2026年（北师大版）高中数学选修4-5第2讲-证明不等式的基本方法 含解析

/证明不等式的基本方法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法；教学难点：理解放缩法的解题及应用。1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，即通过“_________，_____________，；或，，”来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。3、综合法：从____________的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。4、反证法：从________结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。反证法证明一个命题的思路及步骤：1） 假定命题的结论不成立；2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4） 肯定原来命题的结论是正确的。5.放缩法：放缩法就是在证明过程中,利用不等式的___________性,作适当的___________,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处,同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。类型一：比较法、分析法和综合法去证明不等式例1.求证：x2+3>3x练习1.已知a,b,m都是正数，并且a<b，求证：练习2.已知a,b都是正数，并且ab，求证：a5+b5>a2b3+a3b2例2.已知a，b，c是不全相等的正数，求证：练习3.已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：例3.求证练习4.已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤类型二：反证法和放缩法证明不等式例4.若a,b,c,dR+，求证：练习5.当n>2时，求证：例5.设0<a,b,c<1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于练习6.已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>01.设a,b,cR，（1）求证：（2）求证：（3）若a+b=1,求证：2.a,b,cR,求证：（1）(2)(3)3.求证：4.设x>0,y>0,,，求证：a<b5.若x,y>0，且x+y>2，则和中至少有一个小于2__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.设a,bR+，求证：2.证明lg9•lg11<13.设<a,b,c<2，求证：(2a)c,(2b)a,(2c)b,不可能同时大于14.证明5.已知x>0,y>0，2x+y=1，求证：6.求证7.设、、是三角形的边长，求证8.若a>b>c,则9.证明10.证明11.已知a,b,c>0,且a2+b2=c2，求证：an+bn<cn(n≥3,nR*)12.若，证明（且）13.设，求证：14.对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）15.已知、、，，求证能力提升16．已知，，求证：17.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，问：甲乙两人谁先到达指定地点？18.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大19.已知，求证：＞020.若，且，求证：证明不等式的基本方法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法；教学难点：理解放缩法的解题及应用。1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，即通过“，，；或，，”来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。4、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。反证法证明一个命题的思路及步骤：1） 假定命题的结论不成立；2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4） 肯定原来命题的结论是正确的。5.放缩法：放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处,同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。类型一：比较法、分析法和综合法去证明不等式例1.求证：x2+3>3x解析：∵(x2+3)3x=∴x2+3>3x答案：见解析练习1.已知a,b,m都是正数，并且a<b，求证：答案：∵a,b,m都是正数，并且a<b，∴b+m>0,ba>0∴即：练习2.已知a,b都是正数，并且ab，求证：a5+b5>a2b3+a3b2答案：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5a3b2)+(b5a2b3)=a3(a2b2)b3(a2b2)=(a2b2)(a3b3)=(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0又∵ab，∴(ab)2>0∴(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)>0即：a5+b5>a2b3+a3b2例2.已知a，b，c是不全相等的正数，求证：解析：∵≥2bc,a＞0,∴≥2abc①同理≥2abc②≥2abc③因为a，b，c不全相等，所以≥2bc,≥2ca,≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号∴答案：见解析。练习3.已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：答案：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，∴又∵a，b，c都是正数，所以≤∴∴∴例3.求证解析：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得即因为成立，所以成立即证明了答案：见解析练习4.已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤答案：(1)当时,显然成立(2)当时,欲证原不等式成立,只需证即证即证即证因为∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立类型二：反证法和放缩法证明不等式例4.若a,b,c,dR+，求证：解析：（用放缩法）记m=∵a,b,c,dR+∴∴1<m<2即原式成立答案：见解析练习5.当n>2时，求证：答案：（用放缩法）∵n>2∴∴∴n>2时,例5.设0<a,b,c<1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于解析：（用反证法）设(1a)b>,(1b)c>,(1c)a>,则三式相乘：(1a)b•(1b)c•(1c)a>①又∵0<a,b,c<1∴同理,将以上三式相乘(1a)a•(1b)b•(1c)c≤此与①矛盾∴(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于答案：见解析练习6.已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0答案：（用反证法）设a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,则b+c>a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0此与题设矛盾又若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0同理可证b>0,c>01.设a,b,cR，（1）求证：（2）求证：（3）若a+b=1,求证：答案：（1）∵∴∴（2）同理：，三式相加：（3）由幂平均不等式：∴2.a,b,cR,求证：（1）(2)(3)答案：(1)法一：,,两式相乘即得法二：左边≥3+2+2+2=9(2)∵两式相乘即得(3)由上题：∴即3.求证：答案：（用放缩法）∴4.设x>0,y>0,,，求证：a<b答案：放缩法：5.若x,y>0，且x+y>2，则和中至少有一个小于2答案：反证法：设≥2，≥2∵x,y>0，可得x+y≤2与x+y>2矛盾__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.设a,bR+，求证：答案：作商：当a=b时，当a>b>0时，当b>a>0时，∴2.证明lg9•lg11<1答案：放缩法：3.设0<a,b,c<2，求证：(2a)c,(2b)a,(2c)b,不可能同时大于1答案：反证法：(2a)c>1,(2b)a>1,(2c)b>1,则(2a)c(2b)a(2c)b>1…①又因为设0<a,b,c<2，(2a)a,同理(2b)b≤1,(2c)c≤1,所以(2-a)c(2-b)a(2-c)b≤1此与①矛盾4.证明答案：放缩法：5.已知x>0,y>0，2x+y=1，求证：答案：即：6.求证答案：为了证明原不等式成立，只需证明即，只需证明成立原不等式成立7.设、、是三角形的边长，求证答案：由不等式的对称性，不妨设，则且，∴∴8.若a>b>c,则答案：9.证明答案：左边10.证明答案：11.已知a,b,c>0,且a2+b2=c2，求证：an+bn<cn(n≥3,nR*)答案：∵，又a,b,c>0,∴∴an+bn<cn12.若，证明（且）答案：（1）当时，因为，所以．（2）当时，因为所以．综合（1）（2）知．13.设，求证：答案：∵，∴∴.∴又∵，∴.14.对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）答案：∵（当且仅当时取等号）两边同加，即：（1）又：∵（当且仅当时取等号）两边同加∴∴（2）由（1）和（2）可得（当且仅当时取等号）．15.已知、、，，求证答案：∵∴∵