二次函数y=a(x-h)2k的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第26章

二次函数学习目标1.会用描点法画出y=a(x−h)2+k(a≠0)的图象；2.掌握二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)的图象和性质并会应用；(重点）

3.理解二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.（难点）新课导入1．填空：函数开口方向对称轴顶点坐标最值y＝2x2y＝－x2＋2y＝3x2－5y＝0.5(x－6)2y＝－8(x＋4)2向上y轴或x＝0(0，0)最小值0向下y轴或x＝0(0，2)最大值2向上y轴或x＝0(0，－5)最小值－5向上x＝6(6，0)最小值0向下x＝－4(－4，0)最大值02.把抛物线y＝－2x2向左平移1个单位长度得到的抛物线是

(

)A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1Ax···−4−3−2−1012·········-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5解：先列表：例1

画出函数

的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.

探究

开口方向：

；对称轴：

；顶点坐标是

；增减性：__________________________________________________________.再描点、连线.24x-2-4-6yO-2-4向下直线

x

=

-1(−1，−1)

当x＜-1

时，y随

x增大而增大；当x＞-1

时，y随

x增大而减小想一想：函数

y=a(x-

h)2+k

(a＜0)

的性质是什么？

画出二次函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.解：-4-2y-6O-22x4-4开口方向：对称轴：顶点：向下.直线x=-1.(-1,-1).探究新知二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质知识点1-4-2y-6O-22x4-4探究新知画一画，填写下表:函数开口方向对称轴顶点坐标向下向下向下向下直线x=0直线x=0直线x=－1直线x=－1（0,0）（0,－1）（－1,0）（－1,－1）探究新知探究：

解：先列表：x…-4-3-2-1012…y=-(x+1)2-1…-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5…开口方向：

；对称轴：

；顶点坐标是

；增减性：___________________________________________________.试一试

画出二次函数

y=2(x

+

1)2

-

2

的图象，并填空.-22xyO-246-424向上直线

x

=

-1(−1，-2)当x＜-1

时，y随

x增大而减小；当x＞-1时，y

随

x增大而增大想一想：函数

y=a(x-

h)2+k

(a＞0)

的性质是什么？

【归纳总结】y=a(x-h)2+ka＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性向上向下直线

x=h直线

x=h(h，k)(h，k)当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k当

x＜h时，y

随

x

的

增大而减小；x＞h

时，y

随

x

的增大而增大当

x＜h

时，y

随

x

的

增大而增大；x＞h

时，y

随

x

的增大而减小

画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向上；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)-22xyO-2468-424巩固练习a>0a<0图象h>0h<0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大向上向下直线x=h直线x=h（h,k）x=h时，y最小值=kx=h时，y最大值=k（h,k）探究新知二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

y=-(x+1)2-1y=-

x2

向左平移1个单位y=-(x+1)2向下平移1个单位还有其他的平移方法吗？

例2

已知抛物线

y＝a(x

−3)2+2经过点

(1，−

2)．(1)指出抛物线的对称轴；(2)求

a

的值；解：(1)由

y＝a(x﹣3)2+2可知其顶点为

(3，2)，

对称轴为直线

x＝3.(2)∵抛物线

y＝a(x﹣3)2+2经过点(1，-2)，∴-2＝a(1-

3)2+2，∴

a＝-1.

(3)若点

A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，

试比较

y1与

y2的大小．∴y1＜y2.解：∵y＝﹣(x﹣3)2+2，∴此函数的图象开口向下，当

x＜3时，y随

x的增大而增大.∵点

A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，

例

已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(

)解析

根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．A利用二次函数y=a(x-h)2+k的性质识别图象素养考点探究新知B.D.A.C.-4-2y-6O-22x4-4向左平移一个单位向下平移一个单位向左平移一个单位，再向下平移一个单位探究新知二次函数y=a(x-h)2+k的图象与平移知识点2怎样移动抛物线就可以得到抛物线？y=-

x2向下平移1个单位y=-

x2-1向左平移1个单位y=-(x+1)2-1

函数y＝－(x＋1)2－1有哪些性质？

①开口向下；②对称轴为直线x=−1；③顶点坐标为(−1，−1)；④当x=−1时,y有最大值为−1；⑤x<−1时，y随x增大而增大；x>−1时，y随x增大而减小.O

画一画，填出下表：-22-2-4xy想一想：

怎样移动可以得到

？向下向下向下向下x=0x=0x=

-1x=

-1(0,0)(0,-1)(-1,0)(-1,-1)

向左平移1个单位长度平移方法11个单位长度向下平移24x-2-4yO-2-4例3

怎样移动抛物线

就可以得到抛物线

？

平移方法2向左平移向下平移1个单位1个单位24x-2-4yO-2-4怎样移动抛物线可以得到抛物线？

向左平移1个单位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10【思考】还可以怎样移动抛物线来得到抛物线

？平移方法：向下平移1个单位探究新知方法点拨

一般地,抛物线y=a(x－h)²＋k与y=ax²形状相同,位置不同.把抛物线y=ax²向上(或向下)向左(或向右)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)²＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.向左（h＜0）或向右（h＞0）平移|h|个单位向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k

y=ax²+k平移方法:探究新知向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位向左（h＜0）或向右（h＞0）平移|h|个单位请依据上述问题中的发现，说说抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2(a≠0)通过怎样的平移而得到的？你能由此归纳出y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的性质吗？y=ax2y=a(x-h)2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度y=a(x-h)2+k向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度y=ax2+k向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度【归纳总结】y=ax2y=ax2±k

y=a(x±h)2y=a(x±h)2±k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律(设

h＞0，k＞0)：简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数a不变.二次函数y=ax2

与y=a(x±h)2±k的关系

可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.探究新知二次函数y=ax2与y=a（x-h)2+k的关系向右(h>0)或向左(h<