初中9年级数学 暑假自学预习 专题04 特殊平行四边形中折叠、最值、新定义型问题(暑假复习讲义)(解析版)

专题04特殊平行四边形中折叠、最值、新定义型问题内容导航01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标02知识重构

→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系03题型突破

→汇总常考题型，举一反三，方法提炼题型1特殊平行四边形中折叠问题题型2特殊平行四边形中最值问题题型3特殊平行四边形中新定义型问题04综合通关

→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官

05错题留痕

→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解常考考点命题风向1.折叠：求折痕长、对应点位置，利用勾股列方程。2.最值：将军饮马模型求线段和最小值，动点路径长。3.新定义：理解定义（如“等邻边四边形”），判定形状或计算，考查迁移能力。1.折叠问题：从简单求角度转向利用轴对称性质构造方程，重点考查矩形折叠中通过勾股定理求折痕或对应线段长度，常与中点、三等分点结合设置多解情况。2.最值问题：强化“将军饮马”模型在菱形、正方形中的应用，求两线段和的最小值；同时开始渗透利用“垂线段最短”求动点到某边距离的最值。3.新定义型问题：以“等邻边四边形”、“半角四边形”等新概念为背景，综合考查矩形对角线相等、菱形对角线垂直等性质的现场应用与逻辑迁移能力，成为区卷压轴题新趋势。考情解码：根据2026年新教材考情，特殊平行四边形中的折叠、最值及新定义问题成为压轴题的“三驾马车”。折叠问题本质是轴对称变换，高频考查利用勾股定理或等面积法求折痕或线段长。最值问题常结合“将军饮马”模型求动点路径和最小值。新定义型问题通过定义“对边四边形”等新概念，综合考查矩形的对角线性质与菱形的判定，对学生现场学习与迁移能力要求较高。知识点一特殊平行四边形中折叠问题核心折叠本质：轴对称变换折叠前后对应边相等、对应角相等、全等；折痕是对应点连线的垂直平分线。常见隐含条件：-出现等腰三角形：折叠后重合边相等，形成等角对等边；-直角构造：矩形折叠多出现Rt△，用勾股列方程（折叠高频考法：设未知数x，剩余边长用边长-x表示）。分图形常考模型矩形折叠沿顶点折：一角落在对边上→直角+勾股方程；沿对角线折→出现等腰三角形（重合部分为等腰△）；沿中线/边上动点折叠→设边长列勾股。菱形折叠：利用四边相等+对角线垂直，折叠后结合30°/60°特殊直角三角形。正方形折叠：边角都是90°，常伴半角模型（45°折叠）、全等转化。易错点折叠后落点分落在边上/内部/外部多解情况，容易漏解。【易错警示】-对应关系：折叠前后对应边相等、对应角相等，勿错配对应顶点。-勾股定理：设未知数，用折叠后构造的直角三角形列方程，勿忘平方。-重合条件：折痕是对应点连线的中垂线，勿忽略垂直平分性质。即时即练在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处．(1)若为线段上一点．①如图1，当点落在边上时，求的长；②如图2，连接，若，则与有何数量关系?请说明理由；(2)当为直角三角形时，的长为．【答案】(1)①4；②，理由见详解；(2)5或或20或10【分析】（1）①利用折叠性质和勾股定理求，进而得；②通过平行线和折叠性质推导与的关系；（2）分直角情况，结合勾股定理列方程求解．【详解】（1）解：①由题意可知，，在中，，，则因为，所以；②由题意可知，，∵，∴，，∴，∴，又∵（翻折性质），∴，∴；（2）第一种可能：当点在上并且时：即为直角三角形，设，则，由①，∵，∴解得，即，第二种可能：当点在上时：折叠性质可知，∴,∴为直角三角形∵，,∴设,∵∴解得第三种可能：当点在延长线上时,使为直角三角形，则点在延长线上，∵，，∴在中,则，由折叠性质得设则∵在中∴解得，即第四种可能：当点在延长线上并且时，为直角三角形，此时由折叠性质得又∵∴四边形为正方形∴所以的长为5或或20或10．知识点二特殊平行四边形中最值问题最短路径（将军饮马，高频）原理：两点之间线段最短、垂线段最短，利用轴对称找点对称，化折线段为直线段。-动点在矩形/菱形边上运动，求PA+PB最小：作定点关于动点所在直线对称点，连线长即最小值。线段最值（定点+动点）（1）直角三角形斜边中线定值模型：直角顶点在定直线运动，斜边固定，则斜边中线为定值；（2）圆轨迹（隐圆）最值：动点到定点距离不变→动点在圆上，利用点到圆距离：最远=圆心距+半径，最近=圆心距−半径；常见：正方形/矩形中，固定角、定边长，动点轨迹成圆。（3）垂线段最短：求某线段最小值，作垂线。3.面积最值特殊平行四边形内动点，底固定→高最大/最小决定面积最值；常结合二次函数（坐标系题型）。4.坐标系下最值：结合一次函数、坐标运算。【易错警示】-模型识别：常用“将军饮马”（对称点化折为直）或垂线段最短，勿乱用。-动点范围：注意动点是否在边、对角线或延长线上，范围不同最值可能变化。-转化思想：将所求线段通过对称或平移转化为共线或垂直，勿直接猜端点。即时即练综合与实践问题背景如图，在菱形中，连接，，．初步探究（1）菱形的面积为．（2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值．拓展延伸（3）如图2，P是上的动点，连接．①的最小值为；②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．

【答案】（1）24；（2）4；（3）①；②【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可；（2）连接，交于点O，过点E作于点K，证明，得出，即可得出，求出结果即可；（3）①过点A作于点，根据垂线段最短，得出的最小值为的长，根据菱形面积求出结果即可；②在的延长线上截取，连接，．证明，得出，根据当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值，即的最小值为的长，过点A作于点T，根据勾股定理求出．【详解】解：（1）连接，交于点O，如图所示：∵四边形为菱形，∴，，，∴，∴，∴；（2）如图1，连接，交于点O，过点E作于点K．∵四边形是菱形，∴，∵∴四边形是矩形∴∵，∴，∵，∴，即．∵，∴．又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴的值为4．（3）①如图2，过点A作于点，∵垂线段最短，∴的最小值为的长，由（1）可知菱形的面积为24，∴，即，解得：，∴的最小值为．②如图3，在的延长线上截取，连接，．∵四边形是菱形，∴，，∴，∵，∴，即．又∵，∴，∴，∴，∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值，即的最小值为的长，∴的最小值为的长过点A作于点T，由①易知，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为．知识点三特殊平行四边形中新定义型问题核心思路：现场读懂新定义（新四边形、新运算、新特征），套特殊平行四边形原有性质常见新定义：准菱形、等邻边四边形、垂等四边形、完美矩形等。用到的知识点分类（1）判定类：根据新定义条件，结合矩形/菱形/正方形判定定理证明图形；（2）计算类：新定义给出边角关系→勾股、全等、特殊角计算边长周长；（3）探究存在性：是否存在动点构成新定义图形→设未知数、列方程求解。3.隐含考点：分类讨论（边长不等、动点位置不同多解）【易错警示】-理解定义：圈画关键条件（边、角、对角线、数量关系），勿凭感觉套用旧概念。-举例验证：先构造特殊图形（如正方形）理解定义，再推广到一般情形。-性质转化：将新条件转化为熟悉的边角关系，勿死记硬背。即时即练定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．

(1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______．(2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接．①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”；②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明．【答案】(1)正方形(2)①见解析；②【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可；（2）①通过证明可得，由得出，证出即可；②从两方面分析：当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，；当点E在的延长线上时，连接，由，得，由正方形性质可得，利用勾股定理即可证明．【详解】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”；矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”；菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”；正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”；（2）证明：①∵四边形是正方形，是对角线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由四边形内角和为，∴，∵，∴，∴且，∴四边形为“郡外四边形”；证明：②；∵四边形是正方形，是对角线，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（i）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，，则由勾股定理有：；（ii）当点E在的延长线上时，如图，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，连接，如图，

∵且，∴，∵四边形是正方形，∴，∴在中，，∴，∵，∴；综上，有．题型1特殊平行四边形中折叠问题例1．如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．【答案】【分析】先证明，由勾股定理可求，由面积法可求的长，即可求解．【详解】解：设与交于点，作于点，点的坐标为，点的坐标为，，，四边形是矩形，，，由翻折变换的性质可知，，，，在中，设，则，由勾股定理得，解得，即，，在中，，，由得，，在中，由勾股定理得，，点的坐标为，故答案为：．例2．如图，在菱形中，，E是上一点．将沿折叠后得到，若，则折痕的长为．【答案】【分析】本题考查菱形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．过点C作交AB的延长线于点G，由，且根据折叠的性质可知，可得．再在菱形ABCD中，，可得出，可得，再求解即可．【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G，∵，且根据折叠的性质可知，∴．∵在菱形中，，∴，∴，在中，．故答案为：．【技巧总结】1.找等量：折叠前后边、角相等，设未知数表示线段。2.构直角三角形：折痕为对称轴，利用勾股定理列方程。3.巧用性质：矩形中折叠得等腰三角形；正方形中折叠常用全等或勾股。4.求折痕长：作垂直或建坐标系求解。【变式训练1-1】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．【操作判断】操作一：如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则①____________°；②线段之间的数量关系为_______________．【深入探究】操作二：如图2，将∠C沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．（2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请判断该结论是否成立，并说明理由．【拓展应用】（3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，直接写出线段的长．【答案】（1）①45；②；（2）结论成立，理由见解析；（3）【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解；②由折叠的性质即可求解；（2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可；（3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解，然后设，则，在中，，代入数值计算，解得，由（2）得，则．【详解】解：（1）①∵四边形是正方形，∴，由折叠的性质可得：，，∴，即；②由折叠的性质可得：，，∵，∴；（2）结论：成立，理由如下：将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，∵四边形是正方形，∴，由折叠的性质可得：，，，∴，∵，∴，由（1）得：，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵点落在折痕上，∴，，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．设，则，在中，，∴，则，∴，由（2）得，∴．【变式训练1-2】如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接．（1）如图，当在边上且时，的度数是．（2）当直线恰好经过点时，的长是．【答案】3或1.5【分析】（１）画出图形，证明是等腰直角三角形，得到，由对称性知，最后根据即可求解；（２）分类讨论①当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，利用三角形全等求解，②点在边上时，利用勾股定理，列方程即可求解．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，,∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴．由对称性知，∴；（2）①如图2，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②如图3，点在边上时，∵，，∴，∴，∵，在中，设，则，根据勾股定理，得，∴，解得，∴，∴，综上所述，的长为3或1.5．题型2特殊平行四边形中最值问题例3．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（

）A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值．【详解】解：如图，取的中点，，，，，，即存在最大值为9，根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时．故选：A．例4．如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，当的值最小时，、、三点共线，即求的长度，根据题意判断为等边三角形，且点为的中点，根据直角三角形的性质，求出的长度即可．【详解】解：如图，连接，，当、、三点共线时，即当点位于时，的值最小，即为的长，由菱形的性质可知，，又，∴为等边三角形，∵点为的中点，，∴，，∴在中，．故答案为：．【技巧总结】1.将军饮马：作对称点化折线为直线，利用两点间线段最短求最小值。2.垂线段最短：求点到直线距离，直接作垂线。3.找轨迹：动点轨迹为线段或弧，利用三角形三边关系求解。4.勾股建方程：设变量，用二次函数顶点求最值。【变式训练2-1】如图，正方形的边长为5，点E，F在对角线上（点E在点F的左侧），且．则的最小值为．【答案】【分析】作，，连接，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小为的长，作于点，作交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理，进行求解即可．【详解】解：作，，连接，则：四边形为平行四边形，∴，，∴，∴当点在线段上时，的值最小为的长，作于点，作交的延长线于点，∵正方形，∴，，∴，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为．【变式训练2-2】如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：

（1）周长的最小值是．（2）四边形周长的最小值是．【答案】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原理是解题的关键．作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可．将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，则为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，利用勾股定理求出即可解题．【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，

，的最小值为，周长的最小值为，作于，于，，，，，，，，，，周长的最小值为．故答案为：．如图，将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，

，且，四边形为平行四边形，，由对称得，，为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，，，，，，四边形周长的最小值为：．故答案为：．题型3特殊平行四边形中新定义型问题例5．定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长．【答案】或【分析】①根据矩形的判定与性质可知，，再根据全等三角形的判定与性质解答即可；②根据矩形的判定与性质可知，再根据勾股定理可知即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键．【详解】解：①如图，，，∵点是的中点，，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴在和中，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴；②如图，，，过点作于点，∴，∴四边形是矩形，∴，∵点是的中点，，∴，∵，∴在中，，∵，∴，∵，∴在中，，∴，∴，∴，∴在中，，故答案为或．例6．筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；(2)如图1，在正方形中，E是对角线延长线上一点，连接．求证：四边形是筝形：(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得，，发现它是一个筝形，还得到，，，求筝形的面积．【答案】(1)菱形，正方形(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据筝形的定义结合所学知识可得答案；（2）根据正方形的性质利用证明，得到，再由，即可证明四边形是筝形：（3）如图所示，过点A作交延长线于E，连接，先证明，推出，求出，得到，进而求出，利用三角形面积公式求出，则．【详解】（1）解：由题意得，菱形和正方形都是筝形，故答案为：菱形，正方形；（2）证明：∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴四边形是筝形：（3）解：如图所示，过点A作交延长线于E，连接，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，即，∴，∴，∴，∴，∴．【技巧总结】1.读懂定义：抓住核心特征（如“等对角线四边形”），转化为数学条件。2.联系模型：匹配特殊平行四边形性质（矩形对角线等、菱形垂直等）。3.分类讨论：按定义情形分情况画图验证。4.逆向推理：由结论反推需要满足的条件，结合性质列式。【变式训练3-1】阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形．(1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______；(2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形．(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________．【答案】(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等；(2)见解析(3)【分析】（1）在和中，即可得出结论；（2）连接相交于点，由（1）可得，由四边形是平行四边形，可得．再证出，然后得出平行四边形是菱形即可；（3）连接与相交于点，设相交于点，由勾股定理得出，再求出，再求出，再由面积法求出，即可求解．【详解】（1）解：垂直平分，，在和中，，，，，即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等；故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等；（2）证明：如图，连接相交于点，由（1）可得，四边形是平行四边形，．．，四边形是菱形；（3）解：如图，连接与相交于点，设相交于点，四边形是菱形，，，，，，，，，，．故答案为：．【变式训练3-2】定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：；性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，则___________；性质变式：（2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来．应用变式：（3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________；②如图5，在中，是内一点，且，则的最小值是___________．【答案】（1）；（2）见解析；（3）①10；②【分析】本题主要考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，理解“垂美”四边形的性质是解题的关键．（1）将代入计算即可；（2）如图：过于，交的延长线于，由（1）性质可知：，即，再结合勾股定理可得；同理可得：，则，进而证明结论；（3）如图：以、为边作矩形，连接、，则，由题意得，再结合题中数据可得；C、D、E三点共线时，最小，最后根据矩形的对角线相等即可解答．【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形，，，，．（2）证明：如图：过于，交的延长线于，由（1）性质可知：，即：，又，，即．（3）解：①设，则，由（2）可得，，；②如图：以、为边作矩形，连接、，则，由题意得：，即，解得：，当、、三点共线时，最小，的最小值的最小值．1．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解．【详解】解：四边形为矩形，．由第一次折叠可知，，四边形为正方形，，．由第二次折叠可知，，，，，，．故选：D．2．如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点在对角线上，，．下列结论错误的是（

）A．若，则m的最小值为4 B．若m的最小值为4，则C．若，则m的最小值为5 D．若m的最小值为5，则【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题．熟练掌握正方形的性质，轴对称性质，平行线性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．在上取点E关于的对称点G，连接交于点P，则，得到m的最小值为，根据，，得到，，得到，当时，，判断A正确；当时，,，判断B正确；当时，，判断C正确；当时，，,或，判断D不正确．【详解】如图，根据正方形的对称性，在上取点E关于的对称点G，连接交于点P，则，∴，为m的最小值，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当时，，∴A正确；当时，,∴，∴，∴，∴，∴B正确；当时，，∴C正确；当时，，∴，∴，∴,或，∴D不正确．故选：D．3．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是．【答案】/80度【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可．【详解】∵四边形是菱形∴由折叠可得，∴∴∵四边形是菱形∴∴．故答案为：．4．如图，在长方形中,，，，则CE+DF的最小值是．【答案】【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可．【详解】解：延长到点M，使得，连接，∵矩形，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，连接∵，∴，故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为故答案为：．5．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，EF的长度最小值为【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短，（1）根据勾股定理的逆定理得到，根据矩形的判定定理得到四边形AEDF是矩形；（2）连接，根据矩形的性质得到，当时，最短，即的长度最小，根据三角形的面积公式即可得到结论；掌握矩形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形；（2）解：存在．理由：连接，∵四边形是矩形，∴，∵当时，最短，即的长度最小，∵，∴，∴，即的长度最小值为．6．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．(1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由．(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长．【答案】(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析．(2)28．【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形是否是“直等补”四边形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证，由此可得到，，，即证明四边形是“直等补”四边形．（2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直等补”四边形定义，可得到，然后利用勾股定理即可求得的长．【详解】（1）解：四边形是正方形，，，，在与中，（），，，，，，四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角．故四边形是“直等补”四边形；（2）连接，如下图所示四边形是“直等补”四边形，，，，，，，，．故的长为28．7．【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动．(1)操作与证明：①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______；②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形；(2)迁移应用：如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长．【答案】(1)①60，60；②见解析(2)【分析】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，是解题的关键．（1）①由折叠得，由得，结合即可求解；②由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形；（2）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可．【详解】（1）解：①由折叠得，，，矩形中，，故答案为：60，60；②四边形是矩形，，又，四边形是平行四边形；，，由折叠得，，，四边形是菱形；（2）解：四边形是矩形，，，，中，，，，，由折叠得，，，，又，，，如图，过点E作于点G，，，，．8．定义引入：定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形．（1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______；猜想与验证：（2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（

）．A．

B．

C．②证明①中正确的结论：拓展思考：（3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由．【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为：【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案；（2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明；（3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案．【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直，菱形是“对垂”四边形；正方形的对角线相互垂直，正方形是“对垂”四边形；故答案为：菱形或正方形；（2）①A、，在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得；；在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得；；当时，；而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意；B、，选项正确，符合题意；C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意；故选：B；②证明如下：，；（3）的面积和的面积相等，证明如下：∵正方形和正方形的边长分别是和，，连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示：，，即，又，，，又，，的面积和的面积相等；，即，又，，，又，，，∴四边形AECG是“对垂”四边形，，又，，，的面积为．9．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到．(1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：；(2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值；(3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度．【答案】(1