最大高度与最大面积问题教学课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，该物体最多可以抛多高呢？从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？26.4课时1最大高度与最大面积问题1.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值2.能应用二次函数的性质解决问题中的最大高度和最大面积问题.最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题.在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=－4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.）分析：“达到最高点”和“最大高度”分别对应二次函数的什么量？转化为二次函数问题，对应是求什么？求二次函数的最大（或最小）值

解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为运动员重心的最大高度.即运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.函数h=－4.9t²+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，请描述运动员的整个运动过程.(0.3,11.4)运动员跳水的整个运动过程：运动员从11m高度起跳，先向上做减速运动,在起跳0.3s时到达11.4m的最高点，随后向下做加速运动，在起跳约1.8s时落入水中，整个过程的重心高度变化呈现先增后减的抛物线形态.xyOxyO最小值最大值二次函数

的最值由a及自变量的取值范围决定.当a＞0时，有

，此时

.

当a＜0时，有

，此时

.当自变量x有限制时，先判断是否在限定范围内，若在，则二次函数在x=时，取得最大（或小）值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h=30t-5t2解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度．即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m．a＝－5可知图象的开口向下，又t的取值范围0≤t≤6，可画如上函数图象当自变量的范围有限制时，二次函数的最值可以根据以下步骤来确定：1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.

二次函数与几何图形面积的最值(1)设矩形菜园面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.(2)当x是多少米时，矩形菜园面积S最大？

二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.

用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？解：根据题意得S=l(30-l)，即S=-l2+30l(0<l<30).因此，当

时，S有最大值也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.51015202530100200lsO几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定

CA3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．已知P，Q两点分别从A，B两点同时出发．(1)求△PBQ的面积关于运动时间的函数解析式；(2)求△PBQ面积最大值．

(2)∵S＝24t－4t2＝－4(t－3)2＋36，∴当t＝3时，△PBQ的面积有最大值，为36mm2.

4.如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长

15

m

的墙，想用长为

40

m

的网绳围成一个矩形

ABCD

给奶奶养鸡，怎样使矩形

ABCD

的面积最大呢?

同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设

BC

的边长为

xm.

矩形

ABCD

的面积为

S

m2不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：(1)

求

S

与

x

的函数关系式，直接写出

x

的取值范围；(2)

x

为何值时，矩形

ABCD

的面积最大?ABCD15m(0＜x≤15).ABCD15m解：设

BC