经济数学与模型

经济分析中的函数凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数。——李善兰【清】《代数学》§1.1中美两国GDP发展预测问题1.1.1问题导入

自1978年我国实施改革开放至今的四十多年来，我国国民经济得到迅猛发展，经济总量连上新台阶，综合国力和国际影响力显著提升。根据下表（表1-1）中给出的自1978年我国改革开放开始到2020年为止的中美两国的GDP统计数据，对中美两国GDP发展趋势做出预测。趋势预测分析法也称时间序列预测分析法，是根据事业发展的连续性原理，应用数理统计方法将过去的历史资料按时间顺序排列，然后再运用一定的数字模型来预计、推测的一种预测方法，对后续方案的制定有重要的参考作用。我们将运用Excel中“趋势线预测”工具拟合出对应趋势线的函数表达式。解决方法：

将数据录入Excel中，

选中年份、中国、美国的各项数据，点击插入——图表，选择“XY（散点图）”中“带平滑线和数据标点的散点图”点击“确定”按钮即得“中美两国GDP统计散点图”将鼠标移至散点图上任一点，单击右键选择“添加趋势线”；

在“趋势项选项”中选择“多项式（P）”，勾选“显示公式”和“显示R平方值”选项，在“趋势预测”中选择“向前”30周期，即可添加散点图的趋势预测线图本案例中不难发现函数在实际应用中的三种表示法表格法、图像法、解析法1.1.2函数的概念及表示法1.常量与变量:通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.一天中的气温、生产过程中的产量都是变量。表示方法：用字母x,y,t等表示变量.

在一定时空范围内保持不变的量称为常量例如圆周率是个保持不变的量。2.区间与邻域（集合的两种表示方式）集合：具有某种特定性质的事物或对象的全体。元素：构成集合的各个事物或对象。例如:

一个剧场的所有座椅；某院校的全体学员；掷两枚骰子，其所有可能的结果；某工厂的所有产品；形如y=ax2(a为非零实数)的所有二次函数;直线x+y+1=0上的所有点；以上都是集合。基数：集合中元素的个数；若集合的基数有限，则称此集合为有限集合；否则称为无限集合。前面例题中的前四个集合为有限集合，后两个为无限集合。实数集（一）实数认识数集的表示符号：N-----自然数集Z----整数集Q----有理数集R-----实数集数集间的关系:不含任何元素的集合称为空集.规定空集为任何集合的子集.绝对值1）定义2）性质（三）数轴规定了原点O、正方向和单位长度的直线称为数轴。几何意义：1）区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.为开区间,为闭区间,为半开区间,和开区间、闭区间、半开区间统称为有限区间为无限区间[a,+∞)(-∞,b]区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.2)邻域左邻域、右邻域去心邻域：去掉点a

设x与y为两个变量，D为给定的数集，若对于每个x∈D，变量y按照对应法则f()总有一个确定的数值与之对应，则称y是x的函数。记作y=f(x)，x∈D。因变量自变量定义域y的取值范围称为函数的值域f()是对应法则，f(x)是对应于x的函数值。定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.3.函数的概念函数的两要素:定义域与对应法则.两个函数相同的充要条件是其二要素相同。例如：

如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．例如：定义域的求解应先熟悉基本初等函数，并把握：解：经济分析中的函数§1.2微软数学简介1.2.1微软数学软件简介

微软数学（MicrosoftMathematics）是微软公司开发的一款数学教育软件（可在微软官网免费下载）.它有强大的数学计算功能，且提供了图形计算器（可用于绘制2D和3D图形）、分步解方程功能以及帮助学生进行数学和科学研究的有用工具，可以完成多种计算任务，最新版本的MicrosoftMathematics4.0

还支持手写输入.1.2.2利用微软数学绘制函数图像三角函数中除正弦、余弦、正切、余切外，还有两个分别是正割和余割。正割：

余割：运用微软数学的绘图功能来绘制正割函数的图像第一步

单击主界面的【绘图】按钮进入如下界面第二步

在展开的【方程和函数】下拉菜单中选择“二维”及“笛卡尔坐标”；单击第一个输入框，输入框以放大形式出现后，在这个输入框内输入函数表达式

，单击【输入】第三步

单击【图形】按钮（图1-7），出现如图所示的函数图象（图1-8）运用手机端微软数学APP自行做出余割函数的图像。经济分析中的函数§1.3相关数学知识——函数（特殊函数、性质、反函数）变是世界上唯一不变的真理，世上唯有变化才是永恒不变的。1.3.1几种特殊函数

分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数。

其定义域为各段定义域的并（或和）。符号函数1-1xyo定义域为：x∈R图像:对任何实数

，有有理数点无理数点xyo狄利克雷函数定义域为全体实数不是分段函数例解故1）奇偶性如：1.3.2函数的几种特性偶（奇）函数的图像关于y轴（原点）对称。图像的特点：例：判定函数的奇偶性2）单调性设函数

在集合

上有定义，区间,如果对于

上的任意两点(1)当

时，恒有

，则称

在区间

上是单调递增的。(2)当

时，恒有

，则称

在区间

上是单调递减的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。例如：3）有界性则称函数在区间I上有界，称M为f(x)的一个界。如果不存在这样的M，则称此函数为无界函数。几何特征：函数图像只在y=M为上界、

y=-M为下界的带状区域中。注意：有限个有界函数的和、差、积，仍为有界函数。4）周期性则称函数为周期函数。

满足上式的最小正数T叫做该周期函数的最小正周期，简称周期。

任何周期函数与常函数做加、减、乘、除后，得到与先前周期相同的函数。三角函数是常见的周期函数。并非每个周期函数都有最小正周期。例如，常数函数

，任何正数都是它的周期。因不存在最小的正数，所以它没有最小正周期。例：自由落体运动

反映初速度为零的物体下落的距离与时间的关系，可以用两个关系式来表示：s1.3.3反函数定义：设给定函数

，定义域为

，值域

。如果对于

中的任一

的值，按关系式

，总有唯一的一个与之对应，这样就得到一个以

为自变量的函数，称这个函数为

的反函数，记作而习惯上以

表示自变量，

表示因变量，故反函数又表示为。在同一坐标系中，

与

图像关于直线

对称。y＝f（x）y＝f－1（x）y＝x例求y＝2x＋1的反函数并作图。解：xy由函数y＝f（x）求它的反函数的步骤是：

由方程y＝f（x）解出x，得到x＝f－1（y）；将函数x＝f－1（y）中的x和y分别换为y和x，这样，就得到反函数y＝f－1（x）。定理单值递增（递减）的函数必有反函数，且反函数也是单值递增（递减）的。函数的定义域（值域）就是其反函数的值域（定义域）。经济分析中的函数§1.3相关数学知识——函数（基本初等函数与初等函数）变是世界上唯一不变的真理，世上唯有变化才是永恒不变的。

借助图像来研究六类基本初等函数，掌握它们成立的条件、定义域、值域及基本性质。1）常值函数y＝ccy＝c定义域为（－∞、+∞),图像为平行于x轴的直线，即以c为纵坐标的平面点集。1.基本初等函数2）幂函数y=xα

(α≠0)

它的定义域随着α的确定而确定，应掌握α＝-1、1/2、2、3时的图像。3）指数函数y=ax(a>0,a≠1)

定义域为（－∞、+∞），值域为（0、+∞)，图像均过点（0，1），是单调函数，无奇偶性、周期性。4）对数函数y=loga

x(a>0,a≠1)与指数函数互为反函数。5）三角函数与反三角函数

借助图像掌握正弦、余弦、正切、余切函数及反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的性质、特点。了解正割函数与余割函数的定义。余切函数与反余切函数的图像函数定义域值域奇偶性单调区间最小正周期y=sinx(－∞、+∞)[-1,1]奇2πy=cosx(－∞、+∞)[-1,1]偶2πy=tanx(－∞、+∞)奇πy=cotx(－∞、+∞)无πy=arcsinx[-1,1]奇[-1,1]无y=arccosx[-1,1]无[-1,1]无y=arctanx(－∞、+∞)奇(－∞、+∞)无y=arccotx(－∞、+∞)无(－∞、+∞)无

反三角函数不是三角函数的反函数。只是在三角函数的某一单调区间上的反函数。反三角函数都是有界函数。注意:“微软数学”软件中反三角函数的表示符号

，且反余切函数

是余切函数

在区间

上的反函数，与我们的习惯有所不同。2.复合函数

在经济生产中，涉及到产量（用x表示）和利润（用y表示）。产量x

是时间t

的函数，即x=利润y是产量x的函数，即利润y

通过产量x

成为时间t

的函数：y=f(g(t))y=f()xg(t

)定义：设有函数y=f(u)和u=φ(x)，如果对于某范围内的每个x值，通过

u

总有y

的确定值与之对应，即得到以x

为自变量、y为函数值的新的函数y=f[φ(x)]，则称之为由y=f(u)与u=φ(x)复合而成的函数，简称复合函数。u称为中间变量。

注意复合函数需解决两个问题：复合函数的分解；定义域的确定。例1例2例3注意：在复合函数的分解中，各函数关系式应是基本

初等函数（或它们的四则运算）的表达形式。例43.初等函数定义：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除四则运算和有限次的复合步骤得到的可以用一个式子表达的函数，称为初等函数。本门课程讨论的函数多数是初等函数。幂指函数：已知u、v是关于x

的函数关系式，则形如y=uv的函数称为幂指函数。当u>0时，总有uv=evlnu,所以幂指函数可以被解释为初等函数。

一般来说，分段函数不是初等函数，但分段函数在各段内表现为初等函数。经济分析中的函数§1.4经济活动中的常用函数变是世界上唯一不变的真理，世上唯有变化才是永恒不变的。1.需求函数

在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.

假定其他因素（消费者的货币收入、偏好和相关的商品价格等）不变，某种商品需求的决定因素就是这种商品的价格.

这时，需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的数量关系.一般地，需求函数表示为其中表示需求量，

表示价格.需求函数

的反函数称为价格函数.有时价格函数也统称为需求函数.一般情况下，当某一商品的价格下降时，消费者对这一商品愿意且能购买的数量就会增加.

一般情况下需求函数应该是单调减少函数.2.供给函数

供给函数表示的是在某一不变特定时期内，某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系.

假定生产技术水平、生产成本等其他因素不变，某种商品的供给量的决定因素就是这种商品的价格.

供给函数表示的是商品的供给量和价格这两个经济变量之间的数量关系.一般地，供给函数表示为其中

表示供给量，

表示价格.一般情况下，当某一商品的价格上涨时，供给者（生产者或卖方）对这种商品愿意而且能够提供的数量就会增加;反之，当某种商品的价格下降时，供给者对这种商品愿意而且能够提供的数量就会减少.

一般情况下供给函数应该是单调增加函数.3.成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出.一般地，以货币计值的成本

是产量

的函数，称其为成本函数，记作成本可分为固定成本

和变动成本（可变成本）.固定成本：在一定时期不随产量变化的那部分成本；当产量

时，对应的成本函数值

就是固定成本值.变动成本：就是随产量变化而变化的成本

，

记作

于是成本函数可表示为设

为成本函数，称为单位成本函数或平均成本函数.4.收入函数与利润函数销售某种商品的收入

等于商品的单位价格

乘以销售量

即称这个函数为收入函数.销售利润

等于收入

减去成本

即这个函数称为利润函数.例1设有需求函数和供给函数（其中S表示供给量）试求使供求平衡（即S＝Q）的价格（均衡价格）需求供给解：解三元线性方程组所以均衡价格为例2

设公司生产的固定成本为5000元，可变成本为每件7.5元，销售单价为10元，设产品全部可以卖完，求保本点（无盈亏产量）。解以x表示产量，销售收入R（x）＝P•x＝10x

生产成本C（x）＝7.5x＋5000

当盈亏平衡时，R（x）＝C（x）即5000＝2.5x

所以保本点为x＝2000（件）注总成本包括固定成本与可变成本，故当产量x＝0时，总成本

C（0）>0；而销量x＝0时，收入R（0）＝0。例3

设生产x吨产品时，总成本C（x）＝5x＋200（百元），而需求Q与单价P的关系为P＝10－0.01Q（百元）（1）求平均（单位）成本函数及x＝5时的平均成本。（2）假定产品可全部卖出（即Q＝x），求总利润函数L（x）以及使利润最大的产量。解：（2）由于x＝Q，有L（x）＝R（x）－C（x）＝P•x－C（x）即

L（x）＝10x－0.01x2－C（x）＝-0.01x2＋5x－200

二次项系数为负，所以有最大值，x＝250（吨）为利润最大的产量。第一章小结函数两要素函数的简单性质反函数基本初等函数复合函数经济分析中的函数初等函数定义域的求解区间和领域分段函数幂指函数两国GDP发展预测微软数学增长率问题的计算§2.1增长率问题及解决方案2.1.1问题导入引例1.某大学生在大学四年上学期间，每年年初从银行借款4000元用以支付学费，若按年利率6%计复利，第四年末一次归还全部本息需要多少钱？是16000元吗？肯定不是！那是16960元（

）吗？也不对！答案是：18548.27元，怎么算的呢？第一年末：第二年末：第三年末：第四年末：引例2.某公司经研究决定向银行存入现金8万元，拟在8年后用于更新设备，银行存款年利率为8%，每年复利一次.计算该公司8年后能从银行取得多少钱用来更新设备.这个可能是多少钱啊？64万元吗？不是！那是69.12万元（

）吗？错！第一年末：第二年末：第三年末：第八年末：利率和复利利率，即增长率，一般情况下，增长率=增量/原总量*100%

=（末期数量—基期数量）/基期数量

复利(CompoundInterest)，是指在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计算的计息方式。在每一个计息期，上一个计息期的利息都将成为生息的本金，即以利生利，俗称“利滚利”.2.1.2典型问题及解决方案增长率（growthrate）：是指一定时期内某一数据指标的增长量与基期数据的比值，通常用百分率进行表示。

人口自然增长率指一定时期内人口自然增长数（出生人数减死亡人数）与该时期内平均人口数之比，通常以年为单位计算，用千分比来表示。经济增长率是末期国民生产总值（GNP）与基期国民生产总值的比较.以末期现行价格计算末期GNP,得出的增长率是名义经济增长率.以不变价格(即基期价格)计算末期GNP,得出的增长率是实际经济增长率.在量度经济增长时,一般都采用实际经济增长率.问题1增长率的计算前提：假设已知某一数据一定时期内的基期数量（）和末期数量（）目的：求该时期内此数据的增长率方案：增长量增长率即增长率等于末期数与基期数的比值减1.例1.父母在孩子刚刚出生的时候，就用3000元购买了100股某公司的股票，60年后这100股的市值已达到13151996元，试问该公司这60年的市值增长率为多少？解：答：这个公司60年的经济增长率为.年均增长率：也叫复合增长率，指一定年限内，平均每年增长的速度。其是反映事物从某一年的数量开始，按照某个固定指数（下年数量/上年数量）经过若干年增长后达到预期数量的百分比.问题2年均增长率的计算前提：假设已知某一数据一定时期内的基期数量（）

和末期数量（）目的：求年均增长率

方案：第一年末总量第二年末总量

…第

年末总量解法一：等式两侧同时除以

得，等式两侧同时开方，得移项，可得为便于利用科学计算器或Excel进行计算，给出下面第二个解法。解法二：对第

年末总量两边同时取自然对数，得移项化简得即例1的基础上，试问这个公司市值的年均增长率是多少？解：答：这个公司市值的年均增长率为15%常用的增长率有同比增长率、环比增长率、定基增长率等，均用百分数或倍数表示。同比增长率：一般是指和去年同期相比较的增长率。环比增长率：一般是指和上期相比较的增长率。定基增长率：每个时期的数据均与同一个基期数据进行对比。增长率问题的计算§2.2运用Excel计算增长率2.2.1典型案例GDP是国内生产总值,GrossDomesticProduct的缩写。它指一个国家或地区在一定时期内生产活动(最终产品和服务)的总量,是衡量经济规模和发展水平重要数据。根据表1-1所列各国历年GDP统计数据，试比较中国与美国、英国、日本、德国、法国、意大利、加拿大、俄罗斯2020年相对于2000年、2012年经济的增长率和年均增长率，以及2017—2020年之间的年度增长率.2.2.2解决思路根据提供的数据，按上节增长率和年均增长率计算公式即可算出9国20年、8年的增长率与年均增长率以及2017—2020年之间的年度增长率，通过制作9国年度增长率柱形图，对各国经济增长情况做以比较。增长率年均增长率2.2.3利用Excel求解1.9国20年、8年的GDP增长率（净增长率）的计算和比较第一步：首先将数据录入Excel文档中。计算20年间的净增长率时，隐藏2012年至2019年的相关数据，依据增长率计算公式，在I3栏输入“=(G3/B3-1)*100%”，点击回车键得出中国2020年相对于2000年的GDP增长率为1116.53%，如图第二步：选中I3栏并将鼠标置于其右下角，按住“+”型符号往下拖（即使用Excel的句柄填充功能）至I11，依次出现各国2020年相对2000年的经济增长率，如图第三步：仿照20年GDP增长率计算方法，可求各国2020年相对于2012年的GDP增长率，如图第四步：选定各国8年和20年GDP增长率（包括9国国名），点击菜单栏“插入”—“图标”，选择柱形图，点击“确定”，即可完成9国8年和20年GDP增长率的比较柱形图，如图2.各国20年、8年的GDP年均增长率的计算与比较第一步：依据“年均增长率计算的解决方案”建立计算公式第二步：在I4栏输入公式“=LN（B4）”，选定I4按住“+”型符号拖至I12栏，得到各国2000年GDP自然对数值；仿照此操作可得各国2020年GDP自然对数值，如图第三步：计算各国20年GDP年均增长率.在K4栏输入公式“=EXP((J4-I4)/20)-1”，算出中国2020年相对于2000年20年的GDP年均增长率为13.31%；选定K4按住“+”型符号拖至K12栏，即得其它各国2000—2020年的GDP年均增长率，如图第四步：按照前面的方法做出20年年均增长率柱状图第五步：仿照20年年均增长率计算步骤即可算出8年GDP年均增长率.3.2017—2020年的GDP年度增长率计算与比较第一步：在F4栏输入公式“=(C4/B4-1)*100%”，选定F4栏，按住“+”型符号利用Excel的句柄填充功能，先从F4向右拖至H4，然后选定F4至H4栏，按住“+”型符号向下拖至H12,即得2017——2020年每年相对于上一年的GDP增长率，如图第二步：依次选定国家栏下从“中国”至“俄罗斯”各栏，再按住键盘上“ctrl”键，用鼠标选定年度增长率（即从F4至H12），点击插入—图标—柱状图，选择适合的图表，即完成9国2017—2020年GDP增长率的比较柱形图，如图增长率问题的计算§2.3相关数学知识——极限与连续2.3.1函数极限的概念定义：按一定规律排列的一串数，

a1、a2、a3、…、an、…“规律”是指这一列数中第n项an与n的关系，即数列的通项公式。确切的说，就是确定以自然数集N为定义域的函数an＝f（n），常被称为整标函数。因此，数列常简记为｛an｝。1.数列极限例如：都是数列。

引例1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“一尺之椎，日取其半，万世不竭”，也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。把每一天截后剩下的部分记录如下：可以看出这是一个数列｛｝，它的通项随着n的增大而无限的接近于零。引例2.数列通项公式可以表示为：当n无限增大时，an无限趋近于两个例子的共同点：当n无限增大时，两个数列都会趋近于一个常数。其中这个常数我们把它称为数列的极限，对此我们给出数列极限的定义。定义：对于数列an，如果存在常数A，当n无限增大时，an无限趋近于A，则称当n无限增大时，数列｛an｝以A为极限，记为：并称数列｛an｝收敛。如果不存在A，则称数列发散。“无限趋近”：①“变化过程永无休止”即随着n的取值的不停增大，an与A一再靠近。②包含“接近程度无穷小”，即an与A的距离｜an－A｜可变得无穷小，比任意给定的正数都小。例如：例如：a10比a11更趋近于0.当n取值更大时，an更加趋近于0.注意：“趋近”并不是“到达”。放大图像例如：a11

比a10更趋近于0.当n取值更大时，an更加趋近于0.即数列｛｝的极限为0，并非是注意：“趋近”并不是“到达”。放大图像例如：an趋于0的同时也趋近于小于零的任一负数。如-2，但是不论n多大，an与-2的距离永远大于2，不会小于任意小的正数，这里只有0满足当n增大时，an与0的距离会小于任意正数。Th2.1(极限的唯一性)若数列an收敛，其极限必唯一。Th2.2(收敛数列的有界性)若数列an收敛，则数列an必有界。

（利用定义证明）约定：当n无限增大时，若an的绝对值也无限增大，习惯上称an的极限为无穷大，并记为：解：此数列从第四项开始满足下面规律：在数列中，加上或减去有限项，不改变其敛散性。

前面学习了数列（整标函数）极限的计算，但数列极限的变化路径只有一种情况，函数极限则不同。我们分情况来讨论。小建2.函数的极限

为了对极限有个直观形象的认识，以便更好的掌握极限的概念和理论，我们来讨论极限的几何意义。f(x)xy0A

由于数列an=f（n）就是函数y=f（x）中x取自然数的结果，其图像就是途中曲线y=f（x）上的一串离散的点，数列极限的几何意义也包含在其中了。

分析：它研究的是分段函数的极限，我们结合反正切、反余切函数的图像来看。函数极限的ε-N定义：002.3.2无穷小量与无穷大量注意：若函数f(x)为无穷大，则函数f(x)在其定义域内通常是无界的。

但此结论的逆不成立，即无界函数是否为无穷大量取决域变化过程。2.3.3极限的四则运算法则推广无穷大量在极限运算中的规律：同号无穷大相加，仍为无穷大。无穷大相乘仍为无穷大。有极限且不为无穷小的量乘无穷大仍为无穷大。即：多项式函数在x0处的极限等于该函数在x0处的函数值。提示：此类题的解法是消去分子、分母中所含的无穷小公因子。先来看两个准则：小建2.3.4两个重要极限及无穷小的比较重要特征：3.无穷小的比较小建用圆内接正n边形逼近圆来求圆的面积，其本质是用以多边形的边为底，以半径为腰的等腰三角形逼近相应的扇形。（三角形的面积记为α，扇形与三角形的面积差为β）1.函数的改变量2.3.5函数的连续性2、函数的连续性

像正弦函数表现的图像连续不断，即从x=x0出发，函数是逐渐变化的，虽然x与x0+△x之间函数的值可能不同，但只要|x|很小，两个函数值就很接近，这种现象就叫做连续。

而符号函数y=sgnx在x=0处发生了突变，函数图像变现为不连续，这种现象叫做间断。

讨论函数y=f(x)在点x0连续（或间断）不能孤立的看一点x0，而是要看它左邻右舍的关系，对这种关系的衡量，表现为比较函数值。3、函数的间断点间断点的分类：三、初等函数的连续性

基本初等函数在其定义域内都是连续的。由连续函数进行有限次的和、差、积、商（分母不为0）四则运算后，结果仍连续。连续函数复合而成的函数在其定义区间是连续的。有些复合函数的定义域不能构成区间，连续性得不到保证。初等函数在其定义区间时连续的。函数连续性的判断方法：初等函数如果只在某区间I内的有限个点无定义，则这些无定义的点是它仅有的间断点，即它在I内的其他地方连续。

多数情况下，函数复合以后求极限，可以先求极限后计算复合结果。即：6、闭区间上连续函数的性质增长率问题的计算§2.4极限在经济管理中的典型案例2.4.1投资方案的选择问题案例1：某人现有10000元钱想进行投资，现有两种投资方案：一种是一年支付一次红利，年利率是12%；另一种是一年分12个月按复利支付红利，月利率1%，哪一种投资方案合算？答案是：第二种投资方案合算。所谓复利计算，就是讲每期利息于每期之末加入该期本金，并以此为新本金再计算下期利息。通俗讲就是利滚利。1.按离散情况计算利息的复利公式上述计息的“期”是确定的时间间隔，因而一年计息次数有限。公式（1.1）和（1.2）可认为是按离散情况计算

年末本利和

的复利公式。2.以连续复利计算利息的复利公式案例1求解由上述计算可知，年利率相同，而一年计息期数不同，一年所得的利息也不同。如一年计息1期，是按12%计息；一年计息12期，实际所得利息是按12.6825%计算；若按连续复利计算，实际所得利息是按12.7497%计算。贴现问题由连续复利公式（1.3）可得，连续贴现公式是（元）（元）2.4.2抵押贷款问题第一月还完后欠款：第二月还完后欠款：第三月还完后欠款：第n月还完后欠款：即王某需具备每月还贷3398.92元的偿还能力，才可以贷款。边际量的计算及分析§3.1边际收益问题及解决方案3.1.1问题导入引例

进入旅游淡季，太原市各快捷酒店标间的房价均为150元/天.一名自驾游游客深夜途径太原，计划入住酒店休整后第二天再出发.到一家连锁快捷酒店要求以100元入住遭拒后，转到一家私人快捷酒店，老板同意以100元的价格让其入住.哪家酒店的行为比较合理呢？比较这名旅客所带来的收入（即边际收入或边际收益）和由他入住所追加的成本（即边际成本），从中权衡得失.例子中的边际成本是增加一名旅客（自变量）所增加的成本（因变量），对于酒店来说因增加这名旅客所增加的成本无非只有点水电费（假设这部分费用为5元），酒店其他的成本都不会增加，因此酒店的边际成本只有5元；此例中的边际收入是增加一名旅客（自变量）所增加的收入（因变量），显然这名旅客会给酒店带来100元的收入，因此边际收入就为100元.3.1.2典型案例及解决方案案例分析：某产出水平上的利润变化率是指在该产出水平上产量的增加量与利润增加量之间的比例关系。在该案例中首先需确定总利润函数，再进行相应变化率的讨论。解决方案：销售收入为总利润为边际量的计算及分析§3.2微软数学在导数计算中的运用3.2.1典型案例的微软数学求解典型案例：以本章第一节的案例为例进行展示。3.2.2其它经济应用案例解：应用软件求解过程如下边际量的计算及分析§3.3相关数学知识——导数与微分3.3.1导数1.导数的基本公式可导性与连续性的关系从例题4可知，连续不一定可导。而xy0y=f(x)M

xN

yx0令

x02.导数的几何意义xy0y=f(x)M=tan

x0令

x0三、导数的几何意义小建3.函数和、差、积、商的求导法则

多个函数相乘求导数的法则是：几个函数相乘求导，结果就是几项的和；依次求乘积中的一个因式求导并与其他因式相乘。例7

推导解：运用微软数学验证：4.反函数的求导法则5.复合函数的求导法则（锁链法则）6.高阶导数解：利用微软数学验证如下7.隐函数的导数运算

在隐函数关系式中的y存在y=f(x)这种关系。求导数时将字母y看作是复合函数的中间变量。对于由多因式的积、商、幂运算及幂指函数构成的显函数，可先取对数，再求导，这称作对数求导法.运用微软数学验证，得如下图结果3.3.2函数的微分1.微分的概念在无穷小的比较的讲解中有一个利用高阶无穷小求近似值的例题。小建2.微分的几何意义MN.f(x)dy

x

微分是函数的局部线性化.用切线增量近似曲线增量dydy=在图上是哪条线段？=tan

x.

y问题：何时dy>

y?xyoyody

x

用切线增量近似曲线增量dy

y.dy>

y微分是函数的局部线性化哪条线段是dy

？2.微分的几何意义3.微分的运算4.微分的应用解：利用微软数学验证，点击“标准”栏中“

”在输入框中分别输入上述两个根式，即可得边际量的计算及分析§3.4导数在经济分析中的典型案例3.4.1边际分析3.4.2函数的相对变化率—弹性分析“薄利多销”即降价虽然使单价绝对地减少了一些，但市场占有率可能相对地会随之增加百分之几。经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数．需求（供给）量对单价的弹性，常简称为需求（供给）弹性。通常，需求（供给）弹性总是负（正）的。当两点相近时，两点间的弹性与一点的弹性近似相等。3.4.3二阶导数的应用——市场需求潜力预测案例应用微软数学求解，结果如下图本书附录中将介绍利用Python对该题的求解。最优方案的选择与分析§4.1厂商利润最大化问题及解决方案4.1.1问题导入4.1.2典型问题及解决方案边际收益是最后增加一单位销售量（产量）所增加的收益，边际成本是最后增加一单位产量（销售量）所增加的成本。如果最后增加一单位产量的边际收益大于边际成本，意味着增加产量可以增加总利润；如果最后增加一单位产量的边际收益小于边际成本，意味着增加产量不仅不能增加总利润，反而会发生亏损。利润最大化原则的数学推演再看经济学中的另外一个重要函数——成本函数。总成本由固定成本和可变成本两部分构成，且可变成本随产量的增加而增加，因此总成本一般来说没有最小值（除非不生产），经济分析中更重要的是讨论单位成本（即平均成本）最小的问题。由此可得微观经济学中的一个重要结论：产出的边际成本等于平均成本时总成本最低。由实践经验可得，在实际问题中，如果我们确定所讨论的函数存在最大值或最小值，并且函数在取值范围内只有一个导数为0的点，那么该点就是所求的最大值点或最小值点。最优方案的选择与分析§4.2应用微软数学求解最（极）值问题4.2.1典型案例——衬衫销售价格的确定4.2.2案例分析本案例是已知需求函数和单位成本（10元/件），求利润最大化的问题。需依次确定总收益、总成本及总利润，再进行分析讨论。4.3.3解决方案即当衬衫定价为25元时可获得最大利润，最大利润为450元。最优方案的选择与分析§4.3相关数学知识——导数的应用小建4.3.1微分中值定理简介与洛必达法则拉格朗日中值定理：小建2.洛必达法则小建4.3.2函数的性质与图形描绘1.函数的单调性它们将函数的定义域分为三个区间，列表如下利用微软数学进行验证：第二步：求函数单调递增区间第三步：求函数单调递减区间它们将函数的定义域分为三个区间，列表如下3.曲线的凹凸性小建利用微软数学判断该函数的凹凸区间：4.曲线的渐近线5.函数图形的描绘利用导数作图一般步骤：列表–xy

y.例20对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线y=0，因++–++0因y(–x)=–y(x)，图形关于原点对称。–101–0(拐点)间断点间断点–+及x=1，x=–1x=01–1例20.0xy利用微软数学作图如下4.3.3函数的最值问题最优方案的选择与分析§4.4极值及最值在经济分析中的典型案例4.4.1旅行社组团方案某旅行社举办风景区旅行团，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，飞机票每张收费减少10元，直至每张飞机票收费降到450元为止。每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元。问：每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？最大利润是多少？案例分析：这是求利润最大值问题，依题意知对旅行社而言机票收入是收益，付给航空公司的包机费是成本。解决方案：旅行社的利润函数为最大利润为（元）4.4.2合理定价问题某品牌衬衣，若定价为每件50元，一周可售出1000件，市场调查显示，每件售价每降低2元，一周的销量可增加100件。问每件售价定为多少元时，能使商家的销售额最大，最大销售额时多少？案例分析：销售额最大，就是收益最大。所以目标函数是总收益函数。即因降价最多可多销售2500件。这时，总收益函数为售价与销售件数的乘积，即4.4.3海报版面的设计问题某公司为做新产品宣传，需设计一张单栏的竖向张贴的长方形海报，要求它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米，两边空白各1分米。问：如何确定海报尺寸可使四周空白面积最小？解决方案：则驻点处为最小值。所以当海报印刷部分为长16分米，宽8分米时，可使四周空白面积最小。4.4.4开支最少的购进批次某商场一年内要分批次购进某商品2400件，每件商品进价为6元，每批次商品的采购费用为160元，购进每批次商品的资金占用费按10%计息，问分几批购进时，才能使上述两项开支之和最少？案例分析：题目中每批次采购的采购费是固定的，采购次数越多，采购费的消耗将越大；而资金占用费是资金的机会成本，采购次数少，意味着每次采购到的商品销售时间将会增加，资金占用费所付的利息也将更多，故需合理规划，取最优值。故分三批购进，两项开支之和最少。4.4.5最小运费问题案例分析：本题涉及的是选址问题，实际是求最小费用，题目中没有明确给出具体运费是多少元每吨公里，但给出了公路与铁路运输得到运费比，需假设一个常数值再进行分析；

点选择的两个极端情况是与

或

重合。由于利用微软数学求解，结果如下总量与增量的计算§5.1总收入和总成本问题的解决方案5.1.1问题导入若要求精确值，需利用极限工具对上式取极限，极限值即为50件产品的总利润.即本问题的解决方法用到了转化的思想，即将复杂问题转化为简单为题，采用“化整为零、近似代替、积零为整，取极限”。引例2.曲边梯形面积的求解曲边梯形：在直角坐标系下，由闭区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)≥0，直线x=a，x=b

与x

轴围成的平面图形AabB.yxOabABx=ax=by=f(x)小建元素法1化整为零2以直代曲

(近似代替)3积零为整yxoy=f(x)ab.分法越细，越接近精确值曲边梯形的面积f(

i)元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab..分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲

(近似代替)3积零为整曲边梯形的面积f(

i)元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲

(近似代替)3积零为整曲边梯形的面积.f(

i)S

=.S.ab定义设函数f(x)在区间[a,b]上有定义．任意取分点a=x0<x1<x2<

·

·

·<xi-1<xi<·

·

·<xn-1<xn=b把区间[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]，称为子区间，其长度记为

xi

xi–

xi-1(i=1,2,·

·

·,n)得相应的函数值f(xi

)，作乘积f(xi

)

xi(i=1,2,·

·

·,n)，

5.1.2典型问题及解决方案把所有乘积加起来，得和式当n无限增大，

且子区间的最大长度l

(即l=max{

xi})

趋于零时，

如果上述和式的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积，并将此极限值称为函数f(x)

在[a,b]上的定积分，记作即f(x)：被积函数；x：积分变量；a与

b：积分下限与上限.符号读作函数f(x)从a

到b的定积分.其中：[a,b]

：积分区间；f(x)dx：被积表达式或称被积分式；关于定义的几点说明到此，那么引例的结果到底是多少呢？我们利用微软数学进行直接计算.总量与增量的计算§5.2利用微软数学计算积分5.2.1典型案例在上一节我们已经用数学方法将引例中的问题用数学算式表达出来，现在我们在此应用微软数学对引例中的问题进行求解。5.2.2解决方案生产此产品50件时的总收入为4975元、平均收入为99.5元；生产第51件到第90件所增加的收入3944元，这40件产品增加的平均收入为98.6元。总量与增量的计算§5.3相关数学知识——定积分与不定积分当f(x)>0时，

定积分在几何上表示曲边y=f(x)在区间[a,b]

上方的曲边梯形面积，如果f(x)<0，曲边梯形在x轴下方，此时该定积分为负值，它在几何上表示x轴下方的曲边梯形面积是负值AabBy=f(x)yxO5.3.1定积分的相关知识1.定积分的几何意义当f(x)在[a,b]

上有正有负时，x

轴上方的曲边梯形面积减去x

轴下方的曲边梯形面积yxyxO运用微软数学进行验证对于下面的性质，将不加证明。性质1.被积函数的常数因子可以提到积分号外面。性质2.两个函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差）小建2.定积分的性质积分中值定理的几何意义3.微积分第一基本定理5.3.2原函数与积分1.原函数积分号积分变量被积函数被积表达式积分常数2.不定积分不定积分的几何意义若y=F(x)是f(x)的一个原函数，

则称y=F(x)的图形是f(x)的积分曲线.因为不定积分是f(x)的原函数的一般表达式，

所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族.积分曲线族y=F(x)+

C的特点是：当

C>0时，向上移动；(1)积分曲线族中任意一条曲线，

可由其中某一条(例如，曲线

y=F(x))

沿

y轴平行移动|C|单位而得到.(2)由于[F(x)+

C]

=F

(x)=

f(x)，

即横坐标相同点x处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于f(x)，

从而使相应点的切线相互平行(如图)．y=F(x)y=F(x)+CxyO由不定积分的定义，有如下关系式：由此可见，微分运算与不定积分运算是互逆的。小建由导数的基本公式，可得不定积分的基本公式如下：关于不定积分由如下的基本性质：(1)函数代数和的不定积分等于各个函数的不定积分的代数和，即(2)求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的外面来，即(k为不等于零的常数)利用不定积分的基本性质和基本公式，辅以代数运算进行运算的积分方法称为直接积分法。例10.求不定积分解先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，(1)(2)得例11.求不定积分即各积分常数可以合并.其中C=C1-2C2+2C3，因此，求代数和的不定积分时，解

只需在最后写出一个积分常数C

即可.该定理也称为牛顿—莱布尼兹定理，其中的公式称为牛顿—莱布尼兹公式。该公式揭示了定积分与原函数之间的关系，说明定积分的计算转化为求被积函数的原函数或不定积分的问题。1）第一换元法(或称凑微分法）(因为d(3x)=3dx).令u=3x，则上式变为小建5.3.3基本积分方法1.换元积分法先来通论不定积分的换元积分。那么，也就是说上述结果正确.一般地，能否把公式定理5.5回答这个问题.定理5.5

(第一换元法)且u=j

(x)为可微函数，①证已知F

(x)=f

(x)，

u=j

(x)，则所以则例14求例18求解凑微分，即则利用三角函数的恒等式.例19求解例20求解例21求解利用代数恒等式例22求(a>0常数).解2）第二换元法定理5.6

(第二换元法)（一）根式代换（无理代换）例23求解为了去掉被积函数中的根号，则dx=2tdt

，于是有回代变量，得例24求解被积函数含根式为了去掉根号，于是有则dx=4t3dt，回代变量，得（二）三角代换例25求于是有解≤≤则dx=acostdt，把变量t

换为x.为简便起见，

画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.于是有atx例

26求解作辅助三角形，得axt其中C=C1-lna.3）定积分的换元积分法设函数u=u(x)，v

=v(x)具有连续导数：u

=u

(x)，v

=v

(x)，

根据乘积微分公式于是有即d(uv)=udv

+vdu，小建2.分部积分法1）不定积分的分部积分法例32求解解

例33求等式右端出现了原积分，把等式看作以原积分为未知量的方程，解此方程，得分部积分口诀：“动三指、反对止”“三”代表三角函数，“指”代表指数函数，“动”指将其dx凑微分，凑成dv，另一个函数不动，作为u；“反”代表反三角函数，“对”代表对数函数，“止”意思是将其作为u，另一个函数与dx凑成dv。2）定积分的分部积分法5.3.4广义积分1.无穷限广义积分解解2.无界函数的广义积分解解用定积分表示一个量，如几何量、物理量或其他的量，一般分四步考虑，

我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程.第一步分割：

将区间[a,b]

任意分为n个子区间[xi-1,xi](i=1,2,·

·

·,n)，其中x0=a，xn

=b.小建5.3.5定积分的几何应用1．平面图形的面积第二步取近似：任取一点xi，作小曲边梯形面积

Ai的近似值，

Ai

f(xi)

xi.第三步求和：曲边梯形面积A第四步取极限：n

，

=max{xi}0，在任意一个子区间[xi-1,xi]上，如果把第二步中的xi用x

替代，

中的被积分式f(x)dx

具有类同的形式，第二步取近似时其形式f(xi)

xi

，与第四步积分

xi用dx替代，

那么它就是第四步积分中的被积分式，第一步选取积分变量，例如选取x，

并确定其范围，例如x

[a,b]，

在其上任取一个子区间记作[x,x+dx].第二步取所求量I在子区间[x,x+dx]上的部分量

I的近似值

I

f(x)dx，

得基于此，我们把上述四步简化为两步：几点说明：(1)取近似值时，

得到的是f(x)dx那样形式的近似值，并且要求

I

-f(x)dx是dx的高阶无穷小量，

关于后一个要求在实际问题中常常能满足.(2)满足(1)的要求后，所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即dI

=

f(x)dx，dI

称为量I

的微元.上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法.xaOxx+

dxy=f(x)y例

42求出抛物线y2

=2x与直线y=x–4所围成的平面图形的面积.解作草图，如图，求抛物线与直线的交点，即解方程组得交点A(2,-2)和B(8,4).xAB-24yy=x-4y2

=2x(8,4)(2,-2)于是如果选择x为积分变量，

那么它的表达式就比上式复杂.如果选择y作积分变量，y

[-2,4]，xyAB(8,4)(2,-2)-24yy=x-4y2

=2xy+dy

任取一个子区间[

y,y+dy]

[-2,4]，

则在[

y,y+dy]

上的面积微元是

2.旋转体的体积xf(x)ab

曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0

绕x轴旋转xf(x)abx..

曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0

绕x

轴旋转V=x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴.x=g(y)yx0cdy...曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴yx0选定合适的函数。总量与增量的计算§5.4积分在经济分析中的典型案例5.4.1资本现值与投资问题资金的流转在企业经常发生，对于大型企业，其收入和支出在健全的财务管理下频繁的进行着。在实际分析过程中，为了方便计算，我们将它近似地看作连续发生，并称之为收入流（或支出流）。若已知某时刻的收入流的变化率即单位时间的收入（元/年，元/月等），那么如何计算收入流的现值和终值呢？例1.若连续3年内保持收入率每年7500元不变，且年利率为7.5%，问其现值是多少？解：即从而投资所获得的纯收入的贴现值为（2）收回投资，即总收入的现值等于投资，故有于是即收回投资的时间为解：由题意可知，总收入的值为从而投资所得的纯收入为投资收回期为若回收期为无限时期，则纯收入的贴现值为解从而投资为无限期时的纯收入的贴现值为因此与购进费用8.5万元相比，购进机器更合算.5.4.2净增长与资本形成问题净增定理变化率的积分等于净增长，即所以解：产量由1百台增到5百台的总成本的增量为产量由1百台增到5百台的总收入的增量为例9．公司租赁商店，年租金5000元；若物价波动时，要求实际租金不得因此降低.那么，当公司支出200000元作租金时，求（1）无通胀，可租几年？（2）若通胀率为5%，又可租几年？所以即得即解：（1）第1年期间所积累的原始资本为：（2）从开始到第8年末的总资本是（3）第1年到第8年之间的资本积累的总量为：5.4.3其它应用案例从1970年到2010年间石油的消耗总量为：2.客机的租用或购买方案选择问题因此，15年的租金在当前的价值为：此时租用客机比购买客机合算。此时购买客机比租用客机合算。3.车辆平均行驶速度解决方案：车辆平均行驶速度为多因素方案的选择与分析事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。——刘徽§6.1多变量决定的最大利润问题及解决方案6.1.1问题导入由题意可知，该公司的总收益函数为总利润函数为一个因变量依赖于两个、三个或更多自变量的变化规律，称为多元函数．6.1.2典型问题及解决方案与一元函数类似，多元函数关于其中各自变量的导数在经济上表示相应的边际经济量，它的经济意义是：当其他变量保持不变，其中一个变量增加（减少）一个单位时，经济总量的变化量，在多元微积分中称之为偏导数。下面首先就本节引例进行解答，分别求总利润函数偏导数无一阶不可导点，为了使得总利润最大，解方程组上述引例的讨论中，自变量各自独立不受限制，通常称这种极值为无条件极值。然而在许多关于极值（最值）的实际问题中，往往对自变量还有一定的约束条件，我们称其为条件极值。下面简要介绍求解二元函数条件极值的常用方法——拉格朗日乘数法。解决方案：建立联立方程组解得综上所述，实际经济问题最值的解决步骤可归纳如下：第一步：根据题意列出所求最值的目标函数；第二步：求出目标函数对于各自变量的偏导数，并令其为0，联立、求解方程组，得到驻点（对于实际问题通常只有一个驻点）。第三步：将所求驻点代入目标函数表达式中，求出最值。多因素方案的选择与分析§6.2应用微软数学求解多元函数极值问题6.2.1典型案例运用微软数学对本章第一节引例进行求解。总利润函数为6.2.2解决问题的思路6.2.3利用微软数学求解第一步由前面求解可知单击【方程求解器】右下方的【求解】，即得如图结果第五步在工作表中输入如下内容，6.2.4利用微软数学绘制多元函数图像单击【图形】按钮，可得所画图形多因素方案的选择与分析§6.3相关数学知识——多元微积分6.3.1多元函数概念6.3.2二元函数的极限与连续多因素方案的选择与分析§6.4多元函数极值在经济分析中的典型案例物资配送问题的分析与求解§8.1物资配送问题及解决方案8.1.1问题导入2020年新冠疫情期间，湖北省武汉、黄冈等四市亟需抗疫救援物资，其中武汉需2