2026年（北师大版）高中数学选修2-2第7讲-直接证明与间接证明 含解析

/直接证明与间接证明____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________了解直接证明的一种基本方法──综合法、分析法；了解间接证明的一种基本方法──反证法；(3)了解综合法、分析法、反证法的思考过程与特点,会用综合法、分析法、反证法证明数学问题.类型一、直接证明：一.综合法1.定义：_______________________________________________________________2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)二.分析法1.定义：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件)4.分析法的书写格式：例3求证:例3求证:证明：因为都是正数，所以要证只需证展开得只需证只需证因为显然成立，所以要证：¼¼只要证：¼¼只需证：¼¼¼¼显然成立上述各步均可逆所以,结论成立类型二、反证法：反证法：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________（2）反证法的一般步骤：a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。（3）应用反证法的情形：=1\*GB3①直接证明困难;=2\*GB3②需分成很多类进行讨论．=3\*GB3③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；=4\*GB3④结论为“唯一”类命题；（4）关键在于归缪矛盾：a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。题型一综合法：例1已知a,b,c是不全相等的正数，求证：例2在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b，c,且A,B,C成等差数列,a,b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.练习：1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列,成等比数列,求证△ABC为等边三角形.2、已知求证题型二分析法：例2若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc。练习:在锐角中,求证:题型三反证法：例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.例3、求证：是无理数。练习：已知，，求证：不能同时大于。1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：3、若实数，求证：已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2013·陕西理，7)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定2．(2013·浙江理，3)已知x、y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy3．设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤eq\f(a2＋b2,2) B．ab<1<eq\f(a2＋b2,2)C．ab<eq\f(a2＋b2,2)<1 D．eq\f(a2＋b2,2)<1<ab4．设0<x<1，则a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一个是()A．a B．bC．c D．不能确定[点评]可用特值法：取x＝eq\f(1,2)，则a＝1，b＝eq\f(3,2)，c＝2.5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A二、填空题7．已知a>0，b>0，m＝lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)，n＝lgeq\f(\r(a＋b),2)，则m与n的大小关系为________．8．设a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则a、b、c的大小关系为________．9．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a、b应满足的条件是________．三、解答题10．(2013·华池一中高三期中)已知n∈N*，且n≥2，求证：eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1).能力提升一、选择题11．(2013·大庆实验中学高二期中)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，则()A．3f(ln2)>2f(ln3) B．3f(ln2)<2f(ln3)C．3f(ln2)＝2f(ln3) D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定12．要使eq\r(3,a)－eq\r(3,b)<eq\r(3,a－b)成立，a、b应满足的条件是()A．ab<0且a>b B．ab>0且a>bC．ab<0且a<b D．ab>0且a>b或ab<0且a<b13．(2014·哈六中期中)若两个正实数x、y满足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m、n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个．A．3 B．2C．1 D．0二、填空题15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝________.三、解答题16．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，求证：eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).17．求证：eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).备用例题1：已知求证：备用例题2:已知，求证：cos－sin＝3(cos＋sin)．一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是()A．a<bB．a≤bC．a＝bD．a≥b6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋eq\f(1,b)，c＋eq\f(1,a)，b＋eq\f(1,c)中()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－28．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝eq\f(xn(x\o\al(2,n)＋3),3x\o\al(2,n)＋1)(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn<xn＋1，或者对任意正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn＝xn＋1C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0二、填空题11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．三、解答题15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于eq\f(1,4).17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．18．(2010·湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．直接证明与间接证明____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________了解直接证明的一种基本方法──综合法、分析法；了解间接证明的一种基本方法──反证法；(3)了解综合法、分析法、反证法的思考过程与特点,会用综合法、分析法、反证法证明数学问题.类型一、直接证明：一.综合法1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)二.分析法1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.2.思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件)4.分析法的书写格式：例3求证:例3求证:证明：因为都是正数，所以要证只需证展开得只需证只需证因为显然成立，所以要证：¼¼只要证：¼¼只需证：¼¼¼¼显然成立上述各步均可逆所以,结论成立类型二、反证法：反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。（2）反证法的一般步骤：a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。（3）应用反证法的情形：=1\*GB3①直接证明困难;=2\*GB3②需分成很多类进行讨论．=3\*GB3③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；=4\*GB3④结论为“唯一”类命题；（4）关键在于归缪矛盾：a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。题型一综合法：例1已知a,b,c是不全相等的正数，求证：证明：以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，故总结：本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明.例2在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b，c,且A,B,C成等差数列,a,b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C．eq\o\ac(○,1)因为A,B,C为△ABC的内角，所以A+B+C=．eq\o\ac(○,2)由①②，得B=.eq\o\ac(○,3)由a,b，c成等比数列，有.eq\o\ac(○,4)由余弦定理及③，可得.再由④，得.,因此.从而A=C.eq\o\ac(○,5)由②③⑤，得A=B=C=.所以△ABC为等边三角形．总结:解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．练习：1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列,成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C;A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=；a,b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C．①因为A,B,C为△ABC的内角，所以A+B+C=．⑧由①②，得B=.由a,b，c成等比数列，有.由余弦定理及③，可得.再由④，得.,因此.从而A=C.由②③⑤，得A=B=C=.所以△ABC为等边三角形．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．2、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？题型二分析法：例2若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc。证明：要证lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc，只需证lg··>lg（a·b·c），只需证··＞abc。但是，，，。且上述三式中的等号不全成立，所以，··＞abc。因此lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc。分析：从定不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的重要条件练习:在锐角中,求证:证明:要证明只需证因为A、B为锐角,所以只需证只需证因为C为锐角,为钝角所以恒成立所以题型三反证法：例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则，即是奇数。所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则。这样的内角和。这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。例3、求证：是无理数。证明：不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设，且p，q互素，则。所以..①故是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入①式，则有，即，所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。因此，假设不成立，即“是无理数”。练习：已知，，求证：不能同时大于。证法一：假设三式同时大于，即，，，三式同向相乘得，又，同理，，这与假设矛盾，故原命题得证。证法二：假设三式同时大于，，同理三式相加得，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题得证 1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：证明：∵≥2bc,a＞0,∴≥2abc①同理≥2abc②≥2abc③因为a，b，c不全相等，所以≥2bc,≥2ca,≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号∴2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：证明：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，∴又∵a，b，c都是正数，所以≤∴∴∴3、若实数，求证：证明：采用差值比较法：====∴∴4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd≤b2c2+a2d2即证0≤(bc-ad)2因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用综合法证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2∴≥|ac+bd|≥ac+bd故命题得证分析三:用比较法证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2∴≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证a3+b3＞a2b+ab2成立，

只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，

即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2013·陕西理，7)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定[答案]B[解析]由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以，sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝eq\f(π,2)，所以△ABC是直角三角形．2．(2013·浙江理，3)已知x、y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy[答案]D[解析]2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx·2lgy.3．设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤eq\f(a2＋b2,2) B．ab<1<eq\f(a2＋b2,2)C．ab<eq\f(a2＋b2,2)<1 D．eq\f(a2＋b2,2)<1<ab[答案]B[解析]ab<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2<eq\f(a2＋b2,2)(a≠b)．4．设0<x<1，则a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一个是()A．a B．bC．c D．不能确定[答案]C[解析]因为b－c＝(1＋x)－eq\f(1,1－x)＝eq\f(1－x2－1,1－x)＝－eq\f(x2,1－x)＜0，所以b<c.又因为(1＋x)2>2x>0，所以b＝1＋x>eq\r(2x)＝a，所以a<b<c.[点评]可用特值法：取x＝eq\f(1,2)，则a＝1，b＝eq\f(3,2)，c＝2.5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y[答案]D[解析]∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，则eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8).所以有x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y，故排除A、B、C，选D.6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A[答案]A[解析]eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又函数f(x)＝(eq\f(1,2))x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f(eq\f(a＋b,2))≤f(eq\r(ab))≤f(eq\f(2ab,a＋b))．二、填空题7．已知a>0，b>0，m＝lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)，n＝lgeq\f(\r(a＋b),2)，则m与n的大小关系为________．[答案]m>n[解析]因为(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)>a＋b>0，所以eq\f(\r(a)＋\r(b),2)>eq\f(\r(a＋b),2)，所以m>n.8．设a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则a、b、c的大小关系为________．[答案]a>c>b[解析]b＝eq\f(4,\r(7)＋\r(3))，c＝eq\f(4,\r(6)＋\r(2))，显然b<c，而a2＝2，c2＝8－2eq\r(12)＝8－eq\r(48)<8－eq\r(36)＝2＝a2，所以a>c.也可用a－c＝2eq\r(2)－eq\r(6)＝eq\r(8)－eq\r(6)>0显然成立，即a>c.9．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a、b应满足的条件是________．[答案]a≠b且a≥0，b≥0[解析]aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)⇔aeq\r(a)＋beq\r(b)－aeq\r(b)－beq\r(a)>0⇔a(eq\r(a)－eq\r(b))＋b(eq\r(b)－eq\r(a))>0⇔(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0⇔(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2>0只需a≠b且a，b都不小于零即可．三、解答题10．(2013·华池一中高三期中)已知n∈N*，且n≥2，求证：eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1).[证明]要证eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1)，即证1>n－eq\r(nn－1)，只需证eq\r(nn－1)>n－1，∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，只需证n>n－1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．一、选择题11．(2013·大庆实验中学高二期中)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，则()A．3f(ln2)>2f(ln3) B．3f(ln2)<2f(ln3)C．3f(ln2)＝2f(ln3) D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定[答案]B[解析]令F(x)＝eq\f(flnx,x)(x>0)，则F′(x)＝eq\f(f′lnx－flnx,x2)，∵x>0，∴lnx∈R，∵对任意x∈R都有f′(x)>f(x)，∴f′(lnx)>f(lnx)，∴F′(x)>0，∴F(x)为增函数，∵3>2>0，∴F(3)>f(2)，即eq\f(fln3,3)>eq\f(fln2,2)，∴3f(ln2)<2f(ln3)．12．要使eq\r(3,a)－eq\r(3,b)<eq\r(3,a－b)成立，a、b应满足的条件是()A．ab<0且a>b B．ab>0且a>bC．ab<0且a<b D．ab>0且a>b或ab<0且a<b[答案]D[解析]eq\r(3,a)－eq\r(3,b)<eq\r(3,a－b)⇔a－b＋3eq\r(3,ab2)－3eq\r(3,a2b)<a－b.∴eq\r(3,ab2)<eq\r(3,a2b).∴当ab>0时，有eq\r(3,b)<eq\r(3,a)，即b<a；当ab<0时，有eq\r(3,b)>eq\r(3,a)，即b>a.13．(2014·哈六中期中)若两个正实数x、y满足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案]B[解析]∵x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，∴x＋eq\f(y,4)＝(x＋eq\f(y,4))(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))＝2＋eq\f(y,4x)＋eq\f(4x,y)≥2＋2eq\r(\f(y,4x)·\f(4x,y))＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋eq\f(y,4)的最小值为4，要使不等式m2－3m>x＋eq\f(y,4)有解，应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选B.14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m、n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个．A．3 B．2C．1 D．0[答案]A[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.二、填空题15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝________.[答案]－eq\f(1,2)[解析]由题意sinα＋sinβ＝－sinγ ①cosα＋cosβ＝－cosγ ②①，②两边同时平方相加得2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝12cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－eq\f(1,2).三、解答题16．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，求证：eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).[证明]要证明eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m)，只需证明eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)－eq\f(c,c＋m)＞0即可．∵eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)－eq\f(c,c＋m)＝eq\f(ab＋mc＋m＋ba＋mc＋m－ca＋mb＋m,a＋mb＋mc＋m)，∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).17．求证：eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).[证明]要证明原等式成立．即证明sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝sinβ，又因为sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]－2sinαcos(α＋β)＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2sinαcos(α＋β)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.所以原命题成立．备用例题1：已知求证：证明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R＋，则所以.备用例题2:已知，求证：cos－sin＝3(cos＋sin)．证明：要证cos－sin＝3(cos＋sin)，只需证，只需证，只需证1－tan＝3(1＋tan)，只需证tan＝－eq\f(1,2)，∵，∴1－tan＝2＋tan，即2tan＝－1.∴tan＝－eq\f(1,2)显然成立，∴结论得证．一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案]C[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数[答案]B[解析]a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°[答案]B[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数[答案]B[解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是()A．a<bB．a≤bC．a＝bD．a≥b[答案]B[解析]“a>b”的否定应为“a＝b或a<b”，即a≤b.故应选B.6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线[答案]C[解析]假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋eq\f(1,b)，c＋eq\f(1,a)，b＋eq\f(1,c)中()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2[答案]C[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))∵a，b，c∈(－∞，0)，∴a＋eq\f(1,a)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))))≤－2b＋eq\f(1,b)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－b＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,b)))))≤－2c＋eq\f(1,c)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,c)))))≤－2∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))≤－6∴三数a＋eq\f(1,b)、c＋eq\f(1,a)、b＋eq\f(1,c)中至少有一个不大于－2，故应选C.8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案]B[解析]对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁[答案]C[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝eq\f(xn(x\o\al(2,n)＋3),3x\o\al(2,n)＋1)(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn<xn＋1，或者对任意正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn＝xn＋1C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0[答案]D[解析]命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.二、填空题11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”．12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案]a，b都不能被5整除[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”．13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．[答案]③①②[解析]由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明