2026年吉林省中考数学试题（含答案及解析）

数学试题第1页(共6页)吉林省2026年初中学业水平考试数学试题数学试卷共6页，包括三道大题，共22道小题，全卷满分120分。考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题3分，共18分）1.如图，将一双筷子想象成两条直线，就得到一个相交线的模型.若∠1＝36°，则∠2的度数为A.30° B.36°C.54° D.144°2.吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000元，将长春市建设成为“中国光电城”.数据160000000000用科学记数法表示为A.3.近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠.如果一张车票原售价为a元，那么优惠后的票价为A.（a－9）元 B.9a元 C.0.9a元 D.0.1a元4.由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点P为边AC上不与点A，C重合的任意一点，连接BP.若∠BAC＝60°，则∠ABP的度数可能为A.20° B.35° C.45° D.60°6.十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商乘第二个数，得2014，A.C.二、填空题（每小题3分，共15分）7.不等式x+2＞5的解集为.8.因式分解：m9.已知点A（2，y₁），B（3，y₂）都在反比例函数y＝4x的图象上，比较y₁与y₂10.如图，车轮的半径OA＝30cm，车轮边缘上一点A绕点O转过的角∠AOB＝80°，则劣弧AB的长为cm（结果保留π）.11.如图，在△ABC中，AC＞AB，点D为边AB上一点，AD＝2，BD＝1.以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，连接DE.若DE∥BC，则AE＝.三、解答题（本题共11小题，共87分）12.（6分）先化简，再求值:a-12+13.（6分）第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办.组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组.请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率.14.（6分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF，连接DE，AF.求证:△DAE≌△ABF.数学试题第2页(共6页)数学试题第3页(共6页)15.（7分）吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国.购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元.求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价.16.（7分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，E均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.（1）在图①中，找一个格点M，画一个以点A，B，M为顶点的等腰三角形.（2）在图②中，找一个格点N，画一个以点C，D，E，N为顶点的平行四边形.17.（7分）某小区为了解居民生活用水情况，通过简单随机抽样，调查获得若干个家庭的月均用水量x（单位:t）.把收集到的数据分成A（1≤x<2），B（2≤x<3），C（3≤x<4），D（4≤x<5），E（5≤x<6），F（6≤x<7），G（7≤x<8），H（8≤x<9）八组，并绘制了如下频数分布直方图.请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次一共调查了多少个家庭?（2）请直接写出这些家庭月均用水量的中位数位于哪一组.（3）若该小区有550个家庭，根据以上调查结果，估计该小区有多少个家庭的月均用水量小于4t.数学试题第4页(共6页)18.（8分）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A点，到河岸的距离AB为10m，刚好正对河对岸的一棵大树P，此时点A，B，P在一条直线上.小明沿着与河岸平行的直路向右走了93m，到达C.点，此时测得.∠ACP＝35∘.求这条河的宽度PB（结果保留整数）

19.（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝3cm.动点P从点A出发，沿折线AB－BC以1cm/s的速度向终点C运动.在运动过程中，连接DP.设点P的运动时间为t（s）（t＞0），DP扫过的图形面积为S（cm2）2（1）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.（2）当DP扫过的图形面积.S（cm2）由矩形ABCD面积的14扩大到矩形ABCD面积的5620.（10分）一位记者乘坐汽车赴330km外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示.（1）求汽车在高速公路上行驶的速度.（2）求AB所在直线对应的函数解析式.（3）记者出发后多长时间到达采访地?21.（10分）如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接CE.将△BCE沿CE折叠得到△FCE.点G为CE上一点，连接FG，BG.（1）如图②，当直线BG经过点F时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使△BCF是等边三角形，不需要说明理由.（2）如图③，当BG⊥CF于点H时，判断四边形EBGF的形状，并说明理由.（3）在（2）的条件下，延长CF交矩形ABCD的边于点P.若AB＝4，BC＝3，当PA＝PF时，直接写出BG的长.数学试题第5页(共6页)22.（12分）如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝x+12-1-3≤x≤0的图象记为G₁，顶点为点A.将G₁向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象G₂，点A的对应点为点B（1）填表:图象对应的函数解析式点的坐标G₁yA（，）G₃B（，）（2）观察图象G，解答下列问题：①直接写出当x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小；②当－2≤x≤n时，－1≤y≤0，求n的取值范围.（3）如图②，点P为G₁上一点，横坐标为m;点Q为（G2上一点，横坐标为m+3;点C为G₂上一点，横坐标为3.过点C作x轴的平行线l1，点Q关于直线l₁的对称点为点D，过点D作x轴的平行线l₂.图象G上P，Q两点之间的部分（含P，Q两点）的最高点和最低点到直线I₂的距离分别为h₁，①请你判断点P，Q是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；②当h1＝2数学试题第6页(共6页)吉林省2026年初中学业水平考试数学试题答案及解析一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题3分，共18分）1.如图，将一双筷子想象成两条直线，就得到一个相交线的模型.若∠1＝36°，则∠2的度数为A.30° B.36°C.54° D.144°【答案】B【解析】【分析】根据对顶角相等即可得到答案.【详解】解:∵∠1与∠2是对顶角,∴∠1＝∠2∵∠1＝36°,∴∠2＝36°.2.吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000元，将长春建设成为“中国光电城”.数据160000000000用科学记数法表示为A.【答案】B【解析】【详解】解:数据160000000000用科学记数法表示为13.近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠.如果一张车票原售价为a元，那么优惠后的票价为A.（a－9）元 B.9a元 C.0.9a元 D.0.1a元【答案】C【解析】【详解】解：∵原票价为a元，∴优惠后的票价为a×0.9＝0.9a元.4.由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为【答案】C【解析】【详解】解：它的俯视图为5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点P为边AC上不与点A，C重合的任意一点，连接BP.若∠BAC＝60°，则∠ABP的度数可能为A.20° B.35° C.45° D.60°【答案】A【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出∠ACB＝90°，根据∠BAC＝60°，求出∠ABC＝90∘-60∘＝【详解】解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∵∠BAC＝60°,∴∠∵点P为边AC上不与点A，C重合的任意一点，∴0°＜∠ABP＜30°,∵∴四个选项中只有A选项符合题意.6.十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商乘第二个数，得2014，A.C.【答案】D【解析】【分析】先根据两数和为10，用x表示出第二个数，再按照题目描述的运算顺序列出方程，对比选项即可得到结果.【详解】解：∵设第一个数为x，两数和为10，∴第二个数为10－x,∴二、填空题（每小题3分，共15分）7.不等式x+2＞5的解集为.【答案】x＞3【解析】【详解】解:x+2＞5移项,得x＞5－2,合并同类项，得x＞3，故解集为x＞3.8.因式分解：m【答案】（m+1）（m－1）【解析】【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键.使用平方差公式进行因式分解即可.【详解】解：m故答案为：（m+1）（m－1）.9.已知点A（2,y₁）,B（3,y₂）都在反比例函数y＝4x的图象上，比较y₁与y【答案】＞【解析】【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可.【详解】解：∵在反比例函数y＝4x中,k＝4∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵点A（2,y₁）,B（3,y₂）的横坐标都为正,∴这两点都在第一象限，又∵2＜3,∴10.如图，车轮的半径OA＝30cm，车轮边缘上一点A绕点O转过的角∠AOB＝80°，则劣弧AB的长为cm（结果保留π）.【答案【解析】【分析】根据弧长公式l＝【详解】解：由题意可知，车轮半径r＝30cm，圆心角n＝80°∴＝＝11.如图，在△ABC中，AC＞AB，点D为边AB上一点，AD＝2，BD＝1.以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，连接DE.若DE∥BC，则AE＝.【答案】4【解析】【分析】由作法可知，CE＝AD＝2，再利用平行线分线段成比例定理求解即可.【详解】解:由作法可知,CE＝AD＝2,∵DE∥BC,∴∴∴AE＝4.三、解答题（本题共11小题，共87分）12.（6分）先化简，再求值:a-12+【答案】原式化简结果为a²，值为5【解析】【详解】解：a-＝＝当a＝5时，原式13.（6分）第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办.组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组.请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率.【答案】1－3【解析】【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，再得出小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数，最后根据概率公式求解即可.【详解】解：短道速滑、冰壶、冰球这三个项目分别用A、B、C表示，画树状图如下：由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果有3种，∴小冰和小雪被分配到同一项目组的概率为314.（6分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF，连接DE，AF.求证:△DAE≌△ABF.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB,∠DAE＝∠ABF＝90°,在△DAE和△ABF中,AD＝BA∴△DAE≌△ABF（SAS）.【解析】【分析】根据正方形的性质，结合“SAS”证明全等即可.【详解】略15.（7分）吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国.购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元.求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价.【答案】每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元.【解析】【分析】设出两种玉米的单价，根据题干给出的两个等量关系列出方程组，解方程组即可得到结果.【详解】解：设每箱“吉林一号”玉米售价为x元，每箱“吉林二号”玉米售价为y元.根据题意列方程组得{解得{答：每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元.16.（7分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，E均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.（1）在图①中，找一个格点M，画一个以点A，B，M为顶点的等腰三角形.（2）在图②中，找一个格点N，画一个以点C，D，E，N为顶点的平行四边形.【答案】(【答案】(1) (答案不唯一)（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义解答即可；（2）根据平行四边形的定义作图即可【小问1详解】略【小问2详解】略17.（7分）某小区为了解居民生活用水情况，通过简单随机抽样，调查获得若干个家庭的月均用水量x（单位:t）.把收集到的数据分成A（1≤x<2），B（2≤x<3），C（3≤x<4），D（4≤x<5），E（5≤x<6），F（6≤x<7），G（7≤x<8），H（8≤x<9）八组，并绘制了如下频数分布直方图.请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次一共调查了多少个家庭?（2）请直接写出这些家庭月均用水量的中位数位于哪一组.（3）若该小区有550个家庭，根据以上调查结果，估计该小区有多少个家庭的月均用水量小于4t.【答案】（1）此次一共调查了55个家庭；（2）D组（3）估计该小区有210个家庭的月均用水量小于4t.【解析】【分析】（1）根据频数分布直方图将八组家庭数量相加求解即可；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）用小区总家庭数乘以样本中月均用水量小于4t的家庭占比求解即可【小问1详解】解:2+7+12+14+9+6+3+2＝55（个）,答：此次一共调查了55个家庭；【小问2详解】解：55个家庭中，中位数为第28名家庭月均用水量，∵A、B、C三组的家庭数为2+7+12＝21（个）,A、B、C、D四组的家庭数为2+7+12+14＝35（个）,∴这些家庭月均用水量的中位数位于D组；【小问3详解】解：答：估计该小区有210个家庭的月均用水量小于4t.18.如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A点，到河岸的距离AB为10m，刚好正对河对岸的一棵大树P，此时点A，B，P在一条直线上.小明沿着与河岸平行的直路向右走了93m，到达C点，此时测得∠ACP＝35°.求这条河的宽度PB（结果保留整数）.（参考数据：sin35【答案】55m【解析】【分析】先根据三角函数求出AP的长度，减去AB的长度，即可求出PB的长度.【详解】解：由题意知，∠PAC在Rt△PAC中,∠PCA＝35°,AC＝93m,∴∵AB＝10m,∴PB＝65.1－10≈55m,答：这条河的宽度PB为55m.19.如图,在矩形ABCD中,AB＝6cm,AD＝3cm.动点P从点A出发,沿折线AB－BC以1cm/s的速度向终点C运动.在运动过程中，连接DP.设点P的运动时间为t（s）（t＞0）,DP扫过的图形面积为S（1）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.（2）当DP扫过的图形面积S（cm²）由矩形ABCD面积的14扩大到矩形ABCD面积的56时，点【答案】（1）S＝32t0＜t≤6【解析】【分析】（1）分0＜t≤6和6＜t≤9两种情况建立函数关系式即可；（2）分别求出矩形ABCD面积的14和矩形ABCD面积的56，然后分别代入.S＝32t和S【小问1详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3cm,∠A＝∠B＝∠C＝90°,当当6＜t≤9时,DP扫过的图形为四边形ADPB,此时BP＝（t－6）cm∴∴S【小问2详解】解：由题意得，S当当∴点P运动了5s.20.一位记者乘坐汽车赴330km外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示.（1）求汽车在高速公路上行驶的速度.（2）求AB所在直线对应的函数解析式.（3）记者出发后多长时间到达采访地?【答案】（1）90km/h（2）y＝60x+60（3）4.5h【解析】【分析】（1）根据路程除以时间即可求解；（2）运用待定系数法求解即可；（3）把y＝330代入y＝60x+60即可求解.【小问1详解】解:180÷2＝90km/h,答：汽车在高速公路上行驶的速度为90km/h；【小问2详解】解：设AB所在直线对应的函数解析式为y＝kx+b，代入（2,180）和（3.5,270）则{解得{∴AB所在直线对应的函数解析式为y＝60x+60；【小问3详解】解:把y＝330代入y＝60x+60,则60x+60＝330,解得x＝4.5答：记者出发后4.5h到达采访地.21.如图①,在矩形ABCD中,点E为边AB上一点,连接CE.将△BCE沿CE折叠得到△FCE.点G为CE上一点,连接FG,BG.（1）如图②，当直线BG经过点F时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使△BCF是等边三角形，不需要说明理由.（2）如图③，当BG⊥CF于点H时，判断四边形EBGF的形状，并说明理由.（3）在（2）的条件下,延长CF交矩形ABCD的边于点P.若AB＝4,BC＝3,当PA＝PF时，直接写出BG的长.【答案】（1）添加条件:∠BCE＝30°;（2）解：四边形EBGF是菱形，理由如下：连接FG.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°,由折叠可得△CEF≌△CEB,∴∠CFE＝∠CBE＝90°,∠ECF＝∠ECB,EB＝EF,∵BH⊥CF,∴∠CHB＝∠FHB＝90°,∴∠CGH+∠ECF＝90°,∵∠CEB+∠BCE＝180°－∠ABC＝90°,∴∠CGH＝∠CEB,∵∠BGE＝∠CGH,∴∠BGE＝∠BEG,∴BG＝BE,∵BE＝FE,∴BG＝EF.∵∠CHB＝∠CFE＝90°,∴BH∥EF,∴四边形EBGF是平行四边形，∵EB＝EF,∴▱EBGF是菱形.3【解析】【分析】（1）由折叠可得CB＝CF,∠FCE＝∠BCE,当∠BCE＝30°时,可得到∠BCF＝60°,即可得出△BCF是等边三角形；（2）连接FG.由矩形的性质得到∠ABC＝90°,由折叠得到∠CFE＝∠CBE＝90°,∠ECF＝∠ECB,EB＝EF,根据等角的余角相等得到∠BGE＝∠CGH＝∠GEB,从而有BG＝BE＝FE,再证明BH∥EF,可得四边形EBGF是平行四边形,结合EB＝EF得出▱EBGF是菱形;（3）设PA＝PF＝x,则BP＝AB－AP＝4－x,CP＝CF+PF＝3+x,在Rt△BCP中根据勾股定理构造方程，求得PA＝PF＝87,BP＝207.设BE＝EF＝y,则PE＝BP-BE【小问1详解】解:由折叠可得CB＝CF,∠FCE＝∠BCE,当∠BCE＝30°时,∠FCE＝∠BCE＝30°,∴∠BCF＝∠BCE+∠FCE＝60°,∴△BCF是等边三角形.【小问2详解】略【小问3详解】解：如图，设PA＝PF＝x,则BP＝AB－AP＝4－x,∵由翻折有CF＝CB＝3,∴CP＝CF+PF＝3+x,∵在Rt△BCP中,B∴∴PA∴BP设即解得∴∴22.如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝x+12-1-3≤x≤0的图象记为G1,顶点为点A.将G1向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象（1）填表:图象对应的函数解析式点的坐标G₁yA（,）G₂B（,）（2）观察图象G，解答下列问题：①直接写出当x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小；②当－2≤x≤n