-l)+yzs(-l)yzi(-l)=y(-l),l=1,2,…,n=05.2零输入响应和零状态响应（1）定义：离散系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，用yzi(k)表示。一、零输入响应(1)求特征方程的特征根;(2)设定齐次解；(3)直接代入初始状态yzi(-l),l=1,2,…n,求待定系数。（3）求解步骤思考：为何无需迭代求初始值yzi(j),j=0,1,2,…n-1？（1）定义：系统的初始状态yzs(-l)=0,l=1,2,…n，为零，仅由激励f(k)引起的响应，用yzs

(k)表示。二、零状态响应（2）初始值的确定由迭代法求出初始值yzs(j)，j=0,1,…n-1（3）求解步骤Step1:设定齐次解；Step2:设定特解，代入方程求特解；Step3:代入初始值，求待定系数。解：(1)求零输入响应：零输入响应满足方程：方程特征根为：例求离散系统的零输入响应和零状态响应。解得：系统的零输入响应为：系统的零输入响应只有齐次解，为：将初始状态直接代入得：特征根为-1，-2，故齐次解为：(2)求零状态响应：迭代求初始值(必须)：特解为：yzsp(k)=P

满足：6P=1，得P=1/6零状态响应为：(3)系统的全响应为：解得：于是系统的零状态响应为：固有响应强迫响应代入初始值：三、仿真求解离散系统的零状态响应在零状态时，计算机仿真工具箱提供了一个filter函数，计算由差分方程描述的系统响应，其调用格式为y=filter(b,a,f)其中b=[b0,b1,b2,…,bm]，a=[a0,a1,a2,…,an]分别是差分方程左右的系数向量，f表示输入序列，y表示系统的零状态响应。注意输出和输入序列的长度相同。例输入信号f(k)=s(k)+d(k)，其中s(k)=(2k)0.9k，d(k)是随机噪声信号。求以下系统的零状态响应(均值滤波结果)，取M=5(滤波器窗长)。R=51;%输入信号长度d=rand(1,R)-0.5;%产生离散随机数k=0:R-1;s=2*k.*(0.9.^k);f=s+d;figure(1);stem(k,f,‘.’);%显示加噪信号M=5;b=ones(M,1)/M;%f前系数均为1/Ma=1;y=filter(b,a,f);%求零状态响应figure(2);stem(k,y,‘.’);%显示平滑滤波结果

解：单位脉冲响应是由单位脉冲序列δ(k)所引起的零状态响应，用h(k)表示。它的作用与连续系统中的冲激响应h(t)相类似。5.3单位脉冲响应和阶跃响应一、单位脉冲响应h(k)隐含的条件：f(k)=δ(k)h(-1)=h(-2)=0(对二阶系统)基本信号：单位脉冲序列δ(k)基本响应：单位脉冲响应h(k)例求图示系统的单位脉冲响应。x(k)x(k-1)x(k-2)解：如图设中间变量x(k)，则左边的加法器输出为：右边加法器的输出为：整理得：所以系统方程为：k≥2时，(1)式的单位脉冲响应化为齐次方程：初始状态：迭代得初始值：由(1)得：特征根为：所以：代入初始值得：解得：由于h(0),h(1)作为初始值代入，因而方程的解也满足k=0和k=1。所以系统的单位脉冲响应为：二、单位阶跃响应单位阶跃响应是由单位阶跃序列ε(k)所引起的零状态响应，用g(k)表示。g(k)隐含的条件：f(k)=

ε(k)g(-1)=g(-2)=0(对二阶系统)基本信号：单位阶跃序列ε(k)基本响应：单位阶跃响应g(k)例求如图所示离散系统的单位阶跃响应g(k)。解：(1)列写差分方程由加法器的输出可列出系统的方程为整理得：根据阶跃响应的定义，它应满足方程(2)迭代求初始值：(3)齐次解和特解分别为：经典解为：(4)代入初始值得：于是，系统的阶跃响应：由上式可解得：三、单位阶跃响应与脉冲响应的关系由于那么由于那么例某离散系统的差分方程如下，求单位脉冲响应h(k)和单位阶跃响应g(k)。解1：(1)先求h(k)由迭代得：代入初始值求：得单位阶跃响应为：由级数求和公式得：(2)再求g(k)由迭代得：代入初始值求：解2：先求g(k)，再求h(k)四、计算机仿真求解单位脉冲响应计算机仿真提供了专门用于求LTI离散系统的单位脉冲响应的函数。求LTI离散系统的单位脉冲响应的函数为：h=impz(b,a,k)其中b=[b0,b1,b2,…,bn]，a=[a0,a1,a2,…,an]分别是差分方程左右的系数向量，k表示输出序列的取值范围，h就是系统的单位脉冲响应。例求离散系统的单位脉冲响应。y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k)k=0:10;a=[132];%构造方程左右系数向量b=[1];h=impz(b,a,k);%求单位脉冲响应并绘图stem(k,h,‘.’)解：3.4卷积和一、序列的时域分解任意离散序列f(k)可表示为yzs

(k)f(k)根据h(k)的定义：δ(k)

h(k)由时不变性：δ(k-i)h(k-i)f(i)δ(k-i)由齐次性：f(i)h(k-i)‖f(k)‖yzs

(k)卷积和二、卷积和公式由叠加性：卷积和的定义已知定义在区间(–∞，∞)上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量i

下进行的，i

为求和变量，k为参变量。结果仍为k的函数。若有两个序列f1(k)与f2(k)，如果序列f1(k)是因果序列，即有f1(k)=0,k<0,则卷积和可改写为：若有两个序列f1(k)与f2(k)，如果序列f2(k)是因果序列，即有f2(k)=0,k<0,则卷积和可改写为：如果序列f1(k)与f2(k)均为因果序列，即若f1(k)=f2(k)=0,k<0,则卷积和可写为：例1

f(k)=akε(k),h(k)=bkε(k),求yzs

(k)。解：yzs

(k)=f(k)*h(k)当i<0,ε(i)=0；当i

>k时，ε(k-

i)=0例2

求例3

求解：解：例4求例5求解：解：卷积图解法可分解为五步：(1)换元：k换为i→得f1(i)，f2(i)；(2)反折：将f2(i)以纵坐标为轴线反折，成为f2(–i)；(3)平移：将f2(–i)沿i轴正方向平移k个单位→f2(k–i);(4)乘积：f1(i)f2(k–i);(5)求和：i

从–∞到∞对乘积项求和。三、卷积和的图解法例1f1(k)和f2(k)如图所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)。解：(1)换元(2)f2(i)反折得f2(–i)(3)f2(–i)右移2得f2(2–i)(4)f1(i)乘f2(2–i)(5)求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)f(k)=所有两序列序号之和为k

的那些样本乘积之和。如：f(2)=…+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+…例1f1(k)={0，f1(1)，f1(2)，f1(3)，0}

f2(k)={0，f2(0)，f2(1)，0}求f(k)=f1(k)*f2(k)。四、卷积和的不进位乘法运算f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)×—————————————————f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+—————————————————————f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(k)={0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)，

f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0}排成乘法解:3，4，0，62，1，5×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30例2

f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1

f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=0求f(k)=f1(k)*f2(k)f(k)={0，6，11，19，32，6，30，0}↑k=1注意结果序列的长度！（1）满足乘法的三律交换律：分配律：结合律：证明：(仅证明交换律，其它类似)五、卷积和的性质（2）复合系统的单位脉冲响应（3）f(k)*δ(k)=δ(k)*f(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k-k0)（4）f(k)*ε(k)=（5）f1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*f2(k)（6）

[f1(k)*f2(k)]=

f1(k)*f2(k)=f1(k)*

f2(k)例2如图所示复合系统，由3个子系统组成，它们的单位脉冲响应分别为h1(k)=δ(k)，h2(k)=δ(k-N)

，N为常数，h3(k)=ε(k)

，求复合系统的单位脉冲响应。解：由复合系统的各子系统间的关系得：例求以下两个离散序列的卷积。k1=0:10;%x1的变量取值范围x1=sin(k1);%构建x1序列k2=0:15;%x2的变量取值范围x2=0.8.^k2;%构建x2序列y=conv(x1,x2);%计算卷积结果解：6.3离散傅里叶变换（DFT）6.2非周期序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）6.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）第6章离散信号与系统的频域分析

6.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）设fN(k)是一个周期为N的周期序列，即l为任意整数连续周期信号的傅里叶级数可以展开为一系列角频率为(n=0,±1,±2,…)的虚指数（其中，为基波角频率）之和。类似地，周期为N的周期序列也可以展开为许多虚指数（其中，为基波数字角频率）之和。注意：和连续周期信号不同，这些虚指数序列也是周期为N的周期序列。l为整数因此，周期序列fN(k)

的傅里叶级数展开式仅为有限项（N项）。Cn为待定系数。将上式两端同乘以并在一周期内对k求和，有若取第一个周期，n=0,1,2,…,N-1,则fN(k）的展开式可写为上式右端对k求和，仅当n=m时为非零且等于N故上式可写为得即其中，离散傅里叶系数因此，为书写方便，令则周期序列的离散傅里叶级数变换对为很明显，便于计算机求取。例求图示周期序列的傅里叶级数展开式。解：

与连续时间信号类似，周期序列fN(k)在周期N→∞时，将变为非周期序列f(k)。同时FN(n)的谱线间隔()趋于无穷小，成为连续谱。6.2非周期序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）一个周期内求和，扩展为区间（-∞,+∞)定义：非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换（DTFT)为可见，非周期序列的离散时间傅里叶变换是的连续周期函数，周期为。称为幅频特性称为相频特性

故当N→∞时，上式的求和变为在区间对的积分。由于n的取值周期为N,的周期为。称为非周期序列的离散时间傅里叶逆变换因此，当N→∞时，上式变为离散时间傅里叶变换存在的充分条件是例序列，求其离散时间傅里叶变换，并画出幅频和相频特性。

解：幅频和相频特性分别如如图所示

离散信号分析和处理的主要手段是利用计算机去实现，然而序列f(k)的离散时间傅里叶变换是的连续函数，而其逆变换为积分运算，因此，无法直接用计算机实现。显然，要在数字计算机上完成这些变换，必须把连续函数改换为离散数据。同时，把求和范围从无限宽收缩到一个有限区间。前述离散傅里叶级数变换时，无论是在时域还是频域，只对N项求和，故可利用数字计算机进行计算，因此，可以借助离散傅里叶级数的概念，把有限长序列作为周期性离散信号的一个周期来处理，从而定义了离散傅里叶变换（DFT)。这样，在允许一定程度近似的条件下，有限长序列的离散时间傅里叶变换可以用数字计算机实现。6.3离散傅里叶变换定义（DFT）为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列的一个周期，而把看成f(k)的以N为周期的周期延拓，即表示成:

设长度为N的有限长序列为取整数有限长序列延拓为周期序列周期序列的离散傅里叶级数变换对的两个公式都只限于“主值区间”。因而，可把这种变换方法引申到与主值序列相同的有限长序列，从而定义有限长序列的离散傅里叶变换。定义：有限长序列的离散傅里叶变换对

需要指出，若将，分别理解为，的主值序列，那么DFT变换对与DFS变换对的表达式完全相同。实际上，DFS是按照傅里叶分析严格定义的，而有限长序列的离散时间傅里叶变换是连续的、周期为的频率函数。为了使傅里叶变换可以利用计算机实现，人为地把延拓成周期序列，使成为主值序列，这样，将的离散、周期性的频率函数的主值序列定义为的离散傅里叶变换。所以，离散傅里叶变换（DFT）并非指对任意离散信号进行傅里叶变换，而是为了利用计算机对有限长序列进行傅里叶变换而规定的一种专门运算。

由于将有限长序列看作是周期为N的周期序列的主值序列，故有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)与其离散时间傅里叶变换（DTFT）的关系比较可得例一有限长序列，求N=4点的DFT。

解：令n分别等于0，1，2，3，求得

信号时域取样理论实现了信号时域的离散化，使我们能用数字技术在时域对信号进行处理。而离散傅里叶变换理论实现了频域离散化，因而开辟了用数字技术在频域处理信号的新途径，从而推进了信号的频谱分析技术向更深更广的领域发展。7.3Z变换的性质7.2常用序列的Z变换7.4逆Z变换7.1Z变换定义及收敛域7.5Z域分析第7章离散信号与系统的Z域分析霍尔维兹（W.Hurewicz）于1947年迈出了第一步，他首先引进了一个变换用于对离散序列的处理。拉格兹尼与扎德：命名与创新的传承Lotfi

Zadeh(1921-2017)📜历史渊源：“Z变换”的正名1952年，哥伦比亚大学拉格兹尼（R.Ragazzini）与扎德（Lotfi

Zadeh）领导的采样数据控制组正式将该变换命名为“Z变换”，为离散时间系统的分析奠定了统一的数学语言基础。💡跨界突破：模糊数学的创始人扎德突破传统集合论框架，提出“模糊集合”与“隶属度”概念，精准刻画“年轻人”、“高温”等现实中的不确定性，让数学更好地拥抱真实世界。模糊逻辑应用：智能交通信号灯控制系统勇于创新，挑战权威科学的进步源于不满足现状。敢于突破经典数学的“非黑即白”，提出全新的理论框架。理论的价值在于解决问题模糊数学不仅是理论游戏，更在交通、家电、AI等领域落地，印证了“科学为现实服务”的宗旨。科技报国与社会责任作为工程技术人员，应致力于用所学知识，创造有温度、有价值的技术，服务社会发展。7.1Z变换定义及收敛域对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得：一、Z变换定义令z=esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT)→f(k)，得称为序列f(k)的双边z变换称为序列f(k)的单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。F(z)=Z[f(k)],f(k)=Z-1[F(z)]；f(k)←→F(z)二、收敛域当幂级数收敛时，z变换才存在，即绝对可和条件：它是序列f(k)的z变换存在的充要条件。收敛域的定义：对于序列f(k)，满足所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。例2

求有限长序列

f(k)=ε(k+1)-ε(k-2)的双边z变换。解：

其单边、双边z变换相等，其收敛域为整个z平面。解：例1

求δ(k)的

z变换。根据绝对可和条件，收敛域为：整个z平面收敛例3求因果序列f(k)=akε(k)的z变换(式中a为常数)。解：仅当az-1<1，即z>a

时，其z变换存在。收敛域为|z|>|a|收敛边界收敛域例4求反因果序列f(k)=bkε(-k-1)的z变换。

解:可见，当|b-1z|<1，即|z|<|b|时，其z变换存在。收敛域为|z|<|b|例5

求如下双边序列的z变换。

解:其收敛域为a<z<b

部分z平面收敛例6求如下双边序列的z变换。

解:整个z平面均不收敛序列的收敛域大致分类情况序列特性收敛域特性有限长序列常为整个平面因果序列某个圆外区域反因果序列某个圆内区域双边序列(若存在)环状区域注意：双边z变换必须标明收敛域！例如对单边z变换，其收敛域是某个圆外的区域，可省略。双边Fb(z)+收敛域f(k)单边F(z)

f(k)结论：7.2常用序列的Z变换

(k)，z>1，z<1–(–k–1)←→若无特殊说明，对单边和双边z变换适用一、线性注：其收敛域至少是F1(z)与F2(z)收敛域的公共部分。6.3

Z变换的性质a1,a2为任意常数例二、移位（移序）特性双边z变换的移位：若f(k)←→F(z),

<z<

，且对整数m>0，则单边z变换的移位：若f(k)←→F(z),|z|>

，且有整数m>0,则右移左移f(k-1)←→z-1F(z)+f(-1)f(k-2)←→z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1

f(k+1)←→zF(z)–f(0)zf(k+2)←→z2F(z)–f(0)z2–f(1)z特例：若f(k)为因果序列，则即：例1求如下周期为N的有始周期性单位序列的z变换。解:例2因果周期信号fN(k)如图，求fN

(k)的单边z变换F(z)。设第一周期内信号为，则fN

(k)可表示为解：设则三、k域反转(仅适用双边Z变换）例1

，求f(k)的双边z变换F(z)。解：例2

，求双边z变换。解：四、Z域尺度变换：序列乘则设,且有常数aZ[akf(k)]=

证明：例1解:例2

解:利用齐次性，k域和z域同时乘以a得：例3

求的z变换。解：五、序列乘k（Z域微分）设则解法2:解法1：例

求f(k)=kε(k)的z变换F(z)。两边取z变换：设则说明:(1)收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的公共部分；(2)对单边z变换，要求：f1(k)、f2(k)为因果序列。六、时域卷积性质例求f(k)=kε(k)的双边z变换F(z)。

解：若f(k)←→F(z),<z<，设有整数m，且k+m>0，

则

,<z<若m=0,且k>0，则

例

求序列的z变换。

解：

七、序列除(k+m)(z域积分）若f(k)←→F(z),

<z<

,max(

,1)<z<

证明：

例求序列(a为实数)(k≥0)的z变换。解：，|z|>max(|a|,1)八、部分和性质九、初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为整数)时f(k)=0的序列。由象函数直接求序列的初值f(M),f(M+1),…而不必求得原序列。（1）初值定理：如果序列在k<M时，f(k)=0，f(k)←→F(z)，

<|z|<∞则序列的初值对因果序列f(k)，证明：两边乘zM，得上式取z→∞，得（2）终值定理：如果序列存在终值，即：条件：极点都在单位圆内，或者允许z=1处有一阶极点则序列的终值证明：

6.4逆z变换

z逆变换的计算方法：（1）反演积分法（留数法）；（2）幂级数展开法；有局限性（3）部分分式展开法；（4）用z

变换性质求逆z

变换。组合使用一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即其中相应地，其z变换也分为两部分

已知象函数F(z)时，根据给定收敛域，不难由F(z)求得F1(z)和F2(z)，分别求对应的原序列f1(k)和f2(k)，根据线性性质，将两者相加原序列f(k)。一、幂级数展开法根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z的幂级数；其系数就是相应的序列值。例1

已知象函数其收敛域如下，分别求其对应的原序列f(k)。解:

(1)收敛域在半径为2的圆外，故f(k)为因果序列。将F(z)(分子分母按z

的降幂排列)展开为z-1的幂级数：则：(2)收敛域在半径为1的圆内，故f(k)为反因果序列。将F(z)(分子分母按z

的升幂排列)展开为z

的幂级数。于是，得原序列：(3)收敛域为1<|z|<2的环形，其原序列f(k)为双边序列。将F(z)展开为部分分式，有上式第一项属于因果序列的象函数F1(z)，第二项属于反因果序列的象函数F2(z)，即将它们分别展开为z-1及z的幂级数，有说明：上述方法求逆z变换，原序列难以写出解析形式。于是，得原序列：二、部分分式展开法先将展开成部分分式，然后再乘以z。将展开为部分分式的方法与F(s)展开方法相同。例1求f(k)。解：由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足|z|>1

，后两项满足|z|<2

。F(z)有重极点F(z)展开式中含项(r>1)，则逆变换为：若

z

>a

，对应原序列为因果序列：以z>a

为例：例2

已知象函数，z>1。求原函数。解:例1，求原函数f(k)。解：三、用性质求逆z变换方法1：方法2：由移位性质：一、Z平面与S平面的映射关系式中T是序列的时间间隔，取样角频率。6.5

Z域分析例已知拉普拉斯变换，求对应离散序列的z变换。解：只有一个极点：直接写出z变换：事实上，该连续信号为：对应的离散取样序列为：例1：若某系统的差分方程为

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(k)=

(k)。求系统的yzi

(k)、yzs(k)、y(k)。解：方程两边取单边z变换，得：整理得：Yzi(z)Yzs(z)二、差分方程的变换解Yzi(z)Yzs(z)系统函数h(k)←→H(z)例2某LTI系统输入

，零状态响应为求该系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。解：(1)先求系统函数：

(3)求差分方程：(2)求h(k)：由z变换的移序特性可得差分方程：前向差分方程的解法：方法1：用左移性质：初始条件：y(0)，y(1)，∙∙∙

方法2：转变为后向差分方程，用右移性质求解初始条件：y(-1)，y(-2)，∙∙∙

若初始条件不适用，则用递推法由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。三、离散系统H(z)的极点与h(k)的关系（1）单位圆内的极点h(k)按指数规律衰减（2）单位圆上的极点一阶极点对应h(k)为稳态分量；二阶及二阶以上极点对应h(k)增长（3）单位圆外的极点h(k)按指数规律增长

jωOS平面Z平面Re[z]Im[z]O四、离散系统稳定性判据(1)离散系统稳定的时域条件：(2)离散系统稳定性的Z域充要条件：若LTI离散系统的系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，则系统为稳定系统。若LTI因果离散系统稳定，要求其系统函数H(z)的极点全部在单位圆内。例

某离散系统的差分方程为（1）求系统函数H(z)；（2）讨论因果系统H(z)的稳定性；（3）求单位样值响应h(k)；（4）求单位阶跃响应g(k)。解：(1)将差分方程两边取

z变换，得(3)将H(z)/z进行部分分式展开，得到(4)求阶跃响应(2)H(z)极点是0.4和-0.6，在单位圆内，故系统稳定。由s域和z域的映射关系，若离散系统H(z)收敛域含单位圆，则若连续系统的H(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应离散系统频率响应定义为存在。T=，称为数字角频率。式中

H(ej

)

称为幅频响应,偶函数；

(

)称为相频响应,奇函数。只有H(z)收敛域含单位圆才存在频率响应五、离散系统的频率响应设LTI离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为H(z)，其收敛域含单位圆，则系统的零状态响应当f(k)=ejk时

若输入f(k)=Acos(

k+

)则其零状态响应为ys(k)=0.5Aej

ej

k

H(ej

)

+0.5Ae-j

e-j

k

H(e-j

)=0.5Aej

ej

k

|H(ej

)|ej

(

)

+0.5Ae-j

e-j

k|H(e-j

)|e-j

(

)

=A|H(ej

)|cos[

k+

+

(

)]=0.5Aej

ej

k

+0.5Ae-j

e-j

k正弦稳态响应

Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z)例1图示为一横向数字滤波器。（1）求滤波器的频率响应；（2）若输入信号为连续信号f(t)=1+2cos(

0t)+3cos(2

0t)经取样得到的离散序列f(k)，已知信号频率f0=100Hz，取样fs=600Hz，求滤波器的稳态输出yss(k)解：（1）先求系统函数H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3

，|z|>0H(ej

)=1+2e-j

+2e-j2

+e-j3

故频率响应存在，为(2)连续信号f(t)=1+2cos(

0t)+3cos(2

0t)经取样后的离散序列为f(k)=f(kTs)=1+2cos(k

0Ts)+3cos[k(2

0Ts)]所以

1=0,

2=

0Ts=/3,

3=2

0Ts=2/3所以H(ej

1)=6，H(ej

2)=3.46e-j

/2,H(ej

3)=0稳态响应为yss(k)=H(ej

1)+2

H(ej

2)

cos[k

0Ts+

(

2)]+3

H(ej

3)

cos[2k

0Ts+

(

3)]=6+6.92cos(k

/3-

/2)可见消除了输入序列的二次谐波。=TS例2利用梅森公式求系统函数三个闭合回路，四条前向通路解：8.3连续系统状态方程的s域解8.2状态方程的建立8.4离散系统状态方程的z域解8.1系统的状态空间描述8.5系统稳定性判别第8章系统的状态空间分析8.1系统的状态空间描述一、连续系统的状态变量、状态方程、输出方程：1、状态变量：

（1）初始状态(设初始时刻为t0)：t0时刻的状态通常指电容元件上电压uc(t0)和电感元件上电流iL(t0)。n阶系统有n个初始状态。初始状态的一般定义：系统在t0时刻的状态是最少数目的一组数。知道了这组数和区间[t0

，t]上的输入，就可以完全确定系统在t时刻的输出。表示：n阶系统的初始状态表示为：说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。例（2）状态变量：表示状态随时间变化的一组变量称状态变量。则系统的状态变量——任一时刻t的状态为：（3）状态矢量、状态空间：状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(t)称状态矢量。状态空间：状态矢量X(t)所在的空间称状态空间。例2、状态方程和输出方程：（1）状态方程：由KCL和KVL得：上面的方程组称图示RLC系统的状态方程，其矩阵形式为：状态方程：状态方程的一般形式：设n阶系统的状态变量为：系统有p个输入：描述系统状态与输入之间的关系的一阶微分方程组。则状态方程为：令则矩阵形式：例（2）输出方程：由KCL和KVL得：上式称图示RLC系统的输出方程，其矩阵形式为：输出方程：输出方程一般形式：描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：矩阵形式：令则二、离散系统状态变量、状态方程、输出方程：（1）初始状态：设初始时刻，对n阶系统，

初始状态通常指：时刻状态的一般定义：

时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数和区间上的输入，就可完全确定系统在K时刻的输出。1.状态变量（2）状态变量、状态矢量：状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。状态