初中数学自主招生难度讲义-7年级 专题26 奇偶分析-答案

专题26奇偶分析例1668提示：裴波拉数列各项的奇偶性规律是：从第一个数开始，每组连续的3个数中，前两个数是奇数，第三个数是偶数，又因为2004÷3＝668.所以前2004个数中共有668个偶数.例2D例3假设存在自然数a和b，使.则（a＋b）(a－b)＝2002＝2×1001，若a，b同为奇数或同为偶数，则（a＋b）×（a－b）必定是“偶数×偶数”；若a，b为一奇一偶，则(a＋b)(a－b)必定是“奇数×奇数”.上述两种情况均与等式右边的“偶数×奇数”相矛盾，故找不到自然数a和b，使.例4提示：设6张卡片正面写的数是，反面写的数对应为，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为.设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，…，5这6个值，于是＝0＋1＋2＋…＋5＝15是个奇数.又与（i＝1，2，3…，6）的奇偶性相同，所以与的奇偶性相同，是个偶数，导致矛盾.例5提示：不能，理由如下：将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1，B用2，…，Z用26代替），这样表甲和表乙就分别变成了表丙和表丁：1915218112419202661685247815314182021914222436251表丙表丁这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换：1→2，2→3，…，25→26，26→1.显然，每次操作不改变这16个数字和的奇偶性，但表丙、表丁16个数字的和分别为213，174，它们的奇偶性不同，故表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙．例6由于乘积都是＋1或－1，且总和为0．所以一定有偶数项，即n一定是偶数2m.将上面的n个数相乘，一方面，其中的＋1和－1各有m个，所以它们的乘积为，另一方面，在乘积中，作为因数都出现四次，所以乘积为＋1，于是，m为偶数，故n是4的倍数．【能力训练】1．偶2.1999提示：由＋b＝2001知，b必为一奇一偶．又∵a是质数且a为偶数．∴a＝2，b＝997，故a＋b＝1999.3.19或254.19提示：在中，十位数字是奇数的只有＝16，＝36，两位数的平方可以表示为=100＋20ab＋，它的十位数的奇偶性与十位数字的奇偶性相同，因此，b只能取4与6，即相邻的每10个数中有两个数的十位数字是奇数．5．D提示：设是1，2，3，4，5中一个满足要求的数列，首先，对于不能连续两个都是偶数，否则这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾，其次，如果(1≤i≤3)是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以，只能是偶奇奇偶奇，故有如下5种情形满足条件：①2，1，3，4，5;②2，3，5，4，1;③2，5，1，4，3;④4，3，1，2，5；⑤4，5，3，2，1.6．B7．C8．D9.提示：10．考虑黑板上保留奇数的个数.经过一次操作，如果是一个奇数和一个偶数，则和或差仍为奇数，奇数的个数保持不变．如果是两个奇数，则和或差为偶数．奇数的个数减少2个；如果是两个偶数，则和或差为偶数．奇数的个数保持不变.由以上分析知，经过操作，黑板上奇数的个数的奇偶性不变．由于一开始黑板上共有奇数，即有奇数个奇数．经过若干次操作后，黑板上一定仍保留着奇数个奇数，故留下的一个数不可能为0．11．找不到满足条件的三个整数，理由如下：假设存在整数a，b，c满足等式，则左边四个式子中至少有一个是偶数，不妨a＋b＋c为偶数，则a－b＋c＝(a＋b＋c)－2b，a＋b－c＝(a＋b＋c)－2c，(b＋c－a)－(a＋b＋c)－2a都为偶数，从而左边能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾．12.－盏灯的开关被拉动奇数次后，改变原来的状态，而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态，因1999＝7×285＋4，又A，B，C，D四盏灯的开关