小学数学六年级下册 比和比例（二）知识清单

小学数学六年级下册比和比例（二）知识清单一、比例的意义与基本性质【基础】【核心】（一）比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比是否能组成比例，关键是看它们的比值是否相等。例如，2:3=4:6，因为2÷3=2/3，4÷6=2/3，比值相等，所以这两个比可以组成比例。（二）比例的组成部分：在一个比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。在比例2:3=4:6中，2和6是外项，3和4是内项。比例也可以写成分数形式，如2/3=4/6，在分数形式中，等号两端的分子和分母交叉相乘，也满足外项积等于内项积的规律。（三）比例的基本性质【核心】【高频考点】：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。这是解比例和判断比例是否成立的重要依据。用字母表示：如果a:b=c:d（b、d≠0），那么ad=bc。在分数形式a/b=c/d中，有ad=bc。这个性质是“比和比例”单元的核心枢纽，连接着比、分数、除法之间的关系，也是后续学习正反比例、解比例、比例尺以及用比例解决问题的基础。（四）判断比例成立的方法：1.比值判断法：分别求出两个比的比值，若比值相等，则能组成比例。2.比例性质法：假设两个比能组成比例，计算两个外项的积和两个内项的积，若积相等，则能组成比例（这种方法适用于任意四个数）。（五）比和比例的区别与联系【易混淆点】：1.构成：比由两个数组成，比例由两个比（即四个数）组成。2.意义：比表示两个数相除，表示一种倍比关系；比例表示两个比相等，是一个等式。3.性质：比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变；比例的基本性质是两外项积等于两内项积。4.项数：比有两项（前项和后项），比例有四项（两个内项和两个外项）。二、解比例【重点】【基本技能】（一）解比例的意义：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。（二）解比例的依据：比例的基本性质（两外项积=两内项积）。（三）解比例的方法与步骤▲：1.写出比例式：将题目中的比例关系清晰地写出来，未知项通常用x表示。2.转化方程：根据比例的基本性质，将比例式转化为外项积等于内项积的方程形式。即：若a:b=c:x，则转化为a×x=b×c；若a:x=b:c，则转化为a×c=x×b；若分数形式a/b=x/c，则转化为a×c=b×x。3.解方程：按照解方程的一般步骤，求出未知数x的值。4.验算（可选）：将求得的x值代入原比例，看比例是否成立，确保计算无误。（四）解比例的常见题型：1.基本型：x:6=5:3。解：3x=6×5→3x=30→x=10。2.分数型：8/7=4/x。解：8x=7×4→8x=28→x=3.5。3.含小数或分数型：1/3:1/6=x:0.5。解：1/3×0.5=1/6×x→1/6=1/6x→x=1。4.带括号型：(x+2):5=3:1。解：1×(x+2)=5×3→x+2=15→x=13。三、正比例和反比例的意义与图像【难点】【高频考点】（一）正比例的意义★：1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。2.关系式：y/x=k（一定），其中x和y表示两种相关联的量，k表示它们的比值（商），k是一个不变的常数。3.判断正比例关系的关键：（1）两种量是否相关联，是否一种量变化，另一种量也随之变化。（2）这两种量中，相对应两个数的比值（商）是否一定。4.实例：速度一定，路程和时间成正比例（路程/时间=速度（一定））；工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例（工作总量/工作时间=工作效率（一定））；单价一定，总价和数量成正比例（总价/数量=单价（一定））。（二）正比例的图像【了解】：成正比例关系的两种量，在图像上表示出来是一条从原点（0,0）出发的无限延伸的直线。从图像中可以直观地看出一种量随着另一种量的变化趋势，也可以根据一个量的值估计另一个量的值。（三）反比例的意义★：1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。2.关系式：x×y=k（一定），其中x和y表示两种相关联的量，k表示它们的乘积，k是一个不变的常数。3.判断反比例关系的关键：（1）两种量是否相关联。（2）这两种量中，相对应两个数的乘积是否一定。4.实例：路程一定，速度和时间成反比例（速度×时间=路程（一定））；总价一定，单价和数量成反比例（单价×数量=总价（一定））；工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例（工作效率×工作时间=工作总量（一定））。（四）反比例的图像【了解】：成反比例关系的两种量，在图像上表示出来是一条光滑的曲线（双曲线的一支）。（五）正比例与反比例的对比与辨析【必考】【易混淆点】：特征维度正比例反比例相同点都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。不同点变化方向：同向变化，一种量扩大（或缩小），另一种量也随着扩大（或缩小）。变化方向：反向变化，一种量扩大（或缩小），另一种量反而随着缩小（或扩大）。关系式：y/x=k（一定）关系式：x×y=k（一定）判定方法：看两种量中相对应的两个数的比值是否一定。判定方法：看两种量中相对应的两个数的乘积是否一定。图像：一条从原点出发的直线。图像：一条光滑的曲线。（六）判断成正、反比例的一般步骤▲：1.找出题目中两种相关联的量，设它们为x和y。2.根据题意，找出与这两种量相关的第三个量（通常是定量）。3.列出关系式，判断是x/y=定值，还是x×y=定值，或者两者不成比例。4.根据关系式下结论。四、比例尺【生活应用】【高频考点】（一）比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。（二）比例尺的关系式：图上距离:实际距离=比例尺或图上距离/实际距离=比例尺（三）比例尺的表示形式：1.数值比例尺：用数字比的形式表示，如1:或1/。它表示图上1厘米代表实际距离厘米（即10千米）。前项（或分子）通常化简为“1”。2.线段比例尺：在图上附有一条标有数量的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。例如：0——50——100km，表示图上1厘米的距离代表实际50千米的距离。线段比例尺直观，可以避免单位换算的繁琐。（四）比例尺的分类：1.缩小比例尺：在绘制地图或其他平面图时，需要把实际距离按一定的比缩小，这种比例尺叫做缩小比例尺。前项一般为1。如建筑图纸、地图。2.放大比例尺：在绘制精密零件或生物细胞时，需要把实际尺寸按一定的比放大，这种比例尺叫做放大比例尺。后项一般为1。如手表零件图纸、微生物图纸。比例尺2:1表示图上2厘米代表实际1厘米。（五）比例尺的应用与计算【必考】【技能】：1.已知图上距离和实际距离，求比例尺：先统一单位，再写出图上距离与实际距离的比，最后化简成前项或后项为1的比。例：一块长方形操场，长200米，在图纸上用5厘米表示，求这幅图的比例尺。解：200米=20000厘米，比例尺=5:20000=1:4000。2.已知图上距离和比例尺，求实际距离▲：根据公式“实际距离=图上距离÷比例尺”。可以先将比例尺看成分数，用图上距离除以分数；也可以用解比例的方法。例：在一幅比例尺为1:的地图上，量得A、B两城的距离是6厘米，求实际距离。解：设实际距离为x厘米。根据比例尺公式：6/x=1/→x=6×=厘米=300千米。3.已知实际距离和比例尺，求图上距离：根据公式“图上距离=实际距离×比例尺”。注意统一单位。例：在比例尺是1:400的学校平面图上，一个圆形花坛的实际直径是8米，求图上直径是多少？解：8米=800厘米，图上距离=800×1/400=2厘米。五、图形的放大与缩小【操作与思维】（一）图形的放大与缩小的意义：在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，就是把图形的各边按一定的比放大或缩小。图形的放大与缩小，改变了图形的大小，但不改变图形的形状。（二）放大与缩小的关键：1.对应边按相同的比变化：即如果把一个长方形按2:1放大，那么放大后的长是原来长的2倍，放大后的宽是原来宽的2倍；如果把一个三角形按1:3缩小，那么缩小后的每条边的长度都是原来对应边长度的1/3。2.图形各部分的形状和对应角的大小保持不变。（三）易错点警示【易错点】：1.放大（或缩小）的是图形的边长，而不是面积。按2:1放大一个长方形，放大后的长和宽都变成原来的2倍，面积则变成原来的4倍（2×2）。2.要分清放大比和缩小比。比的前项是变化后的长度，后项是变化前的长度。如2:1表示放大；1:2表示缩小。六、用比例解决问题【综合应用】【核心素养】（一）用正比例解决问题▲：1.步骤：（1）分析题意，判断题目中两种相关联的量是否成正比例关系（即看它们的比值是否一定）。（2）设未知数x，通常将要求的问题设为x。（3）根据正比例的意义，列出比例式（即两组对应值的比相等）。（4）解比例。（5）检验并作答。2.典型例题：一辆汽车2小时行驶120千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶5小时，甲乙两地相距多少千米？分析：速度一定，路程和时间成正比例。解：设甲乙两地相距x千米。120/2=x/52x=120×52x=600x=300答：甲乙两地相距300千米。（二）用反比例解决问题▲：1.步骤：（1）分析题意，判断题目中两种相关联的量是否成反比例关系（即看它们的乘积是否一定）。（2）设未知数x。（3）根据反比例的意义，列出等积式（即两组对应值的乘积相等）。（4）解方程。（5）检验并作答。2.典型例题：一间教室，用边长是0.4米的方砖铺地，需要275块。如果用边长是0.5米的方砖铺地，需要多少块？分析：教室的总面积一定，每块方砖的面积和所需块数成反比例（注意：这里用的是方砖的面积，而不是边长）。解：设需要x块。0.4×0.4×275=0.5×0.5×x0.16×275=0.25x44=0.25xx=44÷0.25x=176答：需要176块。（三）用比例解决问题的注意事项【易错点】：1.找准题目中的定量（不变的那个量），这是判断正反比例的关键。2.注意对应关系。在列正比例关系式时，要确保比例两侧的比是同一类量，且对应时刻、对应数量要准确。例如，上面汽车行程的例子，不能列成120/5=x/2。3.区分是使用“比值一定”还是“乘积一定”。如果是比值一定（正比例），列比例式；如果是乘积一定（反比例），列方程（等积式）。4.单位的统一。在列式前，如果单位不统一，一定要先进行换算。七、综合拓展与思维提升（一）按比例分配问题的深化：1.已知总量和部分量的比，求各部分量。2.已知一个部分量和它与另一个部分量的比，求另一个部分量或总量。3.已知两个部分量的比和它们之间的差，求各部分量或总量。例如，男女生人数比是5:3，男生比女生多10人，求总人数。解题思路：男生比女生多（53）=2份，这2份对应10人，所以1份是5人，总人数是（5+3）×5=40人。（二）比例在行程问题中的应用：当速度一定时，路程比等于时间比；当时间一定时，路程比等于速度比；当路程一定时，速度比与时间比成反比。（三）比例在工程问题中的应用：当工作效率一定时，工作总量比等于工作时间比；当工作时间一定时，工作总量比等于工作效率比；当工作总量一定时，工作效率比与工作时间比成反比。（四）比例在浓度问题中的应用：在加水稀释的过程中，溶质（如盐、糖）的质量是不变的，因此原来的溶液和后来的溶液，其溶质质量与溶液质量不成比例，但溶质质量一定，溶液浓度与溶液质量成反比例关系（浓度=溶质/溶液，溶质一定时，浓度与溶液质量成反比）。但要注意，溶质增加的加浓问题则不同。（五）比例与几何图形的结合：1.相似图形：两个图形形状相同，大小不同，它们对应边的比相等，这个比就是相似比。图形的放大与缩小就是相似形的应用。2.面积比与边长比的关系：两个相似图形（如相似三角形、长方形等），面积比等于相似比的平方。八、考点、考向与解题策略汇总（一）高频考点分析：1.填空题：考查比例的基本性质（如在一个比例中，两个内项互为倒数，求外项等）、正反比例的判断（给出一组关系式或生活情境，判断成什么比例）、比例尺的简单计算（如已知图上和实际距离求比例尺）。2.判断题：主要考查概念的理解，如“圆的周长和直径成正比例”（正确），“长方形的面积一定，长和宽成正比例”（错误，成反比例），“比例尺是一种特殊的尺子”（错误，是一个比）。3.选择题：综合考查比例的意义、正反比例的特征、比例尺的应用。例如，给出几个选项，选出能组成比例的一组数；或者给出情境，选择正确的数量关系。4.解比例计算题：直接考查解比例的基本技能，通常有24道小题，包含整数、分数、小数的各种形式。5.操作题：在方格纸上按一定比将图形放大或缩小，考查学生的动手操作能力。6.应用题（解决问题）：这是分值最大、综合性最强的部分，主要考查用比例解决实际问题，包括：（1）正比例应用题（如行程问题、购物问题、影子长度问题等）。（2）反比例应用题（如铺地砖问题、工程问题、包装问题等）。（3）比例尺应用题（求实际距离、图上距离或设计平面图）。（4）按比例分配应用题（与分数应用题结合）。（二）常见题型解题步骤与规范▲：1.比例尺应用题：（1）看清已知量和未知量。（2）统一单位（通常将高级单位转化为低级单位，或将图上单位与实际单位统一）。（3）根据关系式列出算式或比例方程。（4）计算结果并还原成题目要求的单位。2.用比例解决问题（解答规范）：（1）审题：读题23遍，找出两种相关联的量和一个不变的量。（2）判断：根据不变的量，判断两种相关联的量成什么比例关系（正比例or反比例）。（3）设未知：一般情况下，直接设所求问题为x。注意单位。（4）列式：正比例列出“比相等”的比例式；反比例列出“积相等”的方程。（5）计算：解比例（或方程），过程要完整。（6）检验作答：检验答案的合理性，写出完整的答语。（三）易错点与难点突破策略：1.易错点1：正反比例混淆。突破方法：牢记关系式。做题时先写出关系式，再判断是“商一定”还是“积一定”。比如，看到“速度”