初中9年级数学 暑假自学预习 第13讲 反比例函数的概念(6类重点题型+过关检测)(解析版)

第13讲反比例函数的概念内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1用反比例函数描述数量关系题型2根据定义判断是否是反比例函数题型3根据反比例函数的定义求参数题型4求反比例函数的值题型5由反比例函数值求自变量题型6求反比例函数的解析式04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航反比例函数、y=kx、k≠01.理解反比例函数的概念，能识别形如y=kx（k为常数，k≠02.掌握反比例函数的三种表达形式：y=kx、y=kx-1、xy=k（k≠03.能根据实际问题中的数量关系列出反比例函数解析式，并确定自变量的取值范围。4.体会反比例函数与正比例函数的区别，感受函数模型的多样性。学习重点：反比例函数的概念及其三种表达形式，k≠0和自变量x≠0的规定。学习难点：理解k在反比例函数中的作用，以及从实际问题中抽象出反比例关系（例如：xy=k的形式）。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.（2）()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.【易错提醒】反比例函数定义易错警示：形如y=kx（k≠0）或xy=k。注意：自变量x在分母，次数为1，且x≠0。k≠0即时即练1．把化为的形式：，其中；【答案】【知识点】根据定义判断是否是反比例函数【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据反比例函数的形式变形即可．【详解】解：由得，所以，故答案为：，．2．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有（填序号）．【答案】②⑤/⑤②【知识点】根据定义判断是否是反比例函数【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可．【详解】解：是的反比例函数的有，．故答案为：②⑤3．若是反比例函数，则a的值为．【答案】【知识点】根据反比例函数的定义求参数【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可．【详解】解：由题意得：且，；解得，又；．故答案为：．知识点02确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：()；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数的值；（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.【易错提醒】确定反比例函数关系式易错警示：一般用待定系数法设y=kx，代入一组对应值求出k。注意k≠0，且x与y对应准确。也可用xy=k即时即练1．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为．【答案】12【知识点】求反比例函数解析式【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意将点代入解析式，即可进行求解．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴；故答案为：．2．已知y与x成反比例，且当时，．(1)求函数的关系式；(2)当时，y的值是多少？【答案】(1)(2)8【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值【分析】本题考查的是反比例的含义，求解反比例函数解析式；（1）设解析式，然后把一组对应值代入求出k即可；（2）把x的值代入（1）中解析式即可得到对应的函数值．【详解】（1）解：设解析式为：，把，代入得，所以函数解析式为；（2）当时，．3．已知与成反比例，当时，．(1)求y与x的函数解析式；(2)当时，求x的值．【答案】(1)(2)【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的关系式．（1）根据与成反比例关系，且当时，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式；（2）把代入求出x的值即可【详解】（1）解：∵与成反比例关系，∴，∵当时，，即，解得，∴y与x的关系式为；（2）解：∵由（1）知y与x的关系式为，∴当时，，解得：．题型1用反比例函数描述数量关系【例1】下列成反比例关系的是（）A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积【答案】B【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件【详解】解：A.圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例；B.平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义；C.年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例；D.三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例；故选：B【例2】下列问题中的两个变量是成反比例的是（）A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间【答案】A【分析】形如（为常数，）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可．【详解】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意；B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意；C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意；D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意．故选：A．【技巧归纳】两个变量乘积为定值k，即y=k/x（k≠0）。先找出常量积，如矩形面积固定时长宽成反比。设未知数列式，注意自变量的实际意义（如边长>0）。根据k的正负判断图象所在象限。【变式1-1】下面几组量不成反比例的是（）A．路程一定，时间和速度B．长方形面积一定，长和宽C．圆周长一定，圆的直径和圆周率D．比的前项一定，比的后项和比值【答案】C【分析】根据两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，进行判断即可．【详解】A、路程等于速度乘以时间，路程一定，时间和速度成反比例关系，故此选项不符合题意；B、长方形面积一定，长和宽成反比例关系，故此选项不符合题意；C、圆的周长，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项符合题意；D、比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，故此选项不符合题意．故选：C．【变式1-2】下列说法正确的是（

）A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系；B．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系；C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系；D．圆的周长与直径成正比例关系．【答案】D【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案．【详解】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误，不符合题意；B、车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成正比例关系，不符合题意；；C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系,错误，不符合题意；D、圆的周长故与直径成正比例关系,符合题意．故选：D题型2根据定义判断是否是反比例函数【例3】下列函数中，是的反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一分析选项即可判断．【详解】解：A．，不符合的形式，不是的反比例函数；B．可变形为，符合的形式，是的反比例函数；C．，不符合的形式，不是的反比例函数；D．，不符合的形式，不是的反比例函数．故选：B．【例4】下列关系式中，y是x的反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“反比例函数解析式的一般式”是解题的关键．根据反比例函数的定义，即可判断各函数类型是否符合题意．【详解】解：A、可变形为是的反比例函数，符合题意；B、是的正比例函数，不符合题意；C、不是的反比例函数，不符合题意；D、，y不是的反比例函数，故本选项不符合题意；故选：A．【技巧归纳】形式：y=k/x（k≠0）或xy=k，x指数为-1。注意变形后是否可化为上述标准式，如y=x/2是一次函数，y=2/x是反比例。排除其它函数形式，关注分母含自变量且分子为常数。【变式2-1】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能表示是的反比例函数的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据反比例函数的定义分析即可得出答案．【详解】解：①，是二次函数不是反比例函数；故①不符合题意；②

，是反比例函数，故②符合题意；③，不是反比例函数，故③不符合题意；④，是反比例函数，故④符合题意；⑤，是正比例函数不是反比例函数，故⑤不符合题意；综上所述，能表示y是x的反比例函数的有个．故选：．【变式2-2】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是的反比例函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义：形如（其中且为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可．【详解】解：①，不是的反比例函数；②，是的反比例函数；③，是的反比例函数；④，不是的反比例函数；⑤，即，是的反比例函数；⑥，不是的反比例函数；⑦，是的反比例函数；⑧，不是的反比例函数；综上所述，是的反比例函数的有②③⑤⑦，共4个．故选：D．题型3根据反比例函数的定义求参数【例5】若是反比例函数，那么m的值是．【答案】【知识点】根据反比例函数的定义求参数、利用平方根解方程【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键．【详解】解：是反比例函数，，且，，故答案为：．【例6】已知函数是反比例函数，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．任意实数【答案】B【知识点】根据反比例函数的定义求参数【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解．【详解】解：根据题意可得，，解得，，∴，故选：B．【技巧归纳】将函数式化为y=kx⁻¹形式，指数为-1且系数k≠0。列方程：自变量指数为-1，同时系数不为0。若为xy=k形式，则k为常数且非零。解出参数后代入验证，排除使分母为0的情况。【变式3-1】若函数是反比例函数，则的值是．【答案】【知识点】根据反比例函数的定义求参数【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，则即可求解，解题关键是将一般形式转化为的形式．【详解】解：∵函数是反比例函数，∴，∴，故答案为：．【变式3-2】已知是关于的反比例函数，则．【答案】【知识点】已知字母的值，求代数式的值、根据反比例函数的定义求参数【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案．【详解】解：由题意得：，，解得：，∴，故答案为：．题型4求反比例函数的值【例7】已知反比例函数的图象经过点，则．【答案】3【知识点】求反比例函数值【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将代入函数表达式解方程即可得到答案．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：反比例函数的图象经过点，，解得，故答案为：3．【例8】已知函数．当时，；当时，．【答案】【知识点】求反比例函数值【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值，直接把和分别代入中，求出对应的y的值即可得到答案．【详解】解：在中，当时，；当时，；故答案为：1；．【技巧归纳】已知反比例解析式y=k/x，代入x得y值。若已知y，解x=k/y。也可利用xy=k直接求积。注意x和y非零，k为定值。实际问题中需考虑取值范围，如边长、时间为正数。【变式4-1】若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为．【答案】【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数解析式为：，把代入得：，故答案为：．【变式4-2】已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为．【答案】【知识点】求反比例函数值【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据得到，，根据得到，代入式子即可得到答案．【详解】解：∵，两点都在反比例函数的图像上，∴，，∵，∴，即，∴，故答案为：．题型5由反比例函数值求自变量【例9】若反比例函数的图象经过点，则的值为．【答案】【知识点】由反比例函数值求自变量【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把点代入反比例函数解析式即可得到答案．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，解得：，故答案为：【例10】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为．【答案】0【知识点】求反比例函数值、由反比例函数值求自变量【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，将点和代入之中得，，由此可得的值．【详解】解：∵函数的图象经过点和，∴，，∴，，∴．故答案为：0．【技巧归纳】根据反比例函数y=k/x，若已知y，则x=k/y（y≠0）。若已知xy=k，直接代入求另一变量。注意k为定值，且x、y均不为0。解出后检验是否符合定义域（如实际问题中非负等）。【变式5-1】若函数的图象经过点和，则的值为．【答案】2【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．先将代入，求得该函数的解析式，再求得时，的值即可得到答案．【详解】解：的图象经过点和，，该函数的解析式为，当时，，即故答案为：2．【变式5-2】已知y与成反比例，且当时，，那么当时，．【答案】/【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式【分析】本题考查了反比例关系，设，根据时，，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：设，当时，，解得：，∴，当时，，故答案为：．题型6求反比例函数的解析式【例11】若y与x成反比例关系，且时，，求y与x的函数表达式．【答案】【知识点】求反比例函数解析式【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据题意，设反比例函数的解析式为，把，，代入解析式进行求解即可．【详解】解：设，把，代入，得：，∴，∴．【例12】一个反比例函数的图象经过点．(1)求该反比例函数的解析式．(2)当时，求的值．【答案】(1)(2)【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法．（1）将代入利用待定系数法求解即可；（2）将代入求解即可．【详解】（1）解：将代入得∴该反比例函数的解析式为；（2）解：当时，代入得．【技巧归纳】设y=k/x，代入一对已知对应值（x,y）求出k，得解析式。若已知面积或矩形条件，利用k的几何意义：|k|=矩形面积。也可由xy乘积为定值得k。注意k≠0。【变式6-1】函数（为常数）的图象过点．(1)求的值；(2)小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由．【答案】(1)，(2)不赞同，理由见解析【知识点】求反比例函数解析式【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键．（1）将代入求解即可．（2）取特殊值判断即可．【详解】（1）解：根据题意将代入，则，解得：，．（2）解：不赞同根据（1）可得，该函数图象上的任意一点，则，当时，则有，故小明说法不正确．【变式6-2】已知，其中与成反比例，与成正比例，当时，，当时，．(1)求与的函数表达式；(2)当时，求的值【答案】(1)(2)【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义、求反比例函数解析式【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程，求函数值，熟悉正比例函数的定义，根据题意列出方程组是解本题的关键．（1）设，，则，根据题意列出二元一次方程组，求出，即可得出答案；（2）把代入（1）所求函数解析式，即可求解．【详解】（1）解：与成反比例，设与成正比例，设，当时，，当时，．，解得与x的函数表达式为；（2）解：当时，．一、单选题1．若是反比例函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键．反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断．【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，∵是反比例函数，，∴．故选：．2．下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：反比例函数为，可得．A选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意；B选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意；C选项：点，，不满足等式，点不在图象上，符合题意；D选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意．3．物体匀速下落过程中，下落高度与下落时间成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的是（）．A．路程一定，速度与时间 B．圆的面积与半径C．正方形周长与边长 D．匀速行驶路程与时间【答案】A【分析】本题考查反比例函数的定义，根据题意写出各选项变量的函数关系式，结合反比例函数定义（为常数，）判断即可．【详解】首先明确反比例函数定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，选项A中，设路程为，为定值且，速度为，时间为，由变形得，符合反比例函数定义，是反比例函数，A符合题意；选项B中，圆面积，是二次函数，不是反比例函数，B不符合题意；选项C中，正方形周长，是正比例函数，不是反比例函数，C不符合题意；选项D中，匀速行驶时，设速度为定值，路程，是正比例函数，不是反比例函数D不符合题意．4．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，）或（为常数，）的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可．【详解】解：∵反比例函数的定义为（为常数，）或可变形为该形式，①，符合（），是反比例函数；②，是正比例函数，不是反比例函数；③，符合（），是反比例函数；④可变形为，符合（），是反比例函数；⑤，分母为不是，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；⑥，不是的形式，不是反比例函数；∴是反比例函数的有①③④，共3个．故选：B．5．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则的值为（

）A．7 B．9 C．10 D．15【答案】A【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入函数式求解即可【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴将，代入解析式得：，解得：．故选：A．二、填空题6．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________．【答案】3【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值．【详解】解：点在反比例函数的图象上，．7．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________．【答案】4【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值．【详解】解：点在反比例函数的图象上，将，代入得：，则．8．下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）．【答案】②⑤【分析】根据反比例函数的定义，若两个变量与的关系可以表示为（为常数，）的形式，则是的反比例函数，据此对各函数逐一判断即可．【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数．②符合反比例函数定义，是反比例函数．③是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数．④分母为，不符合的形式，不是反比例函数．⑤，符合反比例函数定义，是反比例函数．符合题意的有②⑤．9．已知点，是反比例函数图象上的两点，且满足，则k的值为_________．【答案】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，表示出与，代入已知等式化简计算，即可求出的值．【详解】解：点，是反比例函数图象上的点，，，变形得，，将上述结果代入得，，，解得，经检验符合题意．10．在平面直角坐标系中，点P的坐标为．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，这样的点叫做点P的“调和点”．若点是反比例函数图象上点P的“调和点”，则点P的坐标为______．【答案】或【分析】根据调和点的定义，分两种情况讨论，得到点坐标与点坐标的关系，再利用点在反比例函数图象上的性质求出未知参数，验证条件后得到点的坐标．【详解】解：设点的坐标为，根据“调和点”的定义，分两种情况讨论：情况：当时，的坐标为，已知，因此可得，，解得，即，∵点在上，∴将代入解析式得，此时，，满足，因此符合题意；情况：当时，的坐标为，已知，因此可得，，解得，即，∵点在上，∴将代入解析式得，解得，此时，，满足，因此符合题意；综上，点的坐标为或．三、解答题11．下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值．①；②；③；④．【答案】见解析【详解】解：②一定是反比例函数，，的值是；③一定是反比例函数，，的值是．12．已知反比例函数的图象经过点，求的值．【答案】【详解】解：将点代入反比例函数，得，，解得．13．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围：(1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数；(2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数．【答案】(1)，是正比例函数，自变量取值范围为(2)，是反比例函数，自变量取值范围为【分析】（1）根据“路程=速度乘时间”即可得出运动路程是时间的函数关系式，再根据正比例函数的定义解答即可；（2）根据长方形的面积公式即可得出花圃的长是宽的函数关系式，再根据反比例函数的定义解答即可．【详解】（1）解：根据路程=速度×时间，可得，该式符合正比例函数的形式，因此是的正比例函数，运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是．（2）解：∵长方形面积=长×宽，可得，变形得，该式符合反比例函数的形式，因此是的反比例函数，长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是．14．已知．(1)当为何值时，是的正比例函数？(2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值．【答案】(1)(2)；【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义：（1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解；（2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解．【详解】（1）解：∵是正比例函数，∴且，解得：；（2）解：∵是反比例函数，∴且，解得：；∴该反比例函数的解析式为，当时，，解得：．15．已知(1)化简；(2)若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的运算，反比例函数的性质等知识，解题的关键是：（1）根据同分母相加减的运算法则计算即可；（2）根据反比例函数的性质求出，根据两点间距离公式求出，然后根据完全