2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数z=（1+2i）i,则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面向量=（-1，1），=（1，t），若⊥（2+），则t=（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-43.如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A'B'=1，A′D′=3，则原四边形ABCD的对角线AC=（）A.

B.

C.

D.4.三棱锥P-ABC中，，，，且，，则等于（）A. B.

C. D.5.如图，在正三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E为BC中点，则直线AE与PC所成角的余弦值为（）A.

B.

C.

D.

6.如图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是（）A.DE∥BM

B.平面ACN∥平面BEM

C.EF和CD为异面直线

D.BF⊥平面DEM7.已知半径为1的球与正三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面和两个底面均相切，则点C1到平面A1BC的距离为（）A. B. C. D.8.在△ABC中，点D为AC边上的点，且∃λ∈R，使得.若，，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知三条不同的直线m,n,l,两个不同的平面α，β，则下列命题为真命题的是（）A.若m⊥l,n⊥l,则m∥n B.若m⊥α，n⊥β，m⊥n,则α⊥β

C.若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β D.若m∥α，n∥β，m⊥n,则α⊥β10.在平面四边形ABCD中，AB∥DC，，，，其中λ∈[0，1].若，则（）A. B.

C.的最大值为 D.的最大值为11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点P满足，其中λ∈[0，1].经过点A，B1，P三点的平面α与正方体表面的交线构成多边形γ，则（）A.当λ=0时，直线BD1与平面α垂直

B.∃λ∈（0，1），使得多边形γ为五边形

C.∃λ∈（0，1），使得

D.平面α截正方体内切球所得截面的面积最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则该圆锥的母线长为

.13.在△ABC中D为边AC上一点，且，若点P在线段BD上，设，则m=

.14.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2BC=2AB=4，四条侧棱长均为3，则该四棱锥外接球的表面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，AB=2A1B1=4，该棱台的表面积为44.

（1）求证：AC1∥平面BDE；

（2）求四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积.16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，.

（1）求cos（B-C）的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b2+c2的值.17.(本小题15分)

如图，在矩形ABCD中，，Q为CD的中点，将△DAQ沿AQ翻折至△PAQ，使得二面角P-AQ-D的大小为θ.

（1）若，求证：平面PAQ⊥平面PBQ；

（2）若，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.18.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求A，B，C；

（2）已知c=8，P，Q，R分别在边AB，BC，CA上（不含端点），且.

（ⅰ）求证：；

（ⅱ）若△RPQ为等边三角形，求△RPQ面积的取值范围.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PCD是等边三角形，平面PCD⊥平面ABCD.M在棱PC上满足.过A，M作平面α与棱PB，PD分别交于E，F两点（不含端点）.

（1）若.

（ⅰ）求证：直线BD∥平面α；

（ⅱ）求平面α与平面ABCD所成锐二面角的正切值；

（2）记四棱锥P-ABCD被平面α所截得的上、下两部分几何体的体积分别为V1，V2，求的最小值.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】5

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】证明：如图，

连接AC交BD于点F，连接EF，

因为E、F分别为C，BD中点，

所以EF∥AC1，

因为AC1⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，

所以AC1∥平面BDE

16.【答案】

17

17.【答案】在矩形ABCD中，，Q是CD的中点，

所以AQ=BQ==4，

因为AB=4，所以AQ2+BQ2=AB2，即AQ⊥BQ，

若，则平面PAQ⊥平面ABCD，

又平面PAQ⊥平面ABCD=AQ，BQ⊂平面ABCD，

所以BQ⊥平面PAQ，

而BQ⊂平面PBQ，

所以平面PAQ⊥平面PBQ

18.【答案】，，

（i）证明：由点P在AB上，设∠APR=θ，则，

在△APR中，，可得，

由正弦定理得，可得，

因为，所以，

在△BPQ中，，可得，

由正弦定理，可得，

两式相除，可得，即．

（ii）

19.【答案】（i）证明：取CD的中点O，连接OP，

因为侧面PCD是等边三角形，

因此OP⊥CD，PC=CD=2，，

又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

因此OP⊥平面ABCD，

如图所示建立空间直