2026年（北师大版）高中数学选修2-2第4讲-函数的极值与导数 含解析

/导数与函数的极值____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值一、导数与函数的极值：1．观察图1.3.8表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？（2）在点t=a附近的图象有什么特点？（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳:函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数单调递增,＞0;当t＞a时,函数单调递减,＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时,先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？<二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2）函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b点附近,y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点,极大值与极小值称为极值.类型一：函数的单调性与导数：例1、求函数的极值练习：1．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x类型二求含字母参数的函数的极值例2.（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的单调区间与极值。举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数,函数(Ⅰ)求的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.考点二求函数的最值例3.已知a为实数，（1）若，求在[－2，2]上的最大值和最小值；（2）若在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.举一反三：1.（06浙江卷）在区间上的最大值是A．-2 B．0 C．2 D．42.(06全国卷Ⅱ)已知a≥0，函数f(x)=（-2ax）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（2）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围.考点三利用导数解决函数的综合问题例4.(06年深圳市模拟)已知函数的图象与函数的图象相切,记.（Ⅰ）求实数的值及函数的极值；（Ⅱ）若关于的方程恰有三个不等的实数根，求实数的取值范围.举一反三:(中山市模拟.)已知函数的图象为曲线E.(Ⅰ)若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；(Ⅱ)说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；(Ⅲ)在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.例5.设函数，其中.（1）求函数的极值；（2）若当时，恒有，试确定实数的取值范围.1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点2．(2014·屯溪一中期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a、b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．3．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋alnx.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝eq\f(2,3)x3的图象的下方．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值2．(2013·北师大附中高二期中)函数y＝eq\f(1,4)x4－eq\f(1,3)x3的极值点的个数为()A．0 B．1C．2 D．33．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和eq\f(1,3)，则()A．a－2b＝0 B．2a－b＝0C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝04．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2 B．3C．6 D．95．已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2 B．1C．－1 D．－26．(2013·辽宁实验中学期中)函数f(x)＝－eq\f(x,ex)(a<b<1)，则()A．f(a)＝f(b) B．f(a)<f(b)C．f(a)>f(b) D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．9．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.三、解答题10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．能力提升一、选择题11．(2014·山东省德州市期中)已知函数f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为()A．eq\f(e2π1－e2012π,e2π－1) B．eq\f(eπ1－e2012π,1－e2π)C．eq\f(eπ1－e1006π,1－e2π) D．eq\f(eπ1－e1006π,1－eπ)12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A．eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)13．(2014·西川中学高二期中)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A．－1<a<2 B．－3<a<6C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2二、填空题14．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________________，b＝________.三、解答题15．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．16．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax.(1)当a＝－3时，求函数y＝f(x)的极值点；(2)当a＝－4时，求方程f(x)＋x2＝0在(1，＋∞)上的根的个数．17．(2014·温州八校联考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a、b∈R)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．导数与函数的极值____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值一、导数与函数的极值：1．观察图1.3.8表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？（2）在点t=a附近的图象有什么特点？（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳:函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数单调递增,＞0;当t＞a时,函数单调递减,＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时,先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？<二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2）函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b点附近,y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点,极大值与极小值称为极值.类型一：函数的单调性与导数：例1、求函数的极值解:∵∴=x2-4=(x-2)(x+2)令=0,解得x=2,或x=-2.下面分两种情况讨论:当＞0,即x＞2,或x＜-2时;当＜0,即-2＜x＜2时.当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0_0+f(x)单调递增单调递减单调递增因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)=;当x=2时,f(x)有极小值,且极小值为f(2)=函数的图象如:归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:1求,解方程=0,当=0时:如果在x0附近的左边＞0,右边＜0,那么f(x0)是极大值.如果在x0附近的左边＜0,右边＞0,那么f(x0)是极小值练习：1．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.－0+↘极小值↗∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－.(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.-3(-3,3)3+0－0+↗极大值54↘极小值-54↗∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54考点一求含字母参数的函数的极值考例1.（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的单调区间与极值。思路分析：先求出,再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，令=0，解得，由，由此可知，函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；进而得在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。锦囊妙计：熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值，力求解答思路顺畅，思维严谨，书写规范。举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数,函数(Ⅰ)求的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.解：(I)=3－2－1若=0，则==－，=1当变化时，，变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+极大值极小值∴的极大值是，极小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知：当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。考点二求函数的最值考例2.已知a为实数，（1）若，求在[－2，2]上的最大值和最小值；（2）若在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.思路分析：（1）按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。（2）当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有,从而得到关于a的不等式。解:(Ⅰ)由原式得∴由得,此时有.由得或x=－1,当变化时，的变化如下表-递增极大值递减极小值递增所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为(2)解法一:的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得即∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2,2].解法二:令即由求根公式得:所以在和上非负.由题意可知,当x≤－2或x≥2时,≥0,从而x1≥－2,x2≤2,即解不等式组得:－2≤a≤2.∴a的取值范围是[－2,2].锦囊妙计：（1）极大值，极小值是否就是最大值，最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论。（2）在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f’(x)不恒为0，则由，x恒成立解出的参数的取值范围确定。举一反三：1.（06浙江卷）在区间上的最大值是()A．-2 B．0 C．2 D．4解：，令可得x＝0或2（2舍去），当－1x0时，0，当0x1时，0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C2.(06全国卷Ⅱ)已知a≥0，函数f(x)=（-2ax）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（2）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围.解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表+0－0+递增极大值递减极小值递增∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。当≥0时，<－1,在上为减函数，在上为增函数而当时=，当x=0时，所以当时，取得最小值（II）当≥0时，在上为单调函数的充要条件是即，解得于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是即的取值范围是考点三利用导数解决函数的综合问题考例3.(06年深圳市模拟)已知函数的图象与函数的图象相切,记.（Ⅰ）求实数的值及函数的极值；（Ⅱ）若关于的方程恰有三个不等的实数根，求实数的取值范围.思路分析:首先由是的切线,利用导数的几何意义求出b,再由导数与单调性,极值的关系作出函数的图像,利用数形结合的思想求解.解：(1)依题意，令∴函数的图象与函数的图象的切点为,将切点坐标代入函数可得.或:依题意得方程，即有唯一实数解,故，即,故,令,解得,或.列表如下:-递增极大值递减极小值0递增从上表可知在处取得极大值,在处取得极小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数大致图象如下图所示.作函数的图象,当的图象与函数的图象有三个交点时,关于的方程恰有三个不等的实数根.结合图形可知：.锦囊妙计:读题,审题,发现”是的切线”是解题的关键,数形结合的思想在该题中再一次得到运用.本题综合了导数,单调性,极值,方程的解等知识与数形结合的思想方法.综合考察了学生的计算,推理,阅读理解的数学能力.举一反三:(中山市模拟.)已知函数的图象为曲线E.(Ⅰ)若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；(Ⅱ)说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；(Ⅲ)在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.解：(1),设切点为,则曲线在点P的切线的斜率,由题意知有解，∴即.(2)若函数可以在和时取得极值，则有两个解和，且满足.易得.(3)由(2)，得.根据题意，()恒成立.∵函数（）在时有极大值（用求导的方法），且在端点处的值为.∴函数（）的最大值为.所以.误区警示：例.设函数，其中.（1）求函数的极值；（2）若当时，恒有，试确定实数的取值范围.常见错误：（1）忽略0<a<1导致错误；（2）解带参数的绝对值不等式出错。正解：（1），得，. ∵，∴.列表如下：a—0+0—极小值极大值∴极小值=；极大值= （2），∵，∵.即在上单调递减，即当时.从而：. 恒成立，故. 1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[答案]C[解析]设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．[点评]有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．2．(2014·屯溪一中期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a、b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．[解析]∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵f′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝2a，∵f′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b，∴a＝－eq\f(3,2)，b＝－3，∴f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3，∴f(1)＝－eq\f(5,2)，f′(1)＝－3，∴切线方程为y－(－eq\f(5,2))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.(2)∵g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，∴g′(x)＝(6x－3)e－x＋(3x2－3x－3)·(－e－x)，∴g′(x)＝－3x(x－3)e－x，∴当0<x<3时，g′(x)>0，当x>3时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，所以g极小(x)＝g(0)＝－3，g极大(x)＝g(3)＝15e－3.3．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋alnx.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝eq\f(2,3)x3的图象的下方．[解析](1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x＋1x－1,x)，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则x＝1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝eq\f(1,2).(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,2)x2＋lnx－eq\f(2,3)x3，则F′(x)＝x＋eq\f(1,x)－2x2＝eq\f(－2x3＋x2＋1,x)＝eq\f(－x－12x2＋x＋1,x)，当x>1时，F′(x)<0，故f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，又F(1)＝－eq\f(1,6)<0，∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立，即f(x)<g(x)恒成立．因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案]C[解析]导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．(2013·北师大附中高二期中)函数y＝eq\f(1,4)x4－eq\f(1,3)x3的极值点的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.当x变化时，y′、y的变化情况如下表x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)y′－0－0＋y无极值极小值故选B.3．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和eq\f(1,3)，则()A．a－2b＝0 B．2a－b＝0C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0[答案]D[解析]y′＝3ax2＋2bx由题设0和eq\f(1,3)是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.4．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2 B．3C．6 D．9[答案]D[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b＝0的一根为x＝1，即12－2a－2b＝0.∴a＋b＝6，∴ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．5．已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2 B．1C．－1 D．－2[答案]A[解析]∵a、b、c、d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝－2.))∴ad＝2.6．(2013·辽宁实验中学期中)函数f(x)＝－eq\f(x,ex)(a<b<1)，则()A．f(a)＝f(b) B．f(a)<f(b)C．f(a)>f(b) D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定[答案]C[解析]f′(x)＝(eq\f(－x,ex))′＝eq\f(－x′·ex－－x·ex′,ex2)＝eq\f(x－1,ex).当x<1时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数，∵a<b<1，∴f(a)>f(b)．二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案]4x－y－3＝0[解析]y′|x＝1＝(3lnx＋4)|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．[答案][－1,1][解析]f′(x)＝1＋acosx，由条件知f′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a>0时，∵－eq\f(1,a)≤cosx恒成立，∴－eq\f(1,a)≤－1，∴a≤1，∴0<a≤1；a<0时，∵－eq\f(1,a)≥cosx恒成立，∴－eq\f(1,a)≥1，∴a≥－1，即－1≤a<0，综上知－1≤a≤1.9．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.[答案]－eq\f(2,3)[解析]f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0，,\f(a,2)＋4b＋1＝0.))∴a＝－eq\f(2,3).三、解答题10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．[解析](1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝eq\f(1,2)，b＝0，c＝－eq\f(3,2).(2)f(x)＝eq\f(1,2)x3－eq\f(3,2)x，∴f′(x)＝eq\f(3,2)x2－eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)(x－1)(x＋1)．当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.[点评]若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f(1)＝－1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数．一、选择题11．(2014·山东省德州市期中)已知函数f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为()A．eq\f(e2π1－e2012π,e2π－1) B．eq\f(eπ1－e2012π,1－e2π)C．eq\f(eπ1－e1006π,1－e2π) D．eq\f(eπ1－e1006π,1－eπ)[答案]B[解析]f′(x)＝2exsinx，令f′(x)＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ<x<2kπ＋π时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当(2k－1)π<x<2kπ时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2013π)，∴0<(2k＋1)π<2013π，∴0≤k<1006，k∈Z.∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2011π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2011π＝eq\f(eπ[1－e2π1006],1－e2π)＝eq\f(eπ1－e2012π,1－e2π)，故选B.12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A．eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)[答案]A[解析]f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0，,1－p－q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得当x＝eq\f(1,3)时f(x)取极大值eq\f(4,27).当x＝1时f(x)取极小值0.13．(2014·西川中学高二期中)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A．－1<a<2 B．－3<a<6C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2[答案]C[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.二、填空题14．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________________，b＝________.[答案]－3－9[解析]y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝－\f(2a,3)，,－3＝\f(b,3).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－9.))经检验a＝－3，b＝－9符合题意．三、解答题15．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．[解析](1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝