【沪教版必修第一册】高一数学第3章幂、指数与对数（单元复习课件）

单元复习课件

第3章

幂、指数与对数

沪教版2020必修第一册·高一学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.3.2.

根据具体实例，了解指数的拓展过程．理解根式的性质，进行n次方根的运算．理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化、指数式与对数式的等价关系，掌握对数的运算．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数。指数式与对数式的互化，培养逻辑推理能力。应用对数与指数的性质解题，培养数学解题能力。利用对数的运算性质化简、求值计算，提高数学运算能力。通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养。通过学习换底公式，培养逻辑推理素养。幂的拓展幂运算性质幂与指数对数对数的定义对数的运算对数的换底幂、指数与对数知识梳理一n次方根的概念xn次方根知识梳理一[思考]为什么负数没有偶次方根？n次方根的概念因为正数和负数的偶次方都是正数，故逆运算求偶次方根时，负数没有偶次方根．知识梳理二根式a根指数被开方数a知识梳理三分数指数幂的意义0没有意义知识梳理四指数幂运算性质1．有理数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝

(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝

(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．无理数指数幂：

一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的

.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．arsarbr实数知识梳理四对数的概念1．对数的概念：

一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝

，其中a叫做对数的

，N叫做

．logaN底数真数2．常用对数与自然对数：名称定义记法常用对数以____为底的对数叫做常用对数_

自然对数以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数_

10lgNlnN知识梳理四对数的基本性质3.对数的基本性质：(1)当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔

.(2)负数和0没有对数．(3)特殊值：1的对数是

，即loga1＝

；底数的对数是1，即logaa＝1.(4)如果把ax＝N中的x写成logaN，则有alogaN＝N.(对数恒等式)x＝logaN00[思考]

在对数的定义中，为什么不能取a≤0及a＝1呢？知识梳理四对数的运算性质logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM知识梳理四对数的换底公式

logab＝

(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做对数换底公式．[思考]

换底公式中底数c是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．【例1】

题型一：指数幂的化简与求值(1)(2)求下列各式的值.

解析

(1)

(2)

解析

【变1-1】

(1)(2)求用分数指数幂表示下列式子().(1)(2)

【变1-2】计算下式的值.解析

【变1-3】

化简：

＝_________.指数幂的一般运算步骤(1)有括号，先算括号里的；无括号，先做指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号．(4)底数是小数，先要化成分数．(5)底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．

题型二：对数的概念

【例2】在对数式b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(

)A．(－∞，2)∪(5，＋∞)

B．(2,5)C．(2,3)∪(3,5) D．(3,4)对定义域的讨论解析【变2-1】将下列指数式、对数式互化：①53＝125；

②log216＝4；③10－2＝0.01；

④log125＝6.①由53＝125，得log5125＝3.②由log216＝4，得24＝16.③由10－2＝0.01，得lg0.01＝－2.④由log125＝6，得()6＝125.指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

【变2-2】题型三:对数的性质及对数恒等式

【例3】

求下列各式的值：①2－log23；②e3ln7；③lg0.0012.【变3-1】求下列各式中x的值：①log3(lgx)＝1；

②log3(log4(log5x))＝0.利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．

【变3-2】

（多选题）下列式子中正确的是(

)

真题研析根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．真题研析本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.题型四:对数的运算法则

【例4】

【变4-1】计算下列各式对数式化简与求值的基本原则和方法基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行常用方法“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)

方法1

（先将括号内的对数分别换底，再提取公因式，最后求解）

方法2（一次性统一化为常用对数，然后化简）

方法3（利用对数的运算法则）

利用换底公式进行化简求值的原则和技巧真题研析【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解．真题研析【分析】根据对数的性质可求代数式的值.即可解出．真题研析【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.解出．1.（多选）下列表达式不正确的是(

)

CD

易错点忽略偶次根式的成立条件而致错

易错点忽略偶次根式的成立条件而致错【根式有意义的条件：根指数为奇数，被开方数为实数，结果的符号与被开方数的符号相同；根指数为偶数，被开方数非负，结果非负.】

易错点忽略底数与真数的范围而致错

C

易错点忽略底数与真数的范围而致错

对数换底公式的灵活应用8.方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是(

)A．－2

B．－2或5C．5

D．3解析：选C原方程可化为log3(x2－10)＝log3(3x)，所以x2－10＝3x，解得x＝－2，或x＝5.经检验知x＝5.对数换底公式的灵活应用9．(多选)已知2a＝3，b＝log32，则(

)A．a＋b＞2

B．ab＝1C．3b＋3－b＝9(82)

D.2a(a(b＋1)＋1)＝log912解析：选ABD

∵2a＝3，∴a＝log23，∵b＝log32，∴ab＝log23·log32＝1，故B正确；∴a＋b＞2＝2，故A正确；∴3b＋3－b＝2＋2(1)＝2(5)，故C错误；2a(a(b＋1)＋1)＝2a(ab＋a＋1)＝2a(a＋2)＝a(1)＋2(1)＝log32＋log3＝log32＝log93(12)＝2log9＝log912，故D正确．10．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．

∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)·lgb(lga)＝(lga＋lgb)·lga·lgb((lgb)2＋(lga)2)＝(lga＋lgb)·lga·lgb((lga＋lgb)2－2lga·lgb)＝2×2(1)＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.3.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.4.指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)＝N.2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实