2026年（北师大版）高中数学必修一第10讲-对数与对数运算 含解析

/对数与对数运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.一、对数的定义一般地，如果的次幂等于,就是，那么数叫做以为底的对数，记作，叫做对数的底数，叫做真数。特别提醒：1、对数记号只有在，时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。2、记忆两个关系式：①；②。3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,的常用对数，简记作：。例如：简记作;简记作。4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，的自然对数，简记作：。如：简记作；简记作。二、对数运算性质：如果有：特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如是存在的，但是不成立的。2、注意上述公式的逆向运用：如；三、对数的换底公式及推论：对数换底公式：两个常用的推论:（1）（2）四、两个常用的恒等式：，类型一指数式与对数式的相互转化例1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)3x＝eq\f(1,27)； (2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝64；(3)5－eq\s\up10(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(5))； (4)logeq\r(2)4＝4；(5)lg0.001＝－3; (6)logeq\r(2)－1(eq\r(2)＋1)＝－1.练习1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)e0＝1；(2)(2＋eq\r(3))－1＝2－eq\r(3)；(3)log327＝3；(4)log0.10.001＝3.练习2：将下列对数式与指数式进行互化．(1)2－4＝eq\f(1,16)；(2)53＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5.类型二对数基本性质的应用例2：求下列各式中x的值．(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；练习1：已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．练习2：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝______.类型三对数的运算法则例3：计算(1)loga2＋logaeq\f(1,2)(a>0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；练习1：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)计算log535＋2log2eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514的值．练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)计算：2log510＋log50.25的值为________．类型四带有附加条件的对数式的运算例4：lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lgeq\f(18,25).练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lgeq\r(45).练习2：若lgx－lgy＝a，则lg(eq\f(x,2))3－lg(eq\f(y,2))3等于()A．eq\f(a,2)B．aC．eq\f(3a,2)D．3a类型五应用换底公式求值例5:计算：lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lg12.5－log89·log278.练习1:计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．练习2:log89·log32的值为()A．eq\f(2,3)B．1C．eq\f(3,2)D．2类型六应用换底公式化简例6:已知log89＝a，log25＝b，用a、b表示lg3.练习1:(2014～2015学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝()A．eq\f(ab＋3,ab＋1)B．eq\f(ab＋3,ab＋1)C．eq\f(b＋3,ab＋1)D．eq\f(ab－3,ab＋1)练习2:已知log72＝p，log75＝q，则lg5用p、q表示为()A．pqB．eq\f(q,p＋q)C．eq\f(1＋pq,p＋q)D．eq\f(pq,1＋pq)1、使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()A．0＜a＜eq\f(1,2)且a≠1 B．0＜a＜eq\f(1,2)C．a＞0且a≠1 D．a＜eq\f(1,2)2、(2014～2015学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知x、y为正实数，则下列各式正确的是()A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy3、(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)若lg2＝a，lg3＝b，则eq\f(lg12,lg15)等于()A．eq\f(2a＋b,1－a＋b) B．eq\f(2a＋b,1＋a＋b)C．eq\f(a＋2b,1－a＋b) D．eq\f(a＋2b,1＋a＋b)4、．log52·log425等于()A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．25、化简logeq\f(1,a)b－logaeq\f(1,b)的值为()A．0 B．1C．2logab D．－2logab__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－eq\f(1,2)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2\r(3))C．eq\f(1,2\r(2)) D．eq\f(1,3\r(3))2．若f(10x)＝x，则f(3)的值为()A．log310 B．lg3C．103 D．3103．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么()A．x＝a＋3b－c B．x＝eq\f(3ab,5c)C．x＝eq\f(ab3,c5) D．x＝a＋b3－c34．方程2log3x＝eq\f(1,4)的解是()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．eq\f(1,9) D．95．eln3－e－ln2等于()A．1 B．2C．eq\f(5,2) D．3能力提升6．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.7．若logx(2＋eq\r(3))＝－1，则x＝________.8．已知log32＝a，则2log36＋log30.5＝________.9.(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；(2)设x＝log23，求eq\f(22x＋2－2x＋2,2x＋2－x)的值．10.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)．(1)若设x＝at，试用a、t表示y；(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．对数与对数运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.一、对数的定义一般地，如果的次幂等于,就是，那么数叫做以为底的对数，记作，叫做对数的底数，叫做真数。特别提醒：1、对数记号只有在，时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。2、记忆两个关系式：①；②。3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,的常用对数，简记作：。例如：简记作;简记作。4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，的自然对数，简记作：。如：简记作；简记作。二、对数运算性质：如果有：特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如是存在的，但是不成立的。2、注意上述公式的逆向运用：如；三、对数的换底公式及推论：对数换底公式：两个常用的推论:（1）（2）四、两个常用的恒等式：，类型一指数式与对数式的相互转化例1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)3x＝eq\f(1,27)； (2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝64；(3)5－eq\s\up10(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(5))； (4)logeq\r(2)4＝4；(5)lg0.001＝－3; (6)logeq\r(2)－1(eq\r(2)＋1)＝－1.解析：(1)log3eq\f(1,27)＝x.(2)eqlog\s\do6(\f(1,4))64＝x.(3)log5eq\f(1,\r(5))＝－eq\f(1,2).(4)(eq\r(2))4＝4.(5)10－3＝0.001.(6)(eq\r(2)－1)－1＝eq\r(2)＋1.答案：见解析练习1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)e0＝1；(2)(2＋eq\r(3))－1＝2－eq\r(3)；(3)log327＝3；(4)log0.10.001＝3.答案：(1)ln1＝0.(2)log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝－1.(3)33＝27.(4)0.13＝0.001.练习2：将下列对数式与指数式进行互化．(1)2－4＝eq\f(1,16)；(2)53＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5.答案：(1)log2eq\f(1,16)＝－4.(2)log5125＝3.(3)102＝a.(4)25＝32.类型二对数基本性质的应用例2：求下列各式中x的值．(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；解析：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝3，∴x＝103＝1000.答案：（1）x＝5.（2）x＝1000.练习1：已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．答案：80练习2：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝______.答案：eq\r(10)类型三对数的运算法则例3：计算(1)loga2＋logaeq\f(1,2)(a>0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；解析：(1)loga2＋logaeq\f(1,2)＝loga(2×eq\f(1,2))＝loga1＝0.(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2.(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.答案:（1）0（2）2（3）2练习1：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)计算log535＋2log2eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514的值．答案:4练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)计算：2log510＋log50.25的值为________．答案：2类型四带有附加条件的对数式的运算例4：lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lgeq\f(18,25).解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg33＋lg22＝3lg3＋2lg2＝2a＋3b.lgeq\f(18,25)＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lgeq\f(102,22)＝lg2＋lg32－lg102＋lg22＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a＋2b－2.答案：3a＋2b－2.练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lgeq\r(45).答案：0.8266练习2：若lgx－lgy＝a，则lg(eq\f(x,2))3－lg(eq\f(y,2))3等于()A．eq\f(a,2)B．aC．eq\f(3a,2)D．3a答案:D类型五应用换底公式求值例5:计算：lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lg12.5－log89·log278.解析：lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lg12.5－log89·log278＝lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lgeq\f(25,2)－eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg8,lg27)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(8,5)×\f(25,2)))－eq\f(2lg3,3lg3)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)练习1:计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．答案：13练习2:log89·log32的值为()A．eq\f(2,3)B．1C．eq\f(3,2)D．2答案：A类型六应用换底公式化简例6:已知log89＝a，log25＝b，用a、b表示lg3.解析：∵log89＝eq\f(lg9,lg8)＝eq\f(2lg3,3lg2)＝a，①又∵log25＝eq\f(lg5,lg2)＝eq\f(1－lg2,lg2)＝b，②由①②消去lg2可得：lg3＝eq\f(3a,21＋b).答案：lg3＝eq\f(3a,21＋b).练习1:(2014～2015学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝()A．eq\f(ab＋3,ab＋1)B．eq\f(ab＋3,ab＋1)C．eq\f(b＋3,ab＋1)D．eq\f(ab－3,ab＋1)答案：A练习2:已知log72＝p，log75＝q，则lg5用p、q表示为()A．pqB．eq\f(q,p＋q)C．eq\f(1＋pq,p＋q)D．eq\f(pq,1＋pq)答案：B1、使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()A．0＜a＜eq\f(1,2)且a≠1 B．0＜a＜eq\f(1,2)C．a＞0且a≠1 D．a＜eq\f(1,2)答案：B2、(2014～2015学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知x、y为正实数，则下列各式正确的是()A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy答案：A3、(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)若lg2＝a，lg3＝b，则eq\f(lg12,lg15)等于()A．eq\f(2a＋b,1－a＋b) B．eq\f(2a＋b,1＋a＋b)C．eq\f(a＋2b,1－a＋b) D．eq\f(a＋2b,1＋a＋b)答案：A4、．log52·log425等于()A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．2答案：C5、化简logeq\f(1,a)b－logaeq\f(1,b)的值为()A．0 B．1C．2logab D．－2logab答案:A______________________________________________________________________________________________________