第01讲 菱形的性质与判定-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（原卷版）

第01讲菱形的性质与判定【学习目标】1.理解菱形的概念.2.掌握菱形的性质定理与判定定理.3.了解平行四边形与菱形的概念之间的从属关系.【基础知识】一．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）二．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形三．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．【考点剖析】一．菱形的性质（共3小题）1．（2022•济南二模）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．2．（2021秋•白云区期末）一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，求菱形的周长．3．（2020秋•商河县校级期末）菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，AD＝4cm．（1）求BD的长；（2）求菱形ABCD的面积．二．菱形的判定（共4小题）4．（2021春•大兴区期中）已知：如图，点F在△ABC的边AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，AB＝AF．求证：四边形ABEF是菱形．5．（2021春•饶平县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点F，求证：四边形DFGE是菱形．6．（2019春•天心区校级期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．7．（2020秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．三．菱形的判定与性质（共4小题）8．（2021春•柳南区校级期末）已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．9．（2021春•天心区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE为菱形；（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．10．（2020秋•陕西期中）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）若AB＝5，求AC的长．11．（2021春•饶平县校级期末）如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2022春•番禺区校级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（）①；②与△EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④2．（2022•播州区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定成立的是（）A．∠BAD＝60° B．AC＝BD C．AB＝BC D．OA＝2OD3．（2022春•新邵县期中）如图，菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，则该菱形的面积为（）A．60 B．80 C．100 D．1204．（2022春•广州期中）在菱形ABCD中，AC是对角线，CD＝CE，连接DE．AC＝16，CD＝10，则DE的长为（）A． B． C．或 D．二．填空题（共7小题）5．（2022春•东莞市校级期中）已知菱形的面积为18，一条对角线长为2，另一条对角线为．6．（2022•高州市一模）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝．7．（2022•甘井子区校级模拟）菱形的两条对角线分别为6和8，则菱形的周长为8．（2021秋•潍坊期末）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定平行四边形ABCD为菱形的是．A．AC⊥BDB．∠ABD＝∠CBDC．AB＝BCD．AC＝BD9．（2022春•凉州区期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是．10．（2021秋•陈仓区期中）如图，AD∥BC，AB∥DC，AB＝4，∠ADE＝150°，那么∠A＝时，四边形ABCD是菱形，且BD＝．11．（2020•嘉兴）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：，使▱ABCD是菱形．三．解答题（共6小题）12．（2022•邢台模拟）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．13．（2020•延边州二模）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．14．（2018秋•宁德期末）利用所给的图形证明：一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形．（写出已知、求证并加以证明）已知：求证：证明：15．（2018秋•揭西县校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证：（1）∠E＝∠F；（2）四边形ABCD是菱形．16．（2020•高明区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作AD∥BC，CD∥AB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE．（1）求