小学四年级数学上册第六单元知识清单：商的变化规律的应用（例9、例10）

小学四年级数学上册第六单元知识清单：商的变化规律的应用（例9、例10）一、【核心概念】除法运算中的“变”与“不变”（基础）本单元知识清单的核心是深入理解并灵活运用商的变化规律，尤其是“商不变的规律”在计算中的巧妙应用。这不仅是一项计算技能，更是一种重要的数学思想，它揭示了除法运算内部的一种平衡与和谐。（一）商的变化规律（三大基本规律）【重要】在除法算式中，被除数、除数和商之间存在着密切的联动关系。我们可以将其总结为以下三种情况（假设除法算式为a÷b=c，其中b≠0）：1.规律一：除数不变，商随被除数“同向”变化。1.2.原理：如果把除法理解为“平均分”，除数不变就相当于“分给同样多的人”。那么，被分的总数（被除数）越多，每人分到的个数（商）就越多；总数越少，每人分到的就越少。2.3.表述：除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。3.4.示例：100÷20=5。如果除数20不变，被除数100乘2变成200，那么商5也要乘2变成10，即200÷20=10。5.规律二：被除数不变，商随除数“反向”变化。【难点】1.6.原理：被除数不变，就是“总数”是固定的。如果分给更多的人（除数变大），每人分到的个数（商）反而会变少；如果分给更少的人（除数变小），每人分到的个数就会变多。2.7.表述：被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。3.8.示例：200÷40=5。如果被除数200不变，除数40除以2变成20，那么商5反而要乘2变成10，即200÷20=10。9.规律三：商不变的规律。【高频考点】【重中之重】1.10.原理：这是前两个规律的综合体现。当被除数和除数同时朝着相同的方向、以相同的倍数变化时，它们对商产生的“增大”和“减小”效果正好抵消，因此商保持不变。这体现了除法运算中的“等价变换”思想。2.11.表述：被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。3.12.示例：200÷40=5。如果被除数200和除数40同时除以10，变成20÷4，商仍然是5。（二）为什么要学习这些规律？（思维拓展）这些规律不仅仅是数学知识，更是我们认识世界的一种方式。它们教会我们：1.联系的眼光看问题：数学中的各个量不是孤立的，而是相互影响、相互制约的。2.变化的眼光看问题：世界万物都在变化，但在变化之中往往蕴含着不变的规律。商不变的规律就是“变中的不变”。3.函数思想的启蒙：商的变化规律是初中函数思想的雏形。例如，除数不变时，商随着被除数的变化而变化，这就是一种最简单的正比例函数关系。二、【应用实战一】“末尾有0”的除法简便计算（例9深度解析）例9是商不变的规律在竖式计算中的首次精彩亮相，它极大地简化了计算过程。（一）情景导入：780÷30=？传统的竖式计算方法是：2630)78060(30×2)——180180(30×6)——0这种方法虽然正确，但步骤较多，且计算180÷30时仍需思考。（二）简便算法：【必会技能】1.核心思想：应用“商不变的规律”，将被除数和除数同时除以10，也就是同时去掉末尾的一个0，将原式转化为78÷3。2.简化竖式：2630)7806(其实是算30×2，但简化后我们只算3×2)——1818(其实是算30×6，但简化后我们只算3×6)——0更简洁的写法是：2630)7806(这里的6是30×2的积，但写在百位和十位上)——18(剩下的18个十)18(30×6的积)——0最简洁的“划0法”竖式（教材推荐写法）：2630)7806(30×2)—1818(30×6)—0即：先在被除数和除数的末尾同时划去相同个数的“0”，然后计算剩下的除法。3.算理阐释：【非常重要】1.4.780可以看作是78个十。2.5.30可以看作是3个十。3.6.求780里面有多少个30，实际上就是求“78个十”里面有多少个“3个十”。因为计数单位相同（都是“十”），所以我们只需要看78里面有多少个3即可。78÷3=26，所以780÷30=26。4.7.这种算法不仅计算简便，而且深刻揭示了除法计算的本质——其实就是看被除数里面包含多少个除数。（三）即时练习与拓展1.960÷40=？(同时划掉一个0，算96÷4=24)2.5400÷600=？(同时划掉两个0，算54÷6=9)三、【应用实战二】“除数不是整十数”的简便计算（例10深度解析）例10将商不变的规律的应用提升到了一个新的高度。当除数不是整十、整百数，但乘以一个数后能变成整十、整百数时，我们同样可以巧算。（一）情景导入：120÷15=？直接计算120÷15，对于有些同学来说可能需要尝试几次。但如果我们能灵活运用商不变的规律呢？（二）多种简便策略：【思维训练】1.方法一：凑整法（乘2法）1.2.思路：15乘2等于30，是一个整十数。为了让除数变成30，我们根据商不变的规律，必须将被除数和除数同时乘2。2.3.计算：120÷15=(120×2)÷(15×2)=240÷30=83.4.点评：这是最常用、最直接的方法。5.方法二：凑整法（乘4法）1.6.思路：15乘4等于60，也是一个整十数。2.7.计算：120÷15=(120×4)÷(15×4)=480÷60=83.8.点评：方法虽然可行，但乘4后数字变大，不如乘2简便。这启发我们，要选择能让除数变成最“顺眼”的整十数的那个乘数。9.方法三：拆分法（利用规律二和规律三的逆向思维）1.10.思路：将除数15拆分成“3×5”，然后利用“一个数除以两个数的积，等于连续除以这两个数”的性质（这是除法的运算性质，与商不变的规律一脉相承）。2.11.计算：120÷15=120÷(3×5)=120÷3÷5=40÷5=83.12.点评：这种方法也非常巧妙，它将除法转化为两步简单的除法。（三）小结：【方法提炼】当除数的个位是5时（如15、25、35、45等），我们通常可以：1.乘2法：将除数乘2变成整十数（如15→30，25→50，35→70，45→90）。2.乘4法：对于25，乘4变成100是最佳选择。3.拆分法：将除数拆分成两个一位数的乘积，进行连除。四、【难点突破】“余数”的变化——陷阱与辨析（例10延伸）在应用商不变的规律进行有余数的除法简便计算时，一个巨大的“陷阱”出现了——余数的变化。（一）经典例题：840÷50=？1.简便计算过程：1.2.应用商不变的规律，将被除数840和除数50同时除以10（同时划掉末尾的一个0）。2.3.转化成：84÷5。3.4.计算84÷5：165)845—3430—44.5.根据计算，我们得到商是16，余数是4。6.引发争议：【高频易错点】那么，840÷50的结果是16……4吗？7.检验与辨析：1.8.验算方法一（乘法）：商×除数+余数=被除数。16×50+4=800+4=804。但我们的被除数是840！804≠840。所以，余4是错的！2.9.验算方法二（观察）：在简便计算中，我们同时除以了10。被除数840变成了84，这相当于把原来的840个“一”变成了84个“十”。余数“4”在简便计算的算式（84÷5）中，表示的是4个“一”。但我们要回到原算式，原算式中的数字代表什么？当我们划掉一个0后，余下的4是在被除数的十位上，它实际上表示的是4个“十”，即40。3.10.正确验算：16×50+40=800+40=840。正确！11.重要结论：【考点】1.12.在应用商不变的规律进行有余数除法的简便计算时，商不变，但余数发生了变化。2.13.被除数和除数同时除以几，得到的余数就等于原来的余数除以几。3.14.如何得到原余数？用简便计算得到的余数，乘以我们同时除去的那个数。即：原余数=简化后的余数×缩小的倍数。4.15.简便竖式的正确写法与理解：1650)8405—3430—40←这个4在十位上，表示40！在竖式中，我们虽然划掉了0，但心里必须清楚每个数字的实际位置和大小。（二）类似练习：1.670÷30=？(22……10，因为67÷3=22……1，原余数=1×10=10)2.9800÷400=？(24……200，因为98÷4=24……2，原余数=2×100=200)五、【分层训练与考点全析】（一）基础演练场（面向全体，巩固双基）1.直接写得数（运用规律）：320÷40=640÷80=5600÷700=4500÷900=280÷70=3600÷60=2.填空：1.3.两个数的商是24，如果被除数不变，除数除以4，那么商是（）。2.4.两个数的商是60，如果除数不变，被除数乘5，那么商是（）。3.5.两个数相除的商是120，如果被除数和除数同时除以10，那么商是（）。（二）计算能力阁（核心技能，务必过关）1.用简便方法计算下列各题（要写出主要过程）：650÷50=760÷20=9000÷600=1400÷300=(注意余数)150÷25=2000÷125=2.竖式计算（带的要验算）：1.3.960÷60=2.4.8400÷400=3.5.1.4.6.790÷70=（三）思维拓展园（发展思维，提升素养）1.【辨析题】判断下面的计算对吗？如果不对，请改正。700÷40=17……2因为70÷4=17……2，所以700÷40=17……2。()2.【变式题】在算式()÷30=12……20中，如果被除数和除数同时除以10，那么此时的商是（），余数是（）。3.【应用与创新】学校食堂买了8袋大米，共花了960元。但由于记录员的疏忽，他只记得每袋大米是120元，你能用今天学习的知识，不用计算，快速判断他的记忆是否正确吗？1.4.（提示：总价÷数量=单价。960÷8，可以看成960÷8，根据商不变的规律，被除数和除数同时除以……）5.【探索规律】用你喜欢的方法计算下面各题，看看你能发现什么？400÷25500÷25600÷25700÷251.6.我的发现：___________________________________2.7.应用你的发现，直接写出1200÷25=（），1600÷25=（）。（四）【高频考点与解题策略总结】1.【考点一】直接应用规律填空或判断。1.2.策略：清晰记忆三大规律，特别注意“同向”与“反向”的区别，以及“0除外”的条件。3.【考点二】利用商不变的规律进行口算和简便计算。1.4.策略：1.2.5.末尾有0的除法，先划去相同个数的0再算。2.3.6.除数不是整十数时，设法将除数和被除数同时乘一个数，把除数变成整十、整百数（如25×4=100，125×8=1000）。3.4.7.也可以将除数拆分成两个数相乘，进行连除。8.【考点三】有余数除法中的余数问题。1.9.策略：【易错警示】1.2.10.牢记：商不变，但余数要变。2.3.11.当用简便方法计算后，得到的余数是“缩小后”的余数，必须“扩大”相同倍数才能得到原来的余数。3.4.12.最稳妥的方法是，用简便方法求出商后，再用“商×原除数”的积去靠近原被除数，用减法求余数。或者直接用乘法验算。13.【考点四】规律的综合运用与实际问题。1.14.策略：分析题目中哪个量不变（被除数、除数或商），然后根据另外两个量的变化关系来求解。这实际上是函数思想的初步应用。六、【知识体系构建与跨学科视野】（一）本课知识体系本课内容是“除法”知识体系中的核心枢纽。它向上承接了“除数是两位数的除法”计算，向下开启了：1.五年级