初中9年级数学 暑假自学预习 专题04 特殊平行四边形中折叠、最值、新定义型问题(暑假复习讲义)(原卷版)

专题04特殊平行四边形中折叠、最值、新定义型问题内容导航01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标02知识重构

→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系03题型突破

→汇总常考题型，举一反三，方法提炼题型1特殊平行四边形中折叠问题题型2特殊平行四边形中最值问题题型3特殊平行四边形中新定义型问题04综合通关

→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官

05错题留痕

→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解常考考点命题风向1.折叠：求折痕长、对应点位置，利用勾股列方程。2.最值：将军饮马模型求线段和最小值，动点路径长。3.新定义：理解定义（如“等邻边四边形”），判定形状或计算，考查迁移能力。1.折叠问题：从简单求角度转向利用轴对称性质构造方程，重点考查矩形折叠中通过勾股定理求折痕或对应线段长度，常与中点、三等分点结合设置多解情况。2.最值问题：强化“将军饮马”模型在菱形、正方形中的应用，求两线段和的最小值；同时开始渗透利用“垂线段最短”求动点到某边距离的最值。3.新定义型问题：以“等邻边四边形”、“半角四边形”等新概念为背景，综合考查矩形对角线相等、菱形对角线垂直等性质的现场应用与逻辑迁移能力，成为区卷压轴题新趋势。考情解码：根据2026年新教材考情，特殊平行四边形中的折叠、最值及新定义问题成为压轴题的“三驾马车”。折叠问题本质是轴对称变换，高频考查利用勾股定理或等面积法求折痕或线段长。最值问题常结合“将军饮马”模型求动点路径和最小值。新定义型问题通过定义“对边四边形”等新概念，综合考查矩形的对角线性质与菱形的判定，对学生现场学习与迁移能力要求较高。知识点一特殊平行四边形中折叠问题核心折叠本质：轴对称变换折叠前后对应边相等、对应角相等、全等；折痕是对应点连线的垂直平分线。常见隐含条件：-出现等腰三角形：折叠后重合边相等，形成等角对等边；-直角构造：矩形折叠多出现Rt△，用勾股列方程（折叠高频考法：设未知数x，剩余边长用边长-x表示）。分图形常考模型矩形折叠沿顶点折：一角落在对边上→直角+勾股方程；沿对角线折→出现等腰三角形（重合部分为等腰△）；沿中线/边上动点折叠→设边长列勾股。菱形折叠：利用四边相等+对角线垂直，折叠后结合30°/60°特殊直角三角形。正方形折叠：边角都是90°，常伴半角模型（45°折叠）、全等转化。易错点折叠后落点分落在边上/内部/外部多解情况，容易漏解。【易错警示】-对应关系：折叠前后对应边相等、对应角相等，勿错配对应顶点。-勾股定理：设未知数，用折叠后构造的直角三角形列方程，勿忘平方。-重合条件：折痕是对应点连线的中垂线，勿忽略垂直平分性质。即时即练在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处．(1)若为线段上一点．①如图1，当点落在边上时，求的长；②如图2，连接，若，则与有何数量关系?请说明理由；(2)当为直角三角形时，的长为．知识点二特殊平行四边形中最值问题最短路径（将军饮马，高频）原理：两点之间线段最短、垂线段最短，利用轴对称找点对称，化折线段为直线段。-动点在矩形/菱形边上运动，求PA+PB最小：作定点关于动点所在直线对称点，连线长即最小值。线段最值（定点+动点）（1）直角三角形斜边中线定值模型：直角顶点在定直线运动，斜边固定，则斜边中线为定值；（2）圆轨迹（隐圆）最值：动点到定点距离不变→动点在圆上，利用点到圆距离：最远=圆心距+半径，最近=圆心距−半径；常见：正方形/矩形中，固定角、定边长，动点轨迹成圆。（3）垂线段最短：求某线段最小值，作垂线。3.面积最值特殊平行四边形内动点，底固定→高最大/最小决定面积最值；常结合二次函数（坐标系题型）。4.坐标系下最值：结合一次函数、坐标运算。【易错警示】-模型识别：常用“将军饮马”（对称点化折为直）或垂线段最短，勿乱用。-动点范围：注意动点是否在边、对角线或延长线上，范围不同最值可能变化。-转化思想：将所求线段通过对称或平移转化为共线或垂直，勿直接猜端点。即时即练综合与实践问题背景如图，在菱形中，连接，，．初步探究（1）菱形的面积为．（2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值．拓展延伸（3）如图2，P是上的动点，连接．①的最小值为；②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．

知识点三特殊平行四边形中新定义型问题核心思路：现场读懂新定义（新四边形、新运算、新特征），套特殊平行四边形原有性质常见新定义：准菱形、等邻边四边形、垂等四边形、完美矩形等。用到的知识点分类（1）判定类：根据新定义条件，结合矩形/菱形/正方形判定定理证明图形；（2）计算类：新定义给出边角关系→勾股、全等、特殊角计算边长周长；（3）探究存在性：是否存在动点构成新定义图形→设未知数、列方程求解。3.隐含考点：分类讨论（边长不等、动点位置不同多解）【易错警示】-理解定义：圈画关键条件（边、角、对角线、数量关系），勿凭感觉套用旧概念。-举例验证：先构造特殊图形（如正方形）理解定义，再推广到一般情形。-性质转化：将新条件转化为熟悉的边角关系，勿死记硬背。即时即练定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．

(1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______．(2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接．①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”；②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明．题型1特殊平行四边形中折叠问题例1．如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．例2．如图，在菱形中，，E是上一点．将沿折叠后得到，若，则折痕的长为．【技巧总结】1.找等量：折叠前后边、角相等，设未知数表示线段。2.构直角三角形：折痕为对称轴，利用勾股定理列方程。3.巧用性质：矩形中折叠得等腰三角形；正方形中折叠常用全等或勾股。4.求折痕长：作垂直或建坐标系求解。【变式训练1-1】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．【操作判断】操作一：如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则①____________°；②线段之间的数量关系为_______________．【深入探究】操作二：如图2，将∠C沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．（2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请判断该结论是否成立，并说明理由．【拓展应用】（3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，直接写出线段的长．【变式训练1-2】如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接．（1）如图，当在边上且时，的度数是．（2）当直线恰好经过点时，的长是．题型2特殊平行四边形中最值问题例3．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（

）A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1例4．如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为．【技巧总结】1.将军饮马：作对称点化折线为直线，利用两点间线段最短求最小值。2.垂线段最短：求点到直线距离，直接作垂线。3.找轨迹：动点轨迹为线段或弧，利用三角形三边关系求解。4.勾股建方程：设变量，用二次函数顶点求最值。【变式训练2-1】如图，正方形的边长为5，点E，F在对角线上（点E在点F的左侧），且．则的最小值为．【变式训练2-2】如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：

（1）周长的最小值是．（2）四边形周长的最小值是．题型3特殊平行四边形中新定义型问题例5．定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长．例6．筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；(2)如图1，在正方形中，E是对角线延长线上一点，连接．求证：四边形是筝形：(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得，，发现它是一个筝形，还得到，，，求筝形的面积．【技巧总结】1.读懂定义：抓住核心特征（如“等对角线四边形”），转化为数学条件。2.联系模型：匹配特殊平行四边形性质（矩形对角线等、菱形垂直等）。3.分类讨论：按定义情形分情况画图验证。4.逆向推理：由结论反推需要满足的条件，结合性质列式。【变式训练3-1】阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形．(1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______；(2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形．(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________．【变式训练3-2】定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：；性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，则___________；性质变式：（2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来．应用变式：（3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________；②如图5，在中，是内一点，且，则的最小值是___________．1．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（

）A． B． C． D．22．如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点在对角线上，，．下列结论错误的是（

）A．若，则m的最小值为4 B．若m的最小值为4，则C．若，则m的最小值为5 D．若m的最小值为5，则3．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是．4．如图，在长方形中,，，，则CE+DF的最小值是．5．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．6．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．(1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由．(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长．7．【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动．(1)操作与证明：①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______；②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形；(2)迁移应用：如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长．8．定义引入：定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形．（1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______；猜想与验证：（2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（

）．A．

B．

C．②证明①中正确的结论：拓展思考：（3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由．9．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到．(1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：；(2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值；(3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，