课时2 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章

二次函数26.3二次函数与一元二次方程

课时2学习目标12了解用图象法求一元二次方程的近似根.能将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题，发展几何直观.根据二次函数与一元二次方程的联系，也可以将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题.不妨来看下面的问题.

解：画出函数y=x²-2x-2的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.8或-0.7，当x分别取-0.8和-0.7时，对应的y由负变正，可见在-0.8与-0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.8或x=-0.7都符合要求.但当x=-0.7时更为接近0.故x1≈-0.7.同理可得另一近似值为x2≈2.7.有什么办法能得到更精确的近似根呢？

①取

2

和3的平均数2.5，②继续取

2.5和3的平均数2.75，

二分法动态演示（放映状态下点击图象，跳转到网页）二分法：通过取平均数不断缩小根所在的范围(可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)，直到达到要求的精确度.

（2）二分法取平均数不断缩小根所在范围：x…2.52.6252.68752.75…y…-0.75-0.3594-0.15230.0625…③重复上述步骤（利用计算器得结果见表），逐步得到：根在2.6875，2.75之间……可以看到根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，故能作为根的近似值．当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875－2.75|＝0.0625＜0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值．

利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位).例1解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的.

y=x2-2x-2

y=x2-2x-2例2利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位).2合作探究求抛物线y=x2-2x-2与x轴的公共点的横坐标.当二次函数y=x2-2x-2的函数值是0时，求自变量x的值.求方程x2-2x-2=0的实数根抛物线y=x2-2x-2抛物线与x轴的公共点的横坐标方程x2-2x-2=0的实数根-0.72.7解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴

的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.

所以方程x2-2x-2=0的实数根为

x1≈-0.7，x2≈2.7.例2利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位).2合作探究-0.72.7由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的.利用二次函数的图象求一元二次方程近似根的步骤：(1)用描点法画出相应二次函数的图象，确定方程根的大致范围（二次函数的图象与x轴的交点的横坐标）；(2)用二分法，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围(可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)，直到达到要求的精确度.(3)写出方程的近似根（使二次函数的函数值更接近0的数）.我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.y=x2-2x-2重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于∣2.6875-2.75∣=0.0625<0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.y=x2-2x-2延伸

我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根.2合作探究抛物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴当自变量为2时的函数值小于0点(2，-2)在x轴的下方当自变量为3时的函数值大于0点(3，1)在x轴的上方当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0方程x2-2x-2=0在2，3之间有根延伸

我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.2合作探究抛物线y=x2-2x-2在2.5<x<3这一段经过x轴当自变量为2.5时的函数值为-0.75<0取2，3的平均数2.5当自变量为3时的函数值大于0点(3，1)在x轴的上方当自变量取2.5，3之间的某个值时，函数值为0方程x2-2x-2=0在2.5，3之间有根延伸

我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.2合作探究抛物线y=x2-2x-2在2.5<x<2.75这一段经过x轴当自变量为2.5时的函数值为-0.75<0取2，3的平均数2.5当自变量为2.75时的函数值为0.0625>0取2.5，3的平均数2.75当自变量取2.5，2.75之间的某个值时，函数值为0方程x2-2x-2=0在2.5，2.75之间有根试一试：用这种方法得出方程x2－2x－2＝0的另一个根的近似值（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？当自变量x＝－1时，y＞0，当自变量x＝0时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在－1，0之间有根．取－1，0的平均数－0.5，当自变量x＝－0.5时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在－0.5，－1之间有根．通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．由于|－0.75－(－0.6875)|＝0.0625＜0.1，我们可以将－0.6875作为另一个根的近似值．

…01……1361…

解：根据表格中的数据可知：

2合作探究重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……可以看到：

根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875-2.75|=0.0625<0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.类比

你能用这种方法得出方程x2-2x-2=0的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)?2合作探究解：记自变量为a时的函数值为f(a).∵f(-1)=1>0，f(0)=-2<0，∴这个根在-1，0之间.∵f(-1)=1>0，f(-0.5)=-0.75<0，∴这个根在-1，-0.5之间.∵f(-0.75)=0.06>0，f(-0.5)=-0.75<0，∴这个根在-0.75，-0.5之间.∵f(-0.75)=0.06>0，f(-0.625)≈-0.36<0，∴这个根在-0.75，-0.625之间.∵f(-0.75)=0.06>0，f(-0.6875)≈-0.15<0，∴这个根在-0.75，-0.6875之间.由于|0.75-0.6875|=0.0625<0.1，我们可以将0.6875作为根的近似值.利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值图象法+二分法利用二次函数的图象求一元二次方程近似根的步骤：(1)用描点法画出相应二次函数的图象，确定方程根的大致范围（二次函数的图象与x轴的交点的横坐标）；(2)用二分法，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围(可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)，直到达到要求的精确度.(3)写出方程的近似根（使二次函数的函数值更接近0的数）.跟踪训练利用二次函数的图象求方程2x2-3x-1=0的近似根（结果保留小数点后一位）.解：画出函数y=2x2-3x-1的图象，如图所示.由图可知，函数y=2x2-3x-1的图象与x轴的两个公共点的横坐标分别在-1和0，1和2之间.取-1和0的平均数-0.5，当x=-0.5时,y=1,当x=0时,y=-1,所以方程的一个根在-0.5和0之间.取-0.5和0的平均数-0.25，当x=-0.25时,y=-0.125,所以方程的这个根在-0.5和-0.25之间.取-0.5和-0.25的平均数-0.375，当x=-0.375时,y=0.40625,跟踪训练所以方程的这个根在-0.375和-0.25之间，由此方法可得到原方程的一个近似实数根为-0.3.用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为1.8.所以方程2x2-3x-1=0的近似实数根是x1≈-0.3，x2≈1.8.

利用二次函数的图象求方程2x2-3x-1=0的近似根（结果保留小数点后一位）.6课堂小结二次函数概念相关概念图象和性质一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量.a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.与方程的关系实际应用解析式图象性质描点法形状位置开口方向顶点···增减性对称性最值···二次函数图象与x轴的交点一元二次方程的实数根转化判断方程

ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（）A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1.根据下