一元二次方程的概念课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.1一元二次方程的概念第二十五章一元二次方程课时内容导图1.列方程与模型观念：能根据现实情境中的等量关系列出方程，感受一元二次方程刻画数量关系的作用，发展学生的模型观念。2.理解定义与一般形式：理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，能准确识别二次项、一次项、常数项及其系数。3.理解根的含义与检验：理解一元二次方程根的含义，会代入数值检验一个数是否为方程的根。4.含参数方程的求解：能结合一元二次方程定义，求解含参数方程中字母的取值，区分一元一次、一元二次、分式方程。5.数学抽象与逻辑推理：经历从实际问题抽象整式方程的过程，提升数学抽象、逻辑推理核心素养。素养目标复习回顾下列哪些式子是方程？（1）2+9=11（2）-3x+5（3）4x+3=7(4)-x-2y=9(5)2x−3<5

×没有未知数×代数式√√×不等式√复习引入1.什么叫方程？含有未知数的等式叫作方程.2.我们学过哪些方程？我们学过哪些方程：（1）整式方程：一元一次方程，二元一次方程（组）（2）分式方程3.什么叫一元一次方程？只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程.探索新知问题1：（教材第2页）如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？图1图2探究新知解：设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm，则盒底的长为（100−2x）cm，宽为（50−2x）cm.根据方盒的底面积为3600cm2，可列得方程图1图23600cm2100cm50cm(100−2x)(50−2x)=3600.整理并化简，得x2−75x+350=0.①问题2：（教材第2页）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.组织者应邀请多少支球队参赛？解：设应邀请x支球队参赛，根据题意可列得方程

整理并化简，得x2−x−56=0.②探究新知方程①②都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？x2−75x+350=0①x2−x−56=0②特点：1.都是整式方程；2.只含一个未知数；3.未知数的最高次数是2.思考归纳二次项二次项系数一次项一次项系数常数项

一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）ax2abxbc核心知识点精讲想一想：为什么一般形式中ax2+bx+c=0要规定a≠0？b、c可以为0吗？当a=0时bx+c=0一元一次方程当a≠0，b=0时ax2+c=0一元二次方程当a≠0，c=0时ax2+bx=0一元二次方程当a≠0，b=c=0时ax2=0一元二次方程特殊形式总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数.

方法：提示判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.②即学即练例

将方程3x(x–1)=5(x+2)

化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2–3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2–8x–10=0.它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10.易错提醒：系数和项均包含前面的符号.典例分析下列哪些数是一元二次方程x2–4x+3=0的解？为什么？–1，0，1，2，3.√√一元二次方程的解一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（又叫作根）.随学随练检验步骤：①将数值代入方程左边计算；②代入右边计算；③若左右两边相等，则该数值是方程的根，否则不是.随堂练习

2.一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（）A.3，5 B.3，0 C.3，–5 D.5，0BC课堂巩固练习3.关于x的方程(a–1)x2+4x–3=0是一元二次方程，则（）A.a>1 B.a=1 C.a≠1 D.a≥04.已知关于x的方程xk–1–2x+3=0是一元二次方程，则k=______.C35.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：【选自教材第3页练习第1题】（1）5x2–1=4x；

（2）4x2=81；解：一般形式：5x2–4x–1=0二次项系数：5一次项系数：–4常数项：–1解：一般形式：4x2–81=0

二次项系数：4

一次项系数：0

常数项：–81（3）4x(x+2)=25；（4）(3x–2)(x+1)=8x–3.解：一般形式：4x2+8x–25=0

二次项系数：4

一次项系数：8

常数项：–25解：一般形式：3x2–7x+1=0

二次项系数：3

一次项系数：–7

常数项：16.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；解：设正方形的边长为x，列得方程4x2=25，化为一般形式为4x2–25=0.【选自教材第3页练习第2题】（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；解：设矩形的长为x，列得方程x(x–2)=100，化为一般形式为x2–2x–100=0.（3）把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.解：设较短木条的长为x，列得方程x·1=(1–x)2，化为一般形式为x2–3x+1=0.

BB基础通关k≠4

解：左边=2-1-1=0=右边，是方程的根解：2x2−7x−9=0

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m=−14解：5x2-13x-3=0，a=5,b=-13,c=-3解：x(x+3)=28，整理：x2+3x-28=0当堂检测拓展迁移1.若方程(a-1)x2+2x-a=0有一个根为x=1，求参数a，并判断方程类型。2.某店铺1月营业额5万元，3月营业额6.05万元，设每月平均增长率为x，列出一元二次方程。解：代入x=1：a-1+2-a=0，恒成立；当a-1≠0,即a≠1时为一元二次方程；当a=1时为一元一次方程5(1+x)2=6.05

当堂检测拓展迁移

解：当原方程为一元二次方程时：|m|=2,m+2≠0，∴m=2；当原方程为一元一次时：m=-2或|m|=1

当堂检测课堂小结一元二次方程概念一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）是整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2.a二次项系数b一次项系数c常数项课堂小结复习巩固1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

解：一般形式：4x2+5x–81=0二次项系数：4一次项系数：5常数项：–81

分层作业设计基础层（3）(2x–3)(x–1)=0；

（4）(3x–2)(x+1)=x(2x+1).解：一般形式：2x2–5x+3=0二次项系数：2一次项系数：–5常数项：3解：一般形式：x2–2=0二次项系数：1一次项系数：0常数项：–22.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）一个圆的面积是2π，求半径r；解：由圆的面积公式，得πr2=2π，所以r2=2，即r2–2=0.（2）一个直角三角形的两条直角边的长相差3，面积为9，求较长直角边的长x；

（3）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2

倍，斜边长为5，求较短直角边的长.解：设较短直角边的长为x，由勾股定理，得x2+(2x)2=52，所以x2–5=0.3.下列哪些数是一元二次方程x2+x–12=0的根？为什么？–4，–3，–2，–1，0，1，2，3，4.解：–4，3是方程x2+x–12=0的根.当x取–4或3时，能使方程左右两边相等.分层作业设计

提升层综合运用4.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.解：设田阔x步，长(x+12)步，由题意，得x(