实际问题与反比例函数（第3课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十七章

反比例函数

27.3实际问题与反比例函数第3课时建立反比例函数模型解决实际问题学习目标1.理解利用反比例函数解决实际问题的方法.2.能根据实际问题建立反比例函数模型，由此达到解决问题的目的，并在解题过程中提高数学的应用意识和建立数学模型的能力.(重点、难点)前面几节课，我们解决的都是能用反比例函数准确刻画的问题.但在现实生活中，很多时候我们只有一堆实验数据，就像这组气体压强和体积的数据，我们不清楚变量之间是否存在一定的函数关系，如果存在，怎么选择合适的函数模型近似描述气体的压强和体积之间的关系，进而解决相关问题？下面让我们一起来探究吧！体积

V/mL201816141210压强p/kPa100112123145163201问题在实际问题中，通过实验或通过观察，可以得到一组数据，但这组数据是否满足我们所学过的函数关系呢？为此我们可通过下列步骤探究这个函数关系：①建立平面直角坐标系，并用描点法描出这组数据的

；②画出一条

的曲线，使其尽可能的

各点或靠近各点；③根据所画曲线的

、延伸方向等，选择适当的函数模型；④求_______

并利用这个函数解析式解决实际问题.

对应点光滑经过形状函数解析式知识梳理我们学过的函数有三种，即一次函数、二次函数、反比例函数，为选择适当的函数模型解决实际问题，应熟练掌握各种函数的图象特征.探究

某物理实验小组研究气体的压强p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据（如表）.序号123456体积

V/mL201816141210压强

p/kPa100112123145163201气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）.分析：由表可知，压强p是体积V的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型.序号123456体积

V/mL201816141210压强p/kPa100112123145163201(1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（图(1)）.观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点.可以发现，图(2)中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系.

表(1)序号123456体积

V/mL201816141210压强p/kPa100112123145163201V201816141210

p100112123145163201k200020161968203019562010表(2)

k值不相同怎么办？新知探究一、绘制散点图，分析变量变化趋势情境

序号体积压强想一想如何判断压强与体积是否存在一定关系呢？

先画散点图，初步判断这些点的分布特点新知探究绘制散点图想一想这些点的分布有什么规律？①体积V减小，压强p增大；②点的分布近似双曲线的一支规律猜想：压强p与体积V可能成反比例函数关系新知探究探究

得到函数模型：

二、建立模型，计算参数例

(课本P78“探究”改编)某物理实验小组研究气体的压强p(单位：kPa)与体积V(单位：mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(如表).解观察表中数据，可知对于V的每一个值，p都有唯一确定的值与其对应.∴p是V的函数.(1)气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？为什么？序号123456体积V/mL201816141210压强p/kPa100112123145163201例

(课本P78“探究”改编)某物理实验小组研究气体的压强p(单位：kPa)与体积V(单位：mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(如表).(2)请你建立函数模型，使其能较好地反映气体压强p与体积V的关系；序号123456体积V/mL201816141210压强p/kPa100112123145163201解在平面直角坐标系中描出表中数据的对应点，如图1，过各点或尽量靠近各点画一条曲线，如图2.根据图象的形状，这是双曲线位于第一象限的一支.V201816141210

p100112123145163201k200020161968203019562010

以往所学的函数模型(如一次函数、二次函数)通常通过已知条件确定唯一函数解析式，所有已知点都完全满足该解析式；而本题的函数模型是通过实验数据拟合得到的，利用多组数据计算k=pV的平均值作为参数，得到的模型是近似模型(并非所有已知点都完全满足)，但能较好地反映整体变化规律.“拟合”在科学实验和数据分析中，通俗来说，就是寻找一条最能代表数据点变化趋势的“线”（或公式）的过程.新知探究探究三、检验模型，验证合理性这个函数模型是否符合实际情况？如何检验？方法1将已知数据代入解析式，检验是否近似满足方法2画出函数图象，观察与散点图的吻合程度想一想估计当压强为132𝑘𝑃𝑎时，气体的体积为多少？

知识小结思考解题一般步骤：建立函数模型解决实际问题的步骤一般是什么？1.收集数据：通过实验或调查获取数据2.画散点图：观察点的分布，判断函数类型3.建立模型：设函数解析式，求参数值4.检验模型：验证模型与实际的吻合程度5.解决问题：利用模型解决实际问题例

(课本P78“探究”改编)某物理实验小组研究气体的压强p(单位：kPa)与体积V(单位：mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(如表).(2)请你建立函数模型，使其能较好地反映气体压强p与体积V的关系；序号123456体积V/mL201816141210压强p/kPa100112123145163201

例

(课本P78“探究”改编)某物理实验小组研究气体的压强p(单位：kPa)与体积V(单位：mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(如表).(3)估计当压强为132

kPa时，气体的体积为多少？(结果保留小数点后两位)序号123456体积V/mL201816141210压强p/kPa100112123145163201

回顾“探究”，回答以下问题：(2)结合“探究”和问题(1)所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤.

新知巩固

建立反比例函数模型解决问题在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变。测得体积V（单位：m³）与密度ρ（单位：kg/m³）的对应数据如下：(1)建立ρ关于V的函数模型；

各组ρV的值都在10附近波动，近似相等，因此ρ与V成反比例函数关系.设反比例函数解析式为：

新知巩固

建立反比例函数模型解决问题新知巩固

建立反比例函数模型解决问题

实际问题中，当我们计算出各组PV的值之后，只要各组之积在某个数的附近上下波动，就可以判断为反比例函数，无需每一次都画散点图.1.小深通过将固体糖融入水调配了四杯糖水：甲、乙、丙、丁.然后，将四杯糖水关键信息绘制如图：x轴为糖水质量，y轴为含糖浓度(固体糖质量与糖水质量之比).乙、丁两点恰好在同一反比例函数图象上.则含固体糖质量最多的是A.甲 B.乙

C.丙 D.丁随堂演练√随堂演练解析x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度(固体糖质量与糖水质量之比)，根据题意，可知xy的值即为糖水中含固体糖的质量，∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，∴乙、丁两杯糖水中含固体糖的质量相同，∵点甲在反比例函数图象下面，点丙在反比例函数图象上面，∴甲杯糖水中含固体糖的质量最少，丙杯糖水中含固体糖的质量最多.随堂演练2.视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关.随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度f(度)与车速v(km/h)成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为100

km/h时，视野角度f为