初中9年级数学 暑假自学预习 第04讲 用因式分解法求解一元二次方程(解析版)

第04讲用因式分解法求解一元二次方程内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程题型2用十字相乘法求解一元二次方程题型3用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题题型4用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题题型5新定义型用因式分解法解一元二次方程问题题型6换元法解一元二次方程04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航因式分解法、降次、积为零、提取公因式、公式法。1.理解因式分解法的原理（若AB=0，则A=0或B=0），体会降次思想。2.能根据方程特点，选择提取公因式法、平方差公式或完全平方公式分解因式。3.熟练运用因式分解法解一元二次方程，并规范书写求解步骤。4.对比四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方程特征灵活选择简便方法。学习重点：运用因式分解法（提公因式、平方差、完全平方）解一元二次方程。学习难点：根据方程特征灵活选择合适的因式分解方法，以及对含括号或需要变形的方程正确分解。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.【易错提醒】必须先化为一般形式并移项使右边为0，再分解因式。注意：不能两边同时除以含未知数的式子，否则会失根。即时即练1．用因式分解法解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（1）先移项，然后提公因式即可解答本题；（2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．【详解】（1）解：，，，，或，解得，；（2）解：，，，，或，解得，．2．用十字相乘法解方程(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】（1）解：，方程整理得：，解得：，；（2）解：，方程整理得：，解得：，．知识点02常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【易错提醒】提公因式时注意符号与漏项；平方差公式看清谁减谁；完全平方公式勿忘中间项；十字相乘要验证交叉和。分解务必彻底。即时即练1．用恰当的方法解下列方程．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法进行求解；（1）利用配方法进行求解；（2）利用提公因式法和因式分解法进行求解．【详解】（1）解：，，解得：；（2）解：，，，，解得：．2．用适当的方法解下列一元二次方程(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键；（1）根据求根公式法即可求解；（2）根据因式分解法化为，再解两个一元一次方程，即可求解．【详解】（1）解：，∴，.∴，∴，∴，．（2）；∴．∴，即，∴，或．∴，．题型1用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程【例1】解方程：．【答案】，【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：解得，．【例2】解方程：．【答案】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴或，解得．【技巧归纳】1.移项整理：方程一边化为0。2.分解因式：提公因式、平方差、完全平方公式分解。3.令各因式为零：得两个一元一次方程求解，注意不能两边同除以含未知数的项。【变式1-1】解方程：．【答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：或解得，．【变式1-2】解方程：【答案】，．【分析】直接利用因式分解法求解即可．本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，并能灵活运用是解题关键．【详解】解：或．，．【变式4】用因式分解法解方程：．【答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再利用因式分解法解方程即可．【详解】解：，∴，∴，所以或，解得，．题型2用十字相乘法求解一元二次方程【例3】用十字相乘法解方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】根据因式分解法求解即可.【详解】（1）解：方程可以化为：，∴或，∴，；（2）解：方程可以化为：，∴或，∴，；（3）解：方程可以化为：，∴或，∴，．【例4】阅读材料：由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．示例：分解因式：．(1)尝试：分解因式(______)(______)；(2)应用：请用上述方法解方程．(3)拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为_____．【答案】(1)2，4；(2)，；(3)或或．【分析】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程；（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案；（2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解；（3）结合，利用因式分解法可分别求得值即可．【详解】（1）解：故答案为：2，4；（2）解：∵，或，解得：，；（3）∵，当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，．综上所述的值可以是，，，，．【技巧归纳】1.拆首尾：将二次项、常数项分解因数，交叉相乘再相加得一次项系数。2.横写因式：写成(x+p)(x+q)=0形式。3.快速检验：p+q=b，p∙q=c。注意符号调整。【变式2-1】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式①竖分二次项与常数项：②交叉相乘，验中项：

③横向写出两因式：（2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解：方程左边因式分解得或试用上述这种十字相乘法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可；（3）利用十字相乘法解方程即可；（4）利用十字相乘法解方程即可．【详解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，；（3）或∴，；（4）或∴，．【变式2-2】阅读与理解：（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答解：①竖分二次项与常数项：，．②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；③横向写出两因式：．我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）例：解方程．解：，或，，；请用上述方法解答下列问题．（3）①因式分解：______；②解方程：；③已知，求的值．【答案】（3）①；②；③或【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键．（3）①利用十字相乘法分解即可；②利用十字相乘法因式分解因式求解即可；③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值．【详解】（3）解：①．故答案为：；②∵，∴，∴或，∴；③∵，∴，∴或，∴或．题型3用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题【例5】下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．小刚同学：解：．第一步．第二步解得．第三步小颖同学：解：．第一步．第二步．第三步或．第四步解得或第五步任务一：小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________；小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________．任务二：写出该方程的正确求解过程．【答案】任务一：二，方程两边同时除以可能为0的代数式；三，提公因式时，后边的未变号；任务二：，．【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．解决本题的关键是利用提公因式法分解式解一元二次方程，在解方程的过程中要注意不能随便除以一个代数式，提公因式时要注意符号是否需要变化．【详解】任务一：解：代数式的值可能为，小刚同学在第二步中，方程两边同时除以是错误的；小颖同学在第三步时提公因式时，后边的是，提公因式时，后一项应变号，而小颖同学没有变号，小颖同学的做法错误；任务二：解：，移项得：，整理得：，提公因式得：，或，解得：，．【例6】下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务：解方程：．解：，……第一步，……第二步，……第三步或，……第四步解得：，……第五步任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：请正确地解该方程．【答案】任务一：①因式分解法；②三，合并同类项出错任务二：，【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．任务一：①利用因式分解法解一元二次方程的步骤判断即可；②根据题目中所解的步骤检查即可清楚第三步合并同类项错误；任务二：利用因式分解法解一元二次方程即可；【详解】任务一：①以上解方程过程中，主要是依据因式分解法来求解的；②第三步开始出现错误，错误的原因是合并同类项出错；任务二：解：，或解得：，．【技巧归纳】1.找错误点：检查移项是否漏变号，因式分解是否彻底，有无两边同除含未知因式导致丢根。2.逆向还原：从错误结果倒推过程，对比正解定位步骤。3.验证根：代入原方程确认遗漏或增根。【变式3-1】下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．解方程：．解：方程两边同除以，得．第一步移项，合并同类项，得．第二步系数化为1，得．第三步任务：①小明的解法从第___________步开始出现错误；②此题的正确结果是___________；③用因式分解法解方程：．【答案】①一；②，；③，【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项→将方程的右边化为零；化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【详解】解：①明的解法从第一步开始出现错误，故答案为：一；②，，即，∴或，解得：，，∴此题的正确结果是：，，故答案为：：，；③，，，，∴或，解得：，．【变式3-2】按要求解答下列问题：小华与小芳两位同学解方程的过程如下框：小华：解：两边同时除以，得，∴．小芳：解：，，或，解得：，．任务：(1)小华的解法是错误的，原因是．(2)小芳的解法是（填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解．【答案】(1)见解析；(2)小芳的解法错误，，．【分析】（）根据根据题意得小华忽略的情况是没有考虑；（）根据一元二次方程的解法即可求解；本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解法是解题的关键．【详解】（1）根据题意得：小华忽略的情况是没有考虑，故答案为：没有考虑；（2）小芳的解法错误，由或，解得：，．题型4用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题【例7】菱形的一条对角线长为，边长为一元二次方程的一个根，则菱形的另一条对角线长为．【答案】8【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理．先利用因式分解法解方程得到，，再利用菱形的性质与三角形的三边关系质确定，从而根据菱形的对角线互相垂直平分即可解答．【详解】解：菱形的一条对角线长为6，如图，不妨设解方程得，，∴或，若，则在菱形中，，此时，，这不能构成三角形；若，则在菱形中，，，，∴在中，，∴，即另一条对角线长为8．故答案为：8．【例8】如果一边长是5，另两边分别是一元二次方程的两个实数根，那么是三角形．【答案】等腰【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程的根，等腰三角形的定义，先求出方程的两个根，得出三角形的三条边为5，5，2，从而做出判断．【详解】解：，，，，∵三角形的两边分别是一元二次方程的两个实数根，三角形的两边分别是：5，2，又∵的一边长为5，是等腰三角形，故答案为：等腰．【技巧归纳】1.列几何关系：用边长、面积、勾股定理等建立方程，化简为一元二次方程。2.因式分解求根：对方程因式分解，得解。3.检验取舍：剔除不满足几何条件（如边长非负、三角形三边关系）的根。【变式4-1】如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为．【答案】20【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形．【详解】解：∵，∴则，即，∵4，4，8不能构成三角形，∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4，∴∴周长为20．故答案为：20．【变式4-2】若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为．【答案】或【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质．另一条对角线的长是方程的一个根，解方程求得的值，根据菱形的一条对角线长为3，根据勾股定理可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长．【详解】解：解方程得：或4，∵是菱形，∴，当时，菱形的边长．∴菱形的周长是．当时，菱形的边长．∴菱形的周长是．故答案为：或．题型5新定义型用因式分解法解一元二次方程问题【例9】定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”．(1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由；(2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值．【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析(2)的最小值为．【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义．（1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可；（2）利用配方法，非负数的性质求解．【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下：∵，∴，∴或，∴，，∵，∴一元二次方程是“黄金方程”；（2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”，∴，∵，∴，∴，∵，∴的最小值为．【例10】定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”．(1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由．(2)已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？【答案】(1)是，理由见解析(2)或【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义．（1）根据已知条件中的新定义，判断是否为0即可；（2）根据已知条件中的新定义，求出m，n的关系式，把n化成m的式子，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可．【详解】（1）解：方程是“黄金方程”，理由如下：∵，，，∴∴一元二次方程是“黄金方程”；（2）解：∵是关于x的“黄金方程”，∴，∴，∴原方程可化为，∵m是此方程的一个根，，即，解得或．【技巧归纳】1.读懂定义：将新运算转化为常见代数式（如a※b=a2-b2）。2.列方程：按定义列出方程，化简为标准一元二次方程。3.因式分解求解：用合适方法分解，解出未知数，注意检验定义域。【变式5-1】定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；①；②．(2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值．【答案】(1)①不是“差1方程”，见解析；②是“差1方程”，见解析(2)或【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握“差1方程”的定义并能正确分类讨论是解决此题的关键．（1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1即可；（2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1方程”得出两个根的差为1，解关于m的一元一次方程即可．【详解】（1）解：①，，，，不是“差1方程”，②，，，，，，是“差1方程”；（2）解：，，，方程（是常数）是“差1方程”，或，或．【变式5-2】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．(1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”；(2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值．【答案】(1)属于(2)或．【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解．（1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案；（2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解．【详解】（1）解：解方程，得，，解方程，得，，∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根，∴一元二次方程与属于“同伴方程”；（2）解：解，得，，当相同的实数根是时，则，解得，把代入，得，解得，，∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；当相同的实数根是时，则，解得，把代入，得，解得，，∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；∴m的值为或．题型6换元法解一元二次方程【例11】阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，．根据上述材料，解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解；（2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解．【详解】（1）解：设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得．原方程的解为，．（2）解：设，则原方程可化为，解得．

，即或，解得，．【例12】安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务．试题：已知，求的值．小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设，则原方程可变形为．即；解得，，或．小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法．任务：(1)已知x、y满足，求的值．(2)若a、b满足，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．（1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论；（2）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论．【详解】（1）解：设，，，，因式分解得，解得，（舍去），．（2），设，，，因式分解得，解得，，或．【技巧归纳】1.找重复结构：将相同代数式设为新元t，如(x2+x)、1x2.化整式方程：解t的一元二次方程，求出t值。3.回代求解：将t代回原式解出x，并检验（注意分母不为0、根号非负）。【变式6-1】我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：．解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：，因式分解得：，解得，，当时，，解得；当时，，解得；综上，原方程的解为，．请参考例题，解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可；（2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可．【详解】（1）解：设，则原方程可化为，，解得，，∵，∴不符合题意，舍去，当时，，解得，，综上，原方程的解为，；（2）解：设，则原方程可化为，，解得，，当时，，整理得，∵，∴此方程无实数根；当时，，整理得，解得，即，，综上，原方程的解为，．【变式6-2】【阅读材料】解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以．所以原方程有四个根：．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．【问题】(1)在解方程时，若设，则原方程可转化为___________(2)若，则___________(3)参照上面解题的思想方法解方程：．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果；（2）设，则原方程可转化为，x的方程得出，即可求解；（3）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解．【详解】（1）解：，设，则原方程可转化为；（2）解：，设，则原方程可转化为，即，∵，∴，即；（3）解：，设，则原方程可转化为，解得：，当时，，解得：，检验：当时，，∴是原方程的解；当时，，解得：，检验：当时，，∴是原方程的解；综上所述，原方程的解是，．一、单选题1．一元二次方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】C【详解】解：，则或，解得：，．2．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（

）A．15 B．13 C．11或8 D．11和13【答案】B【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案.【详解】解：∵，∴因式分解得，解得，∵三角形两边长分别为3和6，∴当第三边长为时，，不满足三角形三边关系，此种情况舍去，当第三边长为时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为.3．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（

）A． B．，C．， D．，【答案】B【分析】按照新运算规则将方程转化为常规一元二次方程，再用因式分解法求解即可．【详解】根据题意得，，原方程可化为，，或，解得，．4．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可．【详解】解：∵关于的方程的根是，∴关于的方程，即满足或，解得：．5．如果两个代数式a，b满足，且c是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好代数式”．若与是关于16的“友好代数式”（m，n是有理数），则的值为（

）A．或4 B．或4 C． D．或【答案】D【分析】根据定义求解即可．【详解】解：根据定义，得，，，，，故，，解得或，当时，，此时；当时，，此时．二、填空题6．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________．【答案】，【分析】先移项，再运用因式分解法求解该方程即可．【详解】解：，移项，得：，提取公因式，因式分解得：，或，解得，．7．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为______．【答案】15【分析】先利用因式分解法求解一元二次方程，再根据三角形三边关系舍去不符合题意的根，最后计算周长即可．【详解】解：∵，∴，∴，，当时，，能构成三角形，周长为；当时，，不能构成三角形，则三角形的周长为．8．已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____．【答案】2【分析】将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为0，∴将代入得，解得：，∵一元二次方程∴，即，∴，∴原方程为，解得：，即它的另一个根是2．9．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______．【答案】，【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根．【详解】解：整理方程，移项得：设，则上述方程可化为，根据题意可知：一元二次方程的根为，，因此可得：或，解得，．10．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________．【答案】3或【分析】先求出一元二次方程的解，，根据方程和为“牵手方程”,分情况求解即可．【详解】解：，，解得：，，当相同的根是时，代入方程可得，解得：；此时方程为，可得：，，符合题意；当相同的根是时，代入方程得，解得：，此时方程为，可得：，，符合题意；∴m的值是3或．三、解答题11．解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果．【详解】（1）解：∵，∴，∴或，∴，；（2）解：∵，∴，∴或，∴，．12．解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)