2026年（北师大版）高中数学必修四第1讲-任意角和弧度制 含解析

A．eq\f(175π,36) B．eq\f(125π,18)C．eq\f(75π,18) D．eq\f(34π,9)二、填空题7.若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是__________．8.正n边形的一个内角的弧度数等于__________．三、解答题9.已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(7π,3).(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角．能力提升一、选择题1.扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是____弧度．()A．π B．eq\f(π,2)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,4)2.在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有()A．α＝－β B．α＝－2kπ±β(k∈Z)C．α＝π＋β D．α＝2kπ＋π＋β(k∈Z)3．在半径为3cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为()A．eq\f(π,3)cm B．πcmC．eq\f(3π,2)cm D．eq\f(2π,3)cm4.下列各组角中，终边相同的角是()A．(2k＋1)π与(4k±1)π，k∈Z B．eq\f(kπ,2)与kπ＋eq\f(π,2)，k∈ZC．kπ＋eq\f(π,6)与2kπ±eq\f(π,6)，k∈Z D．kπ±eq\f(π,3)与eq\f(kπ,3)，k∈Z二、填空题5.把－eq\f(11π,4)写成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________．6.用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________.三、解答题7.x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2min到达第三象限，经过14min回到原来的位置，那么θ是多少弧度？设集合A＝{α|α＝eq\f(3,2)kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝eq\f(5,3)kπ，|k|≤10，k∈Z}，求与A∩B的角终边相同的角的集合．9.已知扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长AB.任意角和弧度制____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式3.熟记特殊角的弧度数角的概念：1任意角正角：按顺时针方向形成的角负角：按逆时针方向形成的角2象限角定义：角的顶在原点始边与x轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k为任意整数）（1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。①与角终边相同的角的集合：（3）区间角的表示：①象限角：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合Z第二象限角的集合Z第三象限角的集合Z第四象限角的集合Z②写出图中所表示的区间角：由的终边所在的象限，来判断所在的象限，来判断所在的象限(二)弧度制1弧度角的规定.它的单位是rad读作弧度orC2radorC2rad1radrl=2roAABAOC=2rad周角=2rad定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0（2）角的弧度数的绝对值（为弧长，为半径）（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o角度制=弧度制*180o/π2π=360o弧度数α与弧长L与半径R的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径）（4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式：弧长公式：，扇形面积公式：（初中）2弧度制与角度制的换算：因为周角的弧度数是2，角度是360°，所以有把上面的关系反过来写之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.度0°30°45°60°90°弧度02类型一：角的概念问题1.终边相同的角的表示例1若角是第三象限的角，则角的终边在第______象限.答案：二.解析：因为是第三象限的角，故Z，则Z，故的终边在第二象限.练习：与角终边相同的角可表示为_____________.【答案：Z）】2.象限角的表示例2已知角是第二象限角，问（1）角是第几象限的角？（2）角终边的位置.思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论值来确定象限角.解析：（1）因为是第二象限的角，故Z，故Z.当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限，故为第一或第三象限角.由Z，得Z，故角终边在下半平面.点评：已知所在象限，求N所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.结论：第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限类型二：弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的互化例3把下列各角的度数化为弧度数：⑴⑵⑶⑷解因为，所以⑴⑵⑶⑷练习：把下列各角的弧度数化为度数：⑴⑵⑶⑷解因为＝，所以⑴＝×＝；⑵＝；⑶＝×＝；⑷＝×＝．例4（1）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限；（2）设，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？解析：（1），故在第一象限.（2），与它终边相同的角可表示为Z），由，得，故或，即在～范围内与有相同终边的所有角是和.点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在内找到与该角终边相同的角.练习：（1）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限；（2）设，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.解析：（1），故在第二象限.（2），故在～范围内与有相同终边的角是.2.求弧长与扇形面积例5已知一扇形中心角为，所在圆半径为.（1）若，cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（2）若扇形的周长为一定值，当为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值.导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？解析：（1）设弧长为，弓形面积为，则cm，故cm2.（2）解法一：由扇形周长，得，故.当时，有最大值且最大值为.此时，故.故当时，该扇形有最大面积.解法二：由扇形周长，得，故，当且仅当，即时，扇形面积最大为.点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆.练习：设扇形的周长为cm，面积为cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________.解：，即，解得，故，从而.1、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°答案：B2、－1120°角所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°,k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°答案：D4、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．答案：5、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A．｛α∣90°<α<180°｝B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝答案：D6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C答案：B7、下列结论正确的是（）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角B．第一象限的角必是锐角C．不相等的角终边一定不同D．=答案：D8、若是第四象限的角，则是．A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角答案：C9、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．答案：与；10、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．答案：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2014·山东济南商河弘德中学)已知α＝－3，则角α的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]C[解析]1rad＝(eq\f(180,π))°，则α＝－3rad＝－(eq\f(540,π))°≈－171.9°，∴α是第三象限角．2．与－eq\f(13π,3)终边相同的角的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z))[答案]D[解析]与－eq\f(13π,3)终边相同的角α＝2kπ－eq\f(13π,3)，k∈Z，∴α＝(2k－6)π＋6π－eq\f(13π,3)＝(2k－6)π＋eq\f(5π,3)，(k∈Z)．3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝()A．∅B．{α|0≤α≤π|C．{α|－4≤α≤4|D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}[答案]D[解析]k≤－2或k≥1时A∩B＝∅；k＝－1时A∩B＝[－4，－π]；k＝0时，A∩B＝[0，π]；故A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D.4．一条弧所对的圆心角是2rad，它所对的弦长为2，则这条弧的长是()A．eq\f(1,sin1) B．eq\f(1,sin2)C．eq\f(2,sin1) D．eq\f(2,sin2)[答案]C[解析]所在圆的半径为r＝eq\f(1,sin1)，弧长为2×eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).5．(2014·浙江象山中学高一月考)某扇形的面积为1cm2，它的周长为4cm，那么该扇形的圆心角等于()A．2° B．2C．4° D．4[答案]B[解析]设扇形的半径为r，弧长为l，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝4,\f(1,2)lR＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,l＝2)).∴该扇形圆心角α＝eq\f(l,r)＝2(rad)，故选B.6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是()A．eq\f(175π,36) B．eq\f(125π,18)C．eq\f(75π,18) D．eq\f(34π,9)[答案]A[解析]40°＝40×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,9)，30°＝30×eq\f(π,180)＝eq\f(π,6)，∴S＝eq\f(1,2)r2·eq\f(2π,9)＋eq\f(1,2)r2·eq\f(π,6)＝eq\f(175π,36).二、填空题7．若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是__________．[答案]eq\f(180＋π,360)、eq\f(180－π,360)[解析]设两角为α、β则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α－β＝\f(π,180),α＋β＝1))，∴α＝eq\f(180＋π,360)、β＝eq\f(180－π,360).8．正n边形的一个内角的弧度数等于__________．[答案]eq\f(n－2,n)π[解析]∵正n边形的内角和为(n－2)π，∴一个内角的弧度数是eq\f(n－2π,n).三、解答题9．已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(7π,3).(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角．[解析](1)∵－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)＝－4π＋eq\f(5π,6)，∴－570°与eq\f(5π,6)终边相同，eq\f(5π,6)在第二象限，∴α1在第二象限．∵750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6)＝4π＋eq\f(π,6)，∴750°与eq\f(π,6)终边相同，eq\f(π,6)在第一象限，∴α2在第一象限．(2)∵β1＝eq\f(3π,5)＝(eq\f(3,5)×180)°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k·360°，k∈Z，∴在－720°～0°范围内与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与β2有相同终边的角是－60°.能力提升一、选择题1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是____弧度．()A．π B．eq\f(π,2)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,4)[答案]C[解析]∵圆心角所对的弦长等于半径，∴该圆心角所在的三角形为正三角形，∴圆心角是eq\f(π,3)弧度．2．在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有()A．α＝－β B．α＝－2kπ±β(k∈Z)C．α＝π＋β D．α＝2kπ＋π＋β(k∈Z)[答案]D[解析]将α旋转π的奇数倍得β.3．在半径为3cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为()A．eq\f(π,3)cm B．πcmC．eq\f(3π,2)cm D．eq\f(2π,3)cm[答案]B[解析]由弧长公式得，l＝|α|R＝eq\f(π,3)×3＝π(cm)．4．下列各组角中，终边相同的角是()A．(2k＋1)π与(4k±1)π，k∈Z B．eq\f(kπ,2)与kπ＋eq\f(π,2)，k∈ZC．kπ＋eq\f(π,6)与2kπ±eq\f(π,6)，k∈Z D．kπ±eq\f(π,3)与eq\f(kπ,3)，k∈Z[答案]A[解析]2k＋1与4k±1都表示的是奇数，故选A.二、填空题5．把－eq\f(11π,4)写成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________．[答案]－eq\f(3π,4)[解析]－eq\f(11π,4)＝－eq\f(3π,4)－2π＝eq\f(5π,4)－4π，∴使|θ|最小的θ的值是－eq\f(3π,4).6．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________.[答案]{θ|－eq\f(π,2)＋2kπ<θ<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}[解析]y轴对应的角可用－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)表示，所以y轴右侧角的集合为{θ|－eq\f(π,2)＋2kπ<θ<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}．三、解答题7．x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2min到达第三象限，经过14min回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析]因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π<2θ<eq\f(3π,2).因为14θ＝2kπ，k∈Z，所以2θ＝eq\f(2kπ,7)，k∈Z.当k分别取4、5时，2θ分别为eq\f(8π,7)、eq\f(10π,7)，它们都在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))内．因此θ＝eq\f(4π,7)rad或θ＝eq\f(5π,7)rad.8．设集合A＝{α|α＝eq\f(3,2)kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝eq\f(5,3)kπ，|k|≤10，k∈Z}，求与A∩B的角终边相同的角的集合．[解析]设α0∈A∩B，则α0∈A且α0∈B，所以α0＝eq\f(3,2)k1π，α0＝eq\f(5,3)k2π，所以eq\f(3,2)k1π＝eq\f(5,3)k2π，即k1＝eq\f(10,9)k2.因为|k2|≤10，k2∈Z，且k1∈Z，所以k1＝0，±10.因此A∩B＝{0，－15π，15π}，故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2kπ或γ＝(2k＋1)π，k∈Z}＝{γ|γ＝nπ，n∈Z}．9．已知扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长