二次函数与一元二次方程的联系教学课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.3课时1二次函数与一元二次方程的联系学习目标12了解二次函数与一元二次方程的联系.能将实际问题中的二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题，发展应用意识.以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系.类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系.复习

一次函数

y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于

x的方程

kx+b=3的解为________．13Oxy2y=kx+b

x=2如图，下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有，求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？（1）y=x2-x+1；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2+x-2.

二次函数与一元二次方程的关系1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20个1个2个x2-x+1=0无解3x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2，x2=1二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系思考

如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少?(1)y=x2+x-2；(2)y=x2-8x+16；(3)y=x2-x+1.由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？2合作探究抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.方程x2+x-2=0有两个不相等的实数根-2，1.思考

如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少?(1)y=x2+x-2；(2)y=x2-8x+16；(3)y=x2-x+1.由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？2合作探究抛物线y=x2-8x+16与x轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4.当x=4时，函数值是0.方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根4.思考：如图，下列二次函数的图象与

x

轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当

x

取公共点的横坐标时，函数值是多少？(1)y=x2+x−2；(2)y=x2−8x+16；(3)y=x2−x+1.由此，你能说方程

x2+x−2=0，x2−8x+16=0，x2−x+1=0根的情况吗？

y=x2−8x+16y=x2+x−2

y=x2−x+1通过图中的函数图象可以看出：(1)抛物线

y=x2+x−2

与

x

轴有两个公共点，它们的横坐标分别是−2，1.当

x

取公共点的横坐标时，函数值是0.由此可知，方程

x2+x−2=0

有两个不相等的实数根

−2，1.

y=x2−8x+16y=x2+x−2

y=x2−x+1如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：

h=20t-5t2，小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？二次函数与一元二次方程的实际应用分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t−5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t−5t2的根的问题.球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m？Oht202解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.h=20t-5t2思考

如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少?(1)y=x2+x-2；(2)y=x2-8x+16；(3)y=x2-x+1.由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？2合作探究抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.方程x2-x+1=0没有实数根.归纳

一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论：2合作探究抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0.当x=x0时，函数值是0.x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个公共点有两个不相等的实数根b2−4ac>0有一个公共点有两个相等的实数根b2−4ac=0没有公共点没有实数根b2−4ac<0二次函数问题一元二次方程问题转化通过图中的函数图象可以看出：(2)抛物线y=x²−8x+16

与

x

轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4.当

x=4

时，函数值是0.由此可知，方程x2−8x+16=0

有两个相等的实数根4.

y=x2−8x+16y=x2+x−2

y=x2−x+1通过图中的函数图象可以看出：(3)抛物线

y=x2−x+1

与

x

轴没有公共点.由此可知，方程

x2−x+1=0

没有实数根.

y=x2−8x+16y=x2+x−2

y=x2−x+1反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与

x

轴的公共点的情况.（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（3）球从飞出到落地要用多少时间？Ot1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.

结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m？为什么球不能达到20.5m的高度?h=20t-5t2变式：Oht20.5

当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.

从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程.为一个常数（定值）所以二次函数与一元二次方程关系密切．例1如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h=20t−5t2.小球的飞行高度能否达到20m?如果能，需要多长时间?3典例分析小球的飞行高度能否达到20m二次函数h=20t−5t2的函数值能否取20一元二次方程20=20t−5t2有无实数根二次函数问题一元二次方程问题转化实际问题抽象3典例分析解：当h=20时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程20=20t−5t2，

即

t2−4t+4=0.

解方程，得

t1=t2=2.

这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t−5t2的函数值为20，

即当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.

求抛物线与x轴的交点的坐标的方法(1)已知抛物线的解析式时，转化为解一元二次方程的问题；(2)已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解；(3)已知抛物线与x轴的一个交点坐标，可利用根与系数的关系求解.已知函数取定值，求自变量x的值时，二次函数问题就转化成了一元二次方程问题．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)0m＝ax2＋bx＋c(a≠0)0令y＝m二次函数一元二次方程转化思想y＝ax2＋bx＋c(a≠0)0ax2＋bx＋c＝0(a≠0)0令y＝0已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为0，求自变量x的值确定抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴公共点的横坐标形数方程观点函数观点求一元二次方程的解例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．解：当h=15时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程15=20t−5t2，

即

t2−4t+3=0.

解方程，得

t1=1，t2=3.∴当小球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m.追问1小球的飞行高度能否达到15

m?如果能，需要多长时间?3典例分析解：当h=20.5时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程20.5=20t−5t2，

即

t2−4t+4.1=0.

因为(−4)2−4×4.1<0，所以方程无解.

即球的飞行高度达不到20.5m.追问2小球的飞行高度能否达到20.5

m?如果能，需要多长时间?3典例分析

跟踪训练

跟踪训练

3.已知二次函数y=x2-