二次函数的概念课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章

二次函数26.1二次函数的概念学

习

目

标123理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式及自变量取值要求；能准确判断一个函数是否为二次函数，精准区分各项系数；能根据实际问题列出简单的二次函数解析式.经历从实际问题中提炼函数关系式、归纳二次函数特征的全过程，提升抽象概括、数学建模和类比推理能力，掌握研究新函数的基本方法.感受二次函数与生活的紧密联系，体会数学的实用性和逻辑性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，增强用函数思想解决实际问题的意识.在现实世界中，变量之间的关系多种多样.作为描述变量之间关系的函数，其种类也很丰富.用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y（单位：m²）会随矩形一边长x（单位：m）的变化而变化，y

与

x之间有什么关系？

探究与应用(1)用长为40m的细绳围成一个矩形区域,矩形区域的面积y(单位:m2)会随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化,y与x之间有什么关系?活动1理解二次函数的概念问题情境解:(1)y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=-x2+20x.

(2)n支球队参加比赛,每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系?

(3)某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y(单位:t)将由x的值确定,y与x之间的关系应怎样表示?新知探究探究点1

对比观察，归纳特征活动1观察归纳二次函数特征（1）式子①y=10x是我们学过的什么函数？（2）式子②③与一次函数有什么不同？最高次数是多少？（3）三个式子均为整式关系式，变量之间都是函数关系，②③的共同特征是什么？两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2.

一次函数自变量的最高次数不同，式子②③最高次数是2①

y=10x

②

y=x²

③

y=－x²+120x－2000——二次函数新知探究探究点2

生成定义，细化要点活动2归纳二次函数完整定义【分析】每支球队与其他_____支球队各比赛一场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数

，即

………①n-1

n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.（1）比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系?问题1①式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数.（2）m是n的函数有什么特征？

思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？

共同点:(1)含有自变量的代数式是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不为0.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.观察(1)~(3)中所得到的函数解析式,从含有自变量式子的最高次数上找找这些函数有什么共同特点.解:函数都是用自变量的二次式表示的.引发思考二次函数的定义:一般地,形如

(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫作二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的

、

和

.

y=ax2+bx+c概括新知

二次项系数

一次项系数常数项y与x之间的关系：

；新知探究探究点1

对比观察，归纳特征某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y（单位：t）将由x的值确定，（1）y与x之间的关系应怎样表示?问题2【分析】这种产品的原产量是20t，一年后的产量：

；20(1+x)吨再经过一年后的产量是

；20(1+x)(1+x)吨y=20(1+x)2即两年后的产量：

；（2）y是x的函数有什么特征？②式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.y=20x2+40x+20……②两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2注意二次函数解析式必须同时满足的三个条件：一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a，b，c是常数,a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.新知探究探究点2

生成定义，细化要点归一归（1）二次函数的定义3.a，b，c为常数，且二次项系数不为0，即a≠0.1.函数解析式是整式；2.自变量的最高次数是2.称：a为二次项系数，ax2叫做二次项，

b为一次项系数，bx叫做一次项，

c为常数项。归一归（2）二次函数的一般形式：新知探究探究点2

生成定义，细化要点y=ax²+bx+c

(a，b，c为常数，a≠0)（3）二次函数的特殊形式：当b=0，c=0时，y=ax2(a≠0)当c=0时，y=ax2+bx(a≠0)当b=0时，y=ax2+c(a≠0)一次项系数、常数项可以为0.例1

A判断二次函数的步骤一化：将函数解析式化为y=ax2+bx+c的形式；二看：含自变量的代数式是否为整式，二次项系数是否为0；三判：判断所给函数是否为二次函数.(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式;(2)a,b,c是常数,且a≠0;(3)等号右边的整式的最高次数为2.记关键

理解应用C例1典例分析

√解：（1）二次项系数：3,一次项系数：0,常数项：0

（3）二次项系数：-1,一次项系数：4,常数项：-1（5）先整理化简y=-2x,

自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数.（2）自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数.√×××解题关键是紧扣三个判定条件：关系式为整式；2.自变量最高次数为2；3.二次项系数a≠0；对于复杂式子需先化简，再逐一判定.

例2利用二次函数的定义求参数的关键(1)利用最高次数是2列出方程;(2)不能忽视二次项系数不为0.抓

关键

(教材补充例题)写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项:(1)y=3-2x2;(2)y=5x2+4x-9;(3)y=x(x-1)+1; (4)y=(x+3)(3-x).解:(1)y=3-2x2的二次项系数为-2,一次项系数为0,常数项为3.(2)y=5x2+4x-9的二次项系数为5,一次项系数为4,常数项为-9.(3)y=x(x-1)+1可以化成y=x2-x+1,其二次项系数为1,一次项系数为-1,常数项为1.(4)y=(x+3)(3-x)可以化成y=-x2+9,其二次项系数为-1,一次项系数为0,常数项为9.例2典例分析例3.用一根长为40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，矩形的面积为ycm²，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.【分析】矩形的周长为40长+宽=20另一边=20-x

函数解析式二次项系数一次项系数常数项y=8x2−16x+8y=x2y=2(x−1)2−5=2x2−4x−381

2-1605-4800-3解：如图，矩形绿地的两边长各增加

x m，扩充后的绿地面积为

y

m2.写出

y

关于

x

的函数解析式.解：由图形知，扩充后绿地的长为(30+x)

m，宽为(20+x)

m，则y=(30+x)(20+x)，即y=x2+50x+600.30mx

m20mx

m

(1)已知正方体的棱长为xcm,它的表面积为Scm2,则S关于x的函数解析式为

;

(2)2025年的“苏超足球联赛”燃遍全网,由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象,2026年要增加参赛球队数,进行主客场双循环比赛(每两队之间都进行两场比赛).设共有x支球队参加比赛,比赛总场数为y,则y关于x的函数解析式为

.

S=6x2变式y=x2-x知识与技能（1）掌握二次函数的定义及一般形式：y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)；（2）能准确