第1讲 菱形的性质与判定-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）（教师版）

第一讲菱形的性质与判定【学习目标】1.理解菱形的定义。2.经历探索菱形的性质和判别条件的过程，进一步了解和体会说理的基本方法.3.了解菱形的现实应用和常用判别条件.探索并掌握菱形的判定.4.在操作活动过程中，加深师生的情感.培养学生的观察能力，并提高学生的学习兴趣.【基础知识】1、菱形的性质菱形的性质由平行四边形的性质+菱形的特性组成。因此，要学习菱形的性质，在平行四边形性质各性质基础上，我们更应该熟练掌握的是菱形的特性1）.菱形的邻边相等2）.对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3）.菱形面积=对角线乘积的一半；2、矩形的判定方法分为两种途径：1）.在四边形基础上证明四条边相等的四边形是菱形；在平行四边形基础上+菱形特性：2）.邻边相等的平行四边形是菱形；3）.有对角线互相垂直的平行四边形是菱形；【考点剖析】考点一：应用菱形的性质进行计算求解例1．如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的大小．（3）在第（2）问的基础上，且，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）30°；（3）【解析】（1）证明：四边形是菱形，，又，，四边形是平行四边形；（2）四边形是平行四边形，，，又四边形是菱形，，；（3）过点作交于，，，AE=4，又，，，，，，∴．考点二：菱形的判定例2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E，EH⊥AB，垂足为H，连接FH．(1)求证：CF=CE(2)试判断四边形CFHE的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)四边形CFHE是菱形.【解析】(1)证明：如图∵∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠AE平分∠CAB，∴∠1=∠2，∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，∴CF=CE(2)四边形CFHE是菱形理由：∵AE平分∠CAB，CE⊥AC，EH⊥AB，∴CE=EH，由(1)CF=CE，∴CF=EH，∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴∠CDB=90°，∠EHB=90°，∴∠CDB=∠EB，∴CD∥EH，即CF∥EH，∴四边形CFHE是平行四边形．∵CF=CE，∴四边形CFHE是菱形.考点三：菱形与尺规作图例3．如图，平行四边形ABCD中，以B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点F，作∠ABC的角平分线，交AD于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABFE是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求四边形ABFE的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AEB，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠ABE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE，∵AB＝BF，∴AE＝BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；（2）过A作AG⊥BC，∴∠AGB＝90°，∵AB＝4，∠ABC＝60°，∴∠BAG=30°，∴BG＝2，AG＝2，∵BF＝AB＝4，∴四边形ABFE的面积＝BF•AG＝8．【真题演练】1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【答案】D【详解】解：A、菱形的两组对边分别平行，平行四边形的两组对边也分别平行，故此选项不符合题意；B、菱形的两组对角分别相等，平行四边形的两组对角也分别相等，故此选项不符合题意；C、菱形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分，故此选项不符合题意；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质，故此选项符合题意．故选：D．2．如图，菱形中，，则（）A．130° B．125° C．120° D．150°【答案】D【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∠B=∠D，∴∠BCA=∠1，∵，∴∠BCA=15°，∴∠B=180°-∠BCA-∠1=150°，∴∠D=150°；故选：D．3．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【详解】∵E，F分别是AD，BD的中点∴为的中位线∴又∵是菱形∴∴故答案选：D.4．如图过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个梯形，这两个梯形全等的理由是（）A．因为菱形是轴对称图形B．因为菱形是中心对称图形C．因为菱形既是轴对称图形又是中心对称图形D．因为菱形对角线相等且互相平分【答案】B【详解】解：∵菱形是中心对称图形，∴过菱形对角线的交点的任意一条直线分成两个梯形全等．故选：B．5．如图，平行四边形的周长是，对角线于点，若，则的长等于（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解:平行四边形中，平行四边形是菱形，平行四边形的周长是，中，，故选：D．6．如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，并且，则的长是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设，根据C′D∥BC，∴∠C′DE=∠DEC=∠DEC′，∴EC′=DC′，∵EC=EC′，∴C′D=EC，可得四边形是菱形；即中，，，；故可得；解得．故选：A．7．如图，在中，作以为内角，四个顶点都在边上的菱形时，如下的作图步骤是打乱的．①分别以点，为圆心，大于的长为半径在的两侧作弧，两弧相交于点，；②作直线分别交，于点，，连接，；③分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于内一点，连接并延长交边于点；④以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，．则正确的作图步骤是（）A．②④①③ B．④③②① C．②④③① D．④③①②【答案】D【详解】解：正确的作图步骤是：以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于内一点，连接并延长交边于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径在的两侧作弧，两弧相交于点，；作直线分别交，于点，，连接，故答案为：D．8．如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，若AE＝AC，∠B＝48°，则∠BAE的大小为_____．【答案】114°【详解】∵四边形ABCD是菱形，，CA平分．∵∠B＝48°，，．∵AE＝AC，，，故答案为：114°．9．若菱形的周长为20，一条对角线长为6，则另一条对角线长为_______．【答案】8【详解】解：如图，∵菱形的周长为20，∴AB=AD=CD=BC=5，AO=CO=3，AC⊥BD，BO=DO，∴BO=∴BD=8，故答案为：8．10．一个菱形的边长为5，两条对角线的长度之和为14，则此菱形的面积为___________．【答案】24【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO=AC，DO=BO=BD，AC⊥BD，∵AC+BD=14，∴OD+AO=7①，∵∠AOB=90°，∴OD2+OA2=25②，由①②两式可得49-2OD•OA=25，解得：OD•OA=12，∴BD•AC=2OD•2OA=4OD•OA，∴菱形面积=BD•AC=2OD•OA=24．故答案为：24．11．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD的面积是_____cm2．【答案】96【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，∴OB＝＝8（cm），∴BD＝2OB＝16cm，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96（cm2）．故答案为：96．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AM⊥CD于点M，已知AC＝6，BD＝8，则AM＝_____．【答案】【详解】解：∵四边形是ABCD菱形，∴AC⊥BD，，，，∴△DOC是直角三角形，∴，∵AM⊥CD，∴,∴．故答案为：13．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．【答案】见解析【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=AF．14．已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB>AC．求作：BC边上的高AD．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于点E；②分别以点B，E为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点F(不与点A重合)；③连接AF交BC于点D．线段AD就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AE，EF，BF．∵AB=AE=EF=BF，∴四边形ABFE是_______（________）（填推理依据）．∴AF⊥BE．即AD是△ABC中BC边上的高．【答案】（1）见解析；（2）菱形，四条边相等的四边形是菱形【详解】（1）依作法补全图形，如下图．（2）菱形．四条边相等的四边形是菱形．故答案为：菱形，四条边相等的四边形是菱形．15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点F是AC上一点，连接BF、DF．（1）证明：△ABF≌△ADF；（2）若AB//CD，试证明四边形ABCD是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵，∴△ABF≌△ADF（SAS）；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∵△ABF≌△ADF,∴∠BAF=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵AB=AD，∴AB=DC，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．16．如图，AEBF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∴AB＝＝＝5，∴BC＝AB＝5，∴BC•AM＝AC•BD，即5AM＝×6×8，∴AM＝．【过关检测】1．下面性质中，菱形不一定具备的是（）A．四条边都相等 B．每一条对角线平分一组对角C．邻角互补 D．对角线相等【答案】D【解析】A.菱形的四条边都相等，说法正确，不符合题意；B.菱形的每一条对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意；C.菱形的邻角互补，说法正确，不符合题意；D.菱形的对角线不一定相等，说法不正确，符合题意．故选D．2．如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF=5，则菱形ABCD的周长为（）A．15 B．20 C．30 D．40【答案】D【解析】解：∵E、F分别是AC、DC的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴AD＝2EF＝2×5＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4×10＝40．故选：D．3．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为（）A．20° B．30°C．35° D．40°【答案】C【解析】∵∠1＝50°，∠2＝20°∴∵四边形ABCD为菱形∴∴故选：C．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①③【答案】D【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得：①正确；②错误；根据菱形的对角线平分一组内角可得③正确．④错误．故选D．5．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（）A．6cm B．cm C．3cm D．cm【答案】A【解析】如图，四边形ABCD是边长为的菱形，且则在中，菱形较短的对角线长是故选：A．6．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°【答案】D【解析】解:四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，，，四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点分别作，边上的高为，．则（两纸条相同，纸条宽度相同）；平行四边形中，，即，，即．故正确；平行四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．，（菱形的对角相等），故正确；，（平行四边形的对边相等），故正确；如果四边形是矩形时，该等式成立．故不一定正确．故选：．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝8，S菱形ABCD＝96，则OE的长为（）A．2 B．2 C．6 D．8【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝16，∵S菱形ABCD═AC×BD＝96，∴AC＝12，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝6，故选C．8．如图，在平行四边形ABCD，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点G，做射线AG交BC与点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）．A．17 B．16 C．15 D．14【答案】B【解析】由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE＝∠BAE，∴AF＝AB，EF＝EB，∵AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴BA＝BE，∴BA＝BE＝AF＝FE，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF∵BF=12，AB=10，∴BO=BF=6∴AO=∴AE=2AO=16故选B．9．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为______．【答案】15°【解析】解：根据菱形的对角相等得∠ADC=∠B=70°．∵AD=AB=AE，∴∠AED=∠ADE．根据折叠得∠AEB=∠B=70°．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°，∴∠ADE=∠AED=（180°-∠DAE）÷2=55°．∴∠EDC=70°-55°=15°．故答案为：15°.10．如图所示，菱形的对角线的长分别为和是对角线上任一点(点不与点重合)，且交于交于则阴影部分的面积是_______．【答案】【解析】解：如下图所示，设AP与EF相交于O点，∵四边形ABCD为菱形，∴BC//AD，AB//CD，∵PE//BC，PF//CD，∴PE//AF，PF//AE．∴四边形AEFP是平行四边形，∴，且∵菱形ABCD对角线长分别为3、6，∴，∴，故答案为：．11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F.（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若OE=10，AC=16，求菱形ABCD的面积.【答案】（1）四边形AEBO为矩形，理由见解析（2）96【解析】（1）四边形AEBO为矩形，理由如下：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O∴AC⊥BD，∵BE∥AC，AE∥BD，∴BE⊥BD，AE⊥AC，∴四边形AEBO为矩形；（2）∵四边形AEBO为矩形∴AB=OE=10，∵AO=12∴OB=10∴BD=12，故S菱形ABCD=12AC×BD=112．某工人为一客户制作一长方形防盗窗，为了牢固和美观，设计如图所示，中间为三个菱