2026年（北师大版）高中数学必修五第5讲-等比数列的前n项和公式 含解析

/等比数列的前n项和公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握等比数列前项和通项公式及性质，理解等比数列前项和公式与函数的关系教学难点：等比数列前项和通项公式的性质的应用等比数列前项和通项公式设等比数列的前项和为，则当时，_________________当时，___________________等比数列前项和公式的性质等比数列中，连续项的和（如）仍组成等比数列（注意：公比）是公比不为1的等比数列（为公比）若等比数列的项数为，则偶/奇；若等比数列的项数为，则奇/偶等比数列前项和公式与函数的关系当时，是关于的正比例函数（常数项为0的一次函数）；当时，________________________是的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数，且当时，数列的图像是正比例函数的图像上的一群孤立的点；当时，数列的图像是函数___________________的图像上的一群孤立的点。若表示数列的前项和，且则数列是等比数列。类型一：等比数列前项和通项公式在等比数列中，若求练习1.在等比数列中，若，求和练习2.在等比数列中，若求例2.等比数列中，已知求和公比练习3.已知数列满足则的前10项和等于练习4.设公比为的等比数列的前项和为若则为____类型二：等比数列前项和公式的性质例3.等比数列的前项和为，若则___________练习5.等比数列的前项和为，已知则（）A.B.C.D.练习6.已知等比数列的前项和则实数的值是（）A.-3B.3C.-1D.1类型三：等比数列前项和公式与函数关系例4.若等比数列中，前项和，则（）A.-2B.2C.1D.-1练习7.设为等比数列的前项和，已知求练习8.已知等比数列的前项和为则的值为_______例5.数列的前项和等于（）A.B.C.D.练习9.已知数列满足则____________练习10.________________1.已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为()A．514B．513C．512D．5102.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A．6B．5C．4D．33.已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于()A．－4B．－1C．0D．14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为()12eq\f(1,2)1abcA．1B．2C．3D．45.若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}是()A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，但也是等比数列D．既不是等差数列，又不是等比数列6.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．97.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝()A．7B．8C．15D．168.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5()A．成等差数列B．成等比数列C．倒数成等差数列D．不确定2.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为()A．81B．120C．168D．1923.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{eq\f(1,an)}的前5项和为()A．eq\f(15,8)或5B．eq\f(31,16)或5C．eq\f(31,16)D．eq\f(15,8)4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝27，则S9＝()A．81B．72C．63D．545.设等比数列{an}的公比q＝eq\f(1,2)，前n项和为Sn，则eq\f(S4,a4)＝________.6.若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______，前n项和Sn＝______.7.设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.9.已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2.10.在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求数列{an}的前8项和．能力提升11.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝eq\f(n,90)·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月 D．8月、9月12.已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)213.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，则eq\f(S9,S6)＝()A．2B．eq\f(7,3)C．eq\f(8,3)D．314.等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值为()A．1B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2)D．－1或eq\f(1,2)15.已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是()A．7B．9C．63D．7或6316.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C．eq\f(32,3)(1－4－n)D．eq\f(32,3)(1－2－n)17.等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝________.18.已知数列{an}的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S22－S11＝________.19.等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于()A．eq\f(6,5)B．eq\f(5,6)C．20D．11020.已知数列{an}的首项a1＝2，且an＝4an－1＋1(n≥2)，则a4为()A．148B．149C．150D．15121．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)的值__________．22.将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910……按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．23.设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.24.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝eq\f(an,2n－1).证明：数列{bn}是等差数列．(2)求数列{an}的前n项和．25.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.26.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2).(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.27.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S4＝1，S8＝17，求Sn.28.已知数列{an}的首项a1＝eq\f(2,3)，an＋1＝eq\f(2an,an＋1)，n＝1,2，….(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是等比数列；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,an)))的前n项和Sn.等比数列的前n项和公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握等比数列前项和通项公式及性质，理解等比数列前项和公式与函数的关系教学难点：等比数列前项和通项公式的性质的应用等比数列前项和通项公式设等比数列的前项和为，则当时，当时，等比数列前项和公式的性质等比数列中，连续项的和（如）仍组成等比数列（注意：公比）是公比不为1的等比数列（为公比）若等比数列的项数为，则偶/奇；若等比数列的项数为，则奇/偶等比数列前项和公式与函数的关系当时，是关于的正比例函数（常数项为0的一次函数）；当时，是的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数，且当时，数列的图像是正比例函数的图像上的一群孤立的点；当时，数列的图像是函数的图像上的一群孤立的点。若表示数列的前项和，且则数列是等比数列。类型一：等比数列前项和通项公式在等比数列中，若求解析：由以及已知条件得答案：练习1.在等比数列中，若，求和答案：练习2.在等比数列中，若求答案：例2.等比数列中，已知求和公比解析：当时，符合题意；当时，由已知得解得或（舍）答案：练习3.已知数列满足则的前10项和等于答案：练习4.设公比为的等比数列的前项和为若则为____答案：类型二：等比数列前项和公式的性质例3.等比数列的前项和为，若则___________解析：是等比数列，仍成等比数列，又答案：70练习5.等比数列的前项和为，已知则（）A.B.C.D.答案：A练习6.已知等比数列的前项和则实数的值是（）A.-3B.3C.-1D.1答案：A类型三：等比数列前项和公式与函数关系例4.若等比数列中，前项和，则（）A.-2B.2C.1D.-1解析：由题意知，为公比不为1的等比数列，因为故故选D答案：D练习7.设为等比数列的前项和，已知求答案：当时，当时，练习8.已知等比数列的前项和为则的值为_______答案：例5.数列的前项和等于（）A.B.C.D.解析：不妨设该数列为，其前项和为，则答案：D练习9.已知数列满足则____________答案：练习10.________________答案：1.已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为()A．514B．513C．512D．510答案：D2.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A．6B．5C．4D．3答案：C3.已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于()A．－4B．－1C．0D．1答案：B4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为()12eq\f(1,2)1abcA．1B．2C．3D．4答案：A5.若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}是()A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，但也是等比数列D．既不是等差数列，又不是等比数列答案：B6.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9答案：A7.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝()A．7B．8C．15D．16答案：C8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63答案：C__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5()A．成等差数列B．成等比数列C．倒数成等差数列D．不确定答案：B2.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为()A．81B．120C．168D．192答案：B3.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{eq\f(1,an)}的前5项和为()A．eq\f(15,8)或5B．eq\f(31,16)或5C．eq\f(31,16)D．eq\f(15,8)答案：C4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝27，则S9＝()A．81B．72C．63D．54答案：C5.设等比数列{an}的公比q＝eq\f(1,2)，前n项和为Sn，则eq\f(S4,a4)＝________.答案：156.若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______，前n项和Sn＝______.答案：2，2n＋1－27.设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．答案：－eq\f(1,2)8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.答案：249.已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2.答案：(1)设公差为d，由题意，得aeq\o\al(2,11)＝a1·a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，又a1＝25，解得d＝－2或d＝0(舍去)．∴an＝a1＋(n－1)d＝25＋(－2)×(n－1)＝27－2n.(2)由(1)知a3n－2＝31－6n，∴数列a1，a4，a7，a10，…，是首项为25，公差为－6的等差数列．令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝eq\f(n25＋31－6n,2)＝－3n2＋28n.10.在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求数列{an}的前8项和．答案：解法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an＝a1qn－1，由已知条件得a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24， ①a3·a5＝(a1q3)2＝64，∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入①式，得q2＝－2，没有实数q满足此式，故舍去．将a1q3＝8代入①式，得q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，得a1＝1，所以S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝255；当q＝－2时，得a1＝－1，所以S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝85.解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得aeq\o\al(2,4)＝a3·a5＝64，∴a4＝±8，a6＝24＋a4＝24±8.因为{an}是实数列，所以eq\f(a6,a4)＞0，故舍去a4＝－8，而a4＝8，a6＝32，从而a5＝±eq\r(a4·a6)＝±16.公比q的值为q＝eq\f(a5,a4)＝±2，当q＝2时，a1＝1，a9＝a6q3＝256，∴S8＝eq\f(a1－a9,1－q)＝255；当q＝－2时，a1＝－1，a9＝a6q3＝－256，∴S8＝eq\f(a1－a9,1－q)＝85.能力提升11.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝eq\f(n,90)·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月 D．8月、9月答案：C12.已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2答案：C13.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，则eq\f(S9,S6)＝()A．2B．eq\f(7,3)C．eq\f(8,3)D．3答案：B14.等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值为()A．1B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2)D．－1或eq\f(1,2)答案：C15.已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是()A．7B．9C．63D．7或63答案：D16.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C．eq\f(32,3)(1－4－n)D．eq\f(32,3)(1－2－n)答案：C17.等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝________.答案：eq\f(1,3)(4n－1)18.已知数列{an}的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S22－S11＝________.答案：－6519.等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于()A．eq\f(6,5)B．eq\f(5,6)C．20D．110答案：B20.已知数列{an}的首项a1＝2，且an＝4an－1＋1(n≥2)，则a4为()A．148B．149C．150D．151答案：B21．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)的值__________．答案：222.将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910……按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．答案：eq\f(n2－n＋6,2)23.设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.答案：(1)设公比为q(q>0)，∵a1＝2，a3＝a2＋4，∴a1q2－a1q－4＝0，即q2－q－2＝0，解得q＝2，∴an＝2n.(2)由已知得bn＝2n－1，∴an＋bn＝2n＋(2n－1)，∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝eq\f(21－2n,1－2)＋eq\f([1＋2n－1]n,2)＝2n＋1－2＋n2.24.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝eq\f(an,2n－1).证明：数列{bn}是等差数列．(2)求数列{an}的前n项和．答案：(1)∵an＋1＝2an＋2n，∴eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(an,2n－1)＋1，即bn＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1.故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知bn＝n，∴an＝n·2n－1.Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝eq\f(1－2n,1－2)－n·2n＝2n－1－n·2n，∴Sn＝(n－1)2n＋1.25.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.答案：(1)∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，∴q＝1不满足题意．∴eq\f(2a11－q3,1－q)＝a1＋eq\f(a11－q2,1－q)，解得q＝－eq\f(1,2).(2)由(1)知q＝－eq\f(1,2)，又a1－a3＝a1－a1q2＝eq\f(3,4)a1＝3，∴a1＝4.∴Sn＝eq\f(4[1－－\f(1,2)n],1＋\f(1,2))＝eq\f(8,3)[1－(－eq\f(1,2))n]．26.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2).(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.答案：(1)∵S6≠2S3，∴q≠1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,2),\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,2)))，解得q＝2，a1＝eq\f(1,2).∴an＝a1qn－1＝2n－2.(2)bn＝6n－61＋log22n－2＝6n－61＋n－2＝7n－63.bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，∴数列{bn}是等差数列．又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋eq\f(1,2)n(n－1)×7＝－56n＋eq\f(1,2)n(n－1)×7＝eq\f(7,2)n2－eq\f(119,2)n.27.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S4＝1，S8＝17，求Sn.