（2026秋新版）人教版九年级数学上册全册教案

第二十五章一元二次方程单元备课第二十五章本章所需课时数11课时课标要求1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。3.了解一元二次方程的根与系数的关系。4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。教材分析1.本章内容是初中数学中最后出现的方程。整式方程按其中未知数（元）的个数和未知数的最高次数分类，与前面所学整式方程相比，本章变化在于未知数的最高次数由一次升为二次，从而使一元二次方程的解法更多样、更复杂。2.一般地，解代数方程（组）的基本思路是化归为一元一次方程，所以把二次降为一次是解一元二次方程的基本策略。主要内容本章的主要内容是一元二次方程的概念，解法和实际问题。主要包括三节：第25.1节“一元二次方程的概念”主要介绍一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念；第25.2节“降次——解一元二次方程”介绍解一元二次方程的方法（配方法、公式法和因式分解法），这也是本章的重点之一；第25.3节“实际问题与一元二次方程”是让建立一元二次方程模型解决实际问题。教学目标1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。3.了解一元二次方程的根与系数的关系。4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。5.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。课时分配25.1一元二次方程的概念1课时25.2降次——解一元二次方程5课时25.3实际问题与一元二次方程3课时数学活动小结2课时教与学建议1.为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程。2.注重模型思想、应用意识的培养。3.注意控制教学要求。25.1一元二次方程的概念课题一元二次方程的概念课型新授课教学内容教材第2-4页的内容教学目标1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式。2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题。3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次的感性认识。教学重难点教学重点：通过建立方程，归纳得出一元二次方程的概念、一般形式和一元二次方程的根的概念。教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。教学过程备注1.创设情境，引入课题【探究1】如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析：设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2，可列方程。【师生活动】学生尝试解答，列出方程（100-2x）（50-2x）=3600。【追问】这个方程还能继续整理吗？【学生活动】整理，得x2-75x+350=0。【探究2】要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支队之间比赛一场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少支球队参赛？分析：（1）参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？（2）全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？【师生活动】学生尝试解答，列出方程12并继续整理，得x2【追问】观察所整理的方程及x2+2.类比探究，归纳概念1.一元二次方程的定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2。2.一元二次方程的一般形式：a分析：（1）为什么规定a≠0？（2）方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程ax3.特殊形式：ax2+bx4.一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。分析：（1）类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念（2）下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．3.学以致用，应用新知【例】将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.4.随堂训练，巩固新知（1）在下列方程中，一定是一元二次方程有（）①5x2+6=0；②ax2+bx+c=0；③（x-2）（x+5）=x2-3；④4x2-=0.A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A【变式】若关于x的方程（a-2）x2-2x+3=0是一元二次方程，则a的值为（）A.0B.2C.-2D.不等于2的任意实数答案：D（2）方程x2－2x＝0的解为()A．x1＝1，x2＝2B．x1＝0，x2＝1C．x1＝0，x2＝2D．x1＝eq\f(1,2)，x2＝2答案：C（3）将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是，一次项系数是。答案：3-7（4）已知（a﹣1）x|a|+1+4x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为．解析：根据题意，得|a|+1＝2，且a﹣1≠0．解得a＝﹣1．答案：-1（5）将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得40-16x-10x+4x2=18.移项，得4x2-26x+22=0.其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．（6）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设矩形的长为x步，列出方程为．答案：x2﹣12x﹣864＝05.课堂小结，自我完善（1）一元二次方程的概念。（2）一元二次方程的一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数。（2）一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根。6.布置作业课本P3练习第1-2题，P4习题25.1第1-5题。在教材引言的基础上，探究两个实际问题，得出一元二次方程的具体例子，淡化列方程难度，重点突出方程特点。通过在观察方向上引导学生观察方程特点，发现它们在形式上的共同点，对一元二次方程的概念达成共识，从而为掌握概念作准备。概念学习的一般过程：分析典型丰富的具体例证，抽取不同事例的共同特征、舍弃非本质特征，概括得到概念，给出符号表示，并对关键词进行辨析，再通过例子巩固概念。a≠0，否则方程就不是二次的了。这个探究过程，在教学时应让学生充分经历。本节的重点是理解一元二次方程概念及其有关概念，其中涉及一元二次方程根的概念，但教学中不要过早把注意力引向解方程。将方程化为一般形式，并写出其中的各项系数（或各项）。类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。加深对概念理解和运用，同时对一元二次方程的根的情况初步感知。在注意到未知数最高次数为2的同时，还要注意二次项系数不能为0。通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。板书设计一元二次方程概念一般形式一元二次方程根的概念根据实际问题列方程教后反思创设情境导入，新授知识层层递进、联系密切，由于有方程的学习经验，学生学起来会轻松一些，注意力集中不分散。通过现实问题认识概念，是为了增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识。列方程是贯穿始终的，既可以让学生认识到引入一元二次方程的必要性，又能分散列方程这一难点。课堂上，充分调动学生的积极性，让学生发挥主动性，经历分析问题、观察方程找规律、归纳概念的学习过程（适当给予引导），使学生感受到学习与探索的乐趣，为今后的学习提供方法和思路。25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法第1课时直接开平方法课题直接开平方法课型新授课教学内容教材第5-6页的内容教学目标1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程x2=n，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）型的一元二次方程。教学重难点教学重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想。教学难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。教学过程备注1.创设情境，引入课题【探究1】先来看一个简单的一元二次方程x2=25.【师生活动】教师：那怎么求出x的值呢？学生：可以想谁的平方是25，也可以根据平方根的意义得出x的值。因为±5的平方是25（25的平方根是±5），所以可以得出x=±5。师生总结：结合问题1题干，知道5和-5都是所列方程的根，但-5不符合题意，所以x的值是5。【探究2】探究方程x2=p的解法分析：正数的平方根有2个，负数没有平方根，0的平方根还是0.由于p的取值不确定，所以需要对p分类讨论：【师生活动】学生独立思考再交流，得出方程x2=p的解。一般地，对于方程x2=p，（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根x1=p，x2=−p（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。2.类比探究，归纳解法【探究】上面我们已经讲了x2=25的解法，那么（x+3）2=5，能否也用直接开平方的方法求解呢？【师生活动】学生分组讨论，老师点评：回答是肯定的，根据平方根的意义，借鉴上面的解方程过程，得x+3=±5，即x+3=5，或x+3=-5.方程的两根为x1=-3+5，x2=-3-5.【追问】解一元二次方程，它们的共同特点是什么？【师生活动】师生共同总结，共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．3.学以致用，应用新知【例】解下列方程．(1)4x2－3=0；(2)（x+2）2－9=0.解：(1)移项，并将二次根式系数化为1，得x2＝3/4，由此可得x=±√3/2，即x1＝√3/2，x2＝－√3/2.(2)移项，得（x+2）2=9，由此可得x+2=±3，即x+2=3，或x+2=-3，即x1=1，x2=−5.4.随堂训练，巩固新知（1）一元二次方程x2＝1的根是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝﹣1答案：B（2）解下列方程：①x2-169=0；②4x2-2=3.解：①移项，得x2=169.得x=±13.即x1=13，x2=-13.②移项、合并同类项，得4x2=5.二次项系数化为1，得x2=54得x=±52即x1=52，x2=-5（3）一元二次方程（x+3）2=25可转化为两个一元一次方程，期中一个是x+3=5，则另一个是.答案：x+3=-5（4）解下列方程：①（x-1）2=49；②x2+4x+4＝16.解：①开平方，得x-1=±7.所以x1=8，x2=-6.②整理，得（x+2）2=16.得x+2=±4，即x1=2，x2=-6.（5）在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？解：因为要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．5.课堂小结，自我完善（1）一元二次方程“降次”──转化的数学思想。（2）通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。6.布置作业课本P6练习。在教学时可以让学生简单回顾一下平方及平方根的相关知识。解方程x2=25的过程尽可能让学生独立完成，再交流。解方程x2=p的过程直接利用平方根的意义就能完成，简单但反映本质，在整个一元二次方程解法的讨论中具有奠基作用。方程（x+3）2=5是对x2=p在项数上的推广，可以用直接开平方法求解，可提醒学生对照解x2=p的过程，自然地引出“降次”的策略。在解法上通过将新方程转化为旧方程来解决。从简单情形出发，通过不断推广，体会这一具有一般意义的研究、学习方法。教学中要贯彻教材“削支强干”的意图，不要在方程的复杂程度上下功夫。学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。“降次”是解一元二次方程的基本策略。通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。板书设计解一元二次方程--直接开平方法复习完全平方式探索开平方法解一元二次方程复习平方根与开平方复习完全平方式探索开平方法解一元二次方程复习平方根与开平方利用转化化归思想，通过复习开平方和平方根，获得解x2=p的方法，进一步推广得到方程（x+n）2=p的解法。教后反思教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程。25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法第2课时配方法课题配方法课型新授课教学内容教材第7-9页的内容教学目标1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．教学重难点教学重点：利用配方法解一元二次方程。教学难点：把一元二次方程通过配方转化为(x+m)＝n(n0)的形式。教学过程备注1.创设情境，引入课题【探究1】填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+ =(x+6)2（2）x2-12x+ =(x-)2（3）x2+8x+ =(x+)2（4）x2+x+=（x+）2（5）x2+px+=（x+）2观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？【师生活动】学生自主完成，小组讨论，师生共同总结。2.类比探究，归纳解法【探究2】怎样解方程x2+6x+4=0？分析：如果能将方程左边转化为关于x的完全平方式，右边是非负数，我们就可以直接降次解方程了。那么，如何这样转化呢？【学生活动】学生先思考，再讨论。x2+6x+4=0x2+6x=－4x2+6x+9=－4+9(x+3)2=5解这个方程，得x1=-3+5，x2=-3-5。检验，-3±5是方程x2+6x+4=0的两个根.【教师活动】教师总结：像上面这样通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.总结用配方法解方程的一般步骤．(1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)(4)方程变形为(x+m)2=n的形式．(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．3.学以致用，应用新知【例】用配方法解下列方程：（1）x2-8x+1=0；（2）2x2＋1=3x；（3）3x2-6x+4=0.解：（1）x1=4+15，x2=4-15；（2）x1=1，x2=12（3）方程无实数根.4.随堂训练，巩固新知（1）用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为()A．(x＋2)2＝1B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝9答案：D【变式】用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（）A．B． C．D．答案：C（2）若代数式x2-kx+9是完全平方式，则k的值为（）A.3B.0C.6D.±6答案：D（3）把一元二次方程m2-4m=3配方，需在方程两边加（）A.2B.-2C.4D.-4答案：C（4）解下列方程：①x2+2x-3=0；②x2-4=25x.解：①移项，得x2+2x=3.配方，得x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4.开平方，得x+1=±2.所以x1=1，x2=-3.②由原方程，得x2-25x=4.配方，得x2-25x+5=4+5，即（x-5）2=9.所以x-5=3或x-5=-3.所以x1=3+5，x2=-3+5.【变式】解下列方程：①4x2+6x-5=0；②6x2-x-12＝0.解：①两边都除以4，得x2+32x-5移项，得x2+32x=5配方，得x2+32x+916=54+916，即（x+34开平方，得x+34=±29所以x1=−3+294，x2②方程两边都除以6，并移项，得x2-16x=2.配方，得x2-16x+（-112）2=2+（-112即（x-112）2=289开平方，得x-112=±17所以x1=32，x2=-45.课堂小结，自我完善（1）一元二次方程“降次”──转化的数学思想。（2）通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。6.布置作业课本P9练习第1-2题。探究1旨在引导学生回顾完全平方式，为配方法做准备，目的是为了让配方法的思想更自然。将方程x2+6x+4=0与（x+3）2=5相比较，可发现是要将方程中含x的项配成完全平方的形式。为后续“移项”“方程两边加一次项系数一半的平方”等步骤奠基。将一元二次方程配方成（x+n）2=p后，需要根据p的取值情况对方程的解进行讨论。这个过程可以让学生类比x2=p的讨论自主完成。一元二次方程不一定有解，这里可以让学生想一想什么条件下有解，为后面讲判别式埋下伏笔。方程（3）最后配方得到（x-1）2=-13这一步骤应先让学生自己尝试解决。如何配方：实际上是利用a2+2ab+b2=（a+b）2把二次项系数化为1，可以把注意力放在一次项系数上，为正确配方带来方便。学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。配方关键：配方时，方程两边加一次项系数一半的平方。二次项系数不为1时，一般，先把二次项系数化为1，然后再配方。板书设计解一元二次方程--配方法配方法探索配方法解一元二次方程复习开平方法解一元二次方程配方法探索配方法解一元二次方程复习开平方法解一元二次方程通过复习直接开平方法解一元二次方程，推广得到配方法将方程配成（x+n）2=p的形式。教后反思教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式。配方法不仅是解一元二次方程的基本方法，而且也是讨论二次函数等所必备的基础。配方法是一种重要的代数变形工具，引导学生完全掌握该法。

25.2降次——解一元二次方程25.2.2公式法课题公式法课型新授课教学内容教材第9-12页的内容教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程。2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程。教学重难点教学重点：求根公式的推导和公式法的应用。教学难点：一元二次方程求根公式法的推导。教学过程备注1.创设情境，引入课题【探究1】用配方法解方程：6x2-7x+1=0.【师生活动】解：移项，得6x2-7x=-1二次项系数化为1，得x2-x=-配方，得x2-x+（）2=-+（）2（x-）2=x-=±x1=+==1，x2=-+==【追问】回顾配方法的步骤。【师生互动】用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．2.类比探究，归纳解法【探究2】任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。能否也用配方法得出它的解呢？【师生活动】同学独立完成下面这个问题．分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵b2-4ac≥0且4a2>0∴≥0直接开平方，得x+=±即x=∴x1=，x2=。由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a，b，c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫作一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，①当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．②当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．③当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．3.学以致用，应用新知【例】用公式法解下列方程：（1）x2-4x-7=0；（2）2x2-22x（3）5x2-3x=x+1；（4）x2+17=8x.解：(1)这里a＝1，b＝-4，c＝－7，b2－4ac＝（-4）2－4×1×(－7)＝44＞0.方程有两个不等的实数根x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝−（−4）±442×1=2±11，即x1＝2+11，x(2)a＝2，b＝-22，c＝1，b2－4ac＝（-22）2－4×2×1＝0.方程有两个相等的实数根x1＝x2＝−b2a=−−（3）方程化为5x2-4x-1=0.a＝5，b＝-4，c＝-1，b2－4ac＝（-4）2－4×5×（-1）＝36＞0.方程有两个不等的实数根x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝−（−4）±362即x1＝1，x2＝−1将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝eq\f(－4±\r(24),2)＝－2±eq\r(6).∴原方程的解是x1＝－2＋eq\r(6)，x2＝－2－eq\r(6).（4）方程化为x2-8x+17=0.a＝1，b＝-8，c＝17，b2－4ac＝（-8）2－4×1×14＝-4＜0.方程无实数根．4.随堂训练，巩固新知（1）不解方程，判定方程根的情况：①16x2+8x=-3；②9x2+6x+1=0；③2x2-9x+8=0；④x2-7x-18=0.解：①化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根．②a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，∴方程有两个相等的实数根．③a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根．④a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根．（2）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．a>2B．a<2C．a<2且a≠1D．a<－2答案：C（3）用公式法解下列方程：①2x2＋x－6＝0；②x2＋4x＝2；③5x2－4x＋12＝0；④4x2＋4x＋10＝1－8x.解：①这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(－1±\r(49),2×2)＝eq\f(－1±7,4)，即原方程的解是x1＝－2，x2＝eq\f(3,2).②将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝eq\f(－4±\r(24),2)＝－2±eq\r(6).∴原方程的解是x1＝－2＋eq\r(6)，x2＝－2－eq\r(6).③∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根．④整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－eq\f(3,2).5.课堂小结，自我完善（1）求根公式及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．6.布置作业课本P12练习。探究1旨在引导学生回顾配方法的基本步骤，这样用配方法推导一元二次方程的求根公式就比较容易了。由此也可以得到一元二次方程的另一种解法。求根公式的推导，困难在于字母符号多、分式运算复杂。让学生自己动手推导，有利于学生加深对求根公式的认识，同时培养学生运算能力。方程（x+）2=的解的情况由b2-4ac决定，因此需对b2-4ac分类讨论，这也是根的判别式——判别方程是否有解的式子。当b2-4ac=0时，=-b2a，此时我们说方程有2个相等的实数根，而不是只有一个实数根。用求根公式解方程时，容易忽视系数的符号，这是易错点，必要时需要提醒。不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。方程①③是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程②④则需要先化成一般形式，再求解．板书设计解一元二次方程--公式法对一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）进行配方，得到根的判别式和求根公式。教后反思教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0。25.2降次——解一元二次方程25.2.3因式分解法课题因式分解法课型新授课教学内容教材第12-15页的内容教学目标1．掌握用因式分解法解一元二次方程。2.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题。教学重难点教学重点：用因式分解法解一元二次方程。教学难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便。教学过程备注1.复习回顾，引入课题【复习引入】解下列方程：（1）2x2+x=0（用配方法）；（2）3x2+6x=0（用公式法）.【师生活动】学生自主完成，老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．2.探索新知，归纳知识【探究】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）约为：10x－5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面?【师生活动】师生分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即得方程10x-5x2=0.（学生活动）请同学们口答下面各题．（老师提问）（1）上面两个方程和问题2的方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面三个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2），10x-5x2=x（10-5x）因此，上面三个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0；（2）3x（x+2）=0；（3）x（10-5x）=0.【思考】解上述方程时，二次方程是如何降为一次的？因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（3）x=0或10-5x=0，所以x1=0，x2=2.因此，可以发现，上述解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．3.学以致用，应用新知【例】解下列方程：（1）x（x-2）+x-2=0；（2）5x2-2x-14=x2-2x+解：(1)因式分解，得（x-2）（x+1）=0.于是得x-2=0，或x+1=0，x1＝2，x2＝-1.(2)移项、合并同类项，得4x2-1=0.因式分解，得（2x+1）（2x-1）=0.于是得2x+1=0，或2x-1=0，x1＝−12，x2＝归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.4.随堂训练，巩固新知（1）方程x（x+1）＝0的两根分别为（）A．x1＝2，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣1答案：D（2）解下列方程：①x2-9=0；②（x﹣3）2＝6（x﹣3）.解：①因式分解，得（x+3）（x-3）=0.于是得x+3=0，或x-3=0，x1=-3，x2=3.②移项，得（x﹣3）2﹣6（x﹣3）＝0，因式分解，得（x﹣3）（x﹣3﹣6）＝0，于是得x﹣3＝0或x﹣3﹣6＝0，所以x1＝3，x2＝9．（3）若a，b，c为△ABC的三边，且a，b，c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形．（4）在下列各题的横线上填写适当的解法。①解方程（x﹣1）2＝9，用法较合适；②解方程x2+2x﹣17＝0，用法较合适；③解方程x2﹣4＝x+2，用法较合适.答案：直接开平方法配方法公式法（5）解下列方程：①x2﹣2x﹣1＝0；②（x﹣3）2﹣4x（3﹣x）＝0；③2x2﹣7x﹣2＝0.解：①移项，得x2﹣2x＝1，配方，得x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，由此可得x﹣1＝±，即x﹣1＝或x﹣1＝﹣，x1＝1+，x2＝1﹣；②因式分解，得（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，整理，得（x﹣3）（5x﹣3）＝0，于是得x﹣3＝0或5x﹣3＝0，x1＝3，x2＝；③a=2，b=-7，c=-2.Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣2）＝49+16＝65＞0，方程有两个不等的实数根x＝，∴x1＝，x2＝.5.课堂小结，自我完善（1）用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式法和完全平方公式等解一元二次方程及其应用．（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．6.布置作业课本P14练习第1-2题。这两个方程和探究中方程有共同点：常数项为0。只看方程左边，很容易联想到提公因式法因式分解，使本节的学习更为顺畅。依据的是两个实数的积等于0的条件，即这两个实数中必有等于0的。例1方程（1）提公因式x-2，方程（2）用平方差公式。除了因式分解法，可以让学生尝试多种方法解这2个方程。配方法、公式法和因式分解法是三种基本的解一元二次方程的方法，“降次”是基本思路.可以引导学生总结，明确各种解法的来源、特点，能根据方程特点进行恰当的选择。第（3）题先分解因式，确定a，b，c的关系，再判断三角形的形状。根据方程的特点，选择恰当的解法解方程。学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程。板书设计解一元二次方程--因式分解法复习因式分解和已学的解一元二次方程的2种方法，引入学习因式分解法解一元二次方程。教后反思利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。25.2降次——解一元二次方程25.2.4一元二次方程的根与系数的关系课题一元二次方程根与系数的关系课型新授课教学内容教材第15-16页的内容教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重难点教学重点：一元二次方程根与系数的关系。教学难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。教学过程备注1.创设情境，引入课题由求根公式可知，通过对系数a，b，c进行有限次加、减、乘、乘方、开方等运算，可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。【问题】解下列方程并填写下表：（1）x2-5x+6=0；（2）2x2+5x+3=0；（3）3x2-2x-8=0.填写下表：一元二次方程x1x2x1+x2x1x2x2-5x+6=02x2+5x+3=03x2-2x-8=0请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？【问题2】请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a，b，c之间的关系：____________。2.探索新知，归纳知识【探究1】从因式分解法可知，方程（x-x1）（x-x2）=0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？【师生活动】学生研究，老师指导。把方程（x-x1）（x-x2）=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0.可知上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：x1+x2=-p，x1x2=q.【探究2】一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它们的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？【师生活动】设是方程的两个根。∴

∴方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=3.学以致用，应用新知【例】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：（1）x2-6x-15=0；（2）3x2+7x-9=0；（3）5x-1=4x2.解：(1)x1+x2=-（-6）=6，x1x2=-15.(2)x1+x2=-73，x1x2=−93（3）方程化为4x2-5x+1=0，x1+x2=-−54=54，x1x2=4.随堂训练，巩固新知（1）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则αβ的值为（）A．2B．﹣2C．2022D．﹣2022答案：D（2）设x1，x2是方程x2﹣3x﹣3＝0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为（）A．9B．﹣9C．1D．﹣1答案：B（3）已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值为()A．－1B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．1解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝eq\f(1,2)，mn＝－1，eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(n＋m,mn)＝eq\f(\f(1,2),－1)＝－eq\f(1,2).答案：C5.课堂小结，自我完善1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0，且b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、x23、a≠0，△≥0时，x1+x2=−ba，x1x2=4、方程根与系数关系的有关应用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。6.布置作业课本P16练习。二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系。这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-（x1+x2），常数项q=x1x2.借鉴探究2，结合求根公式。探究2与探究3是特殊与一般的关系。将方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a，便可以转化为探究2种的情形。教学时可根据学生水平灵活处理，可适当补充计算x12+x22，x1-x2，1x1+解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。先将一元二次方程化为一般形式，再判断两根的和和乘积．板书设计一元二次方程的根与系数的关系根据给定方程求根的反面是如果知道方程的根，探究方程是什么样的，得到一元二次方程根与系数的关系，进而求字母取值或代数式的值。教后反思教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件。

25.3实际问题与一元二次方程第1课时几何图形问题课题实际问题与一元二次方程——几何图形问题课型新授课教学内容教材第20-21页教学目标1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．教学重难点教学重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题。教学难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型。教学过程备注1.创设情境，引入课题【探究】要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？分析：eq\o\ac(○,1)正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？eq\o\ac(○,2)上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？eq\o\ac(○,3)若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？eq\o\ac(○,4)“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为9：7，设上下边衬宽为9x㎝，左右边衬宽为7x㎝.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x㎝.尝试列出方程.eq\o\ac(○,5)方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.解：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm.则（27-18x）（21-14x）=34整理，得16x2-48x+9=0.解方程，得x=6±当x=6+上、下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm。拓展：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？2.探索新知，归纳知识（1）在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决；（2）对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程.3.学以致用，应用新知【例1】是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数.由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2.解方程，得x1=3，x2=-1（不符合题意，舍去）.因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.【例2】用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一?解：设矩形的一边长为xm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为96m2，得x(20-x)=96.解方程，得x1=12，x2=8.因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.4.随堂训练，巩固新知（1）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为()A．x(5＋x)＝6B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6D．x(10－2x)＝6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6.答案：B（2）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________．解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，如图，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300.解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300.答案：答案不唯一，如(22－x)(17－x)＝300.5.课堂小结，自我完善利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。6.布置作业课本P21练习。已知封面及正中央矩形的长度比都是9:7，由此可以推出上、下，左、右边衬宽度之比也是9:7,这个关系很重要。教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识。方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解。需要根据它们值的大小，判断哪一个更合乎实际。教师总结，学生体会理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程。解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解。学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。板书设计实际问题与一元二次方程——几何面积问题从实际问题中构建出用一元二次方程解决面积问题的模型，进而解决与面积相关的整体法和动点问题等。教后反思与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好。25.3实际问题与一元二次方程第2课时传播问题及平均变化率问题课题实际问题与一元二次方程——传播问题及平均变化率问题课型新授课教学内容教材第21页的探究1，2内容教学目标1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理．2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键．教学重难点教学重点：建立传播问题数学模型，建立平均变化率数学模型，找等量关系，列方程。教学难点：找等量关系，列方程。教学过程备注1.创设情境，引入课题导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.【探究1】某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人?分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮传染后共有x+1人患了流感.第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮传染后有[x+1+x(x+1)]人患了流感.列表格如下：传染源人数第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数11+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2列式：x+1+x(x+1)=121得x1=10,x2=-12（不合题意，舍去）故平均一人传染了10个人.拓展：如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少分人患流感？解：以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331.【探究2】两年前生产1t甲种药品的成本是10000元，生产1t乙种药品的成本是12000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是6000元，生产1t乙种药品的成本是7200元.哪种药品成本的年平均下降率较大?分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品的成本为10000（1-x），两年后的成本变为10000(1-x)2.列出方程10000(1-x)2=6000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.设乙种药品的年平均下降率是y.根据题意，列出方程为12000(1-y)2=7200.解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775(不合题意,舍去)乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.比较这两种药品成本的年平均下降额与年平均下降率发现，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大.2.学以致用，应用新知【例1】北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．9答案：B【例2】有3人患了流感，经过两轮传染后共有300人患流感，若每轮传染中平均每人传染的人数相同（设为x），则第一轮传染后患流感的人数为，第二轮传染后患流感的人数为，所以可列方程为.答案：3xx（3+3x）3+3x+x（3+3x）＝300【例3】某工厂一种产品2024年的产量是100万件，计划2026年产量达到121万件．假设2024年到2026年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2024年到2026年这种产品产量的年增长率；(2)2024年这种产品的产量应达到多少万件？分析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2025年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2025年这种产品的产量应达到110万件．3.随堂训练，巩固新知（1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．①求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？②如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．②7×64＝448(人)．答：又将有448人被传染．（2）月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得1＋x＋x2＝73，解得x1＝8，x2＝－9(舍去)．答：每个支干长出8个小分支．（3）某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x.根据题意，得200+200(1+x)+200(1+x)2=950整理方程，得4x2+12x-7=0，解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.这个增长率为50%.5.课堂小结，自我完善根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理。6.布置作业课本P22练习。教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题.弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织学生合作交流，达到共识。拓展中的思考问题虽然涉及三轮传播，但只是求值问题，不需要用方程解决。实际问题中的数量关系比较复杂，更深入认识一元二次方程与现实生活的联系，加强建模思想。建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键。学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。板书设计列一元二次方程解应用题的一般步骤其他问题传播问题平均变化率问题实际问题与一元二次方程——传播问题及平均变化率问题列一元二次方程解应用题的一般步骤其他问题传播问题平均变化率问题迁移以前方程解决问题的步骤，总结列一元二次方程解决问题的步骤，经历完整的建立一元二次方程解决实际问题的过程。教后反思教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键．特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数。强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍。25.3实际问题与一元二次方程第3课时循环问题课题实际问题与一元二次方程——循环问题课型新授课教学内容教材第23页的探究3内容教学目标1．通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．2．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．教学重难点教学重点：通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题．教学难点：理解循环问题中“单循环”和“双循环”的区别，准确将实际问题转化为数学方程．教学过程备注1.创设情境，引入课题【探究】单循环问题要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛一场，受场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他（x－1）支球队各赛1场．思考：赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，也就是一共要比赛28场，比赛的总场次用含x的代数式表示为12x（x－1）场，所以可列得方程12x（x－1）=28．解方程，得x1=8，x2=归纳总结：单循环指所有参赛选手只相遇一次，如握手、单循环赛等．总次数=12n（n－1），其中n2.探索新知，归纳知识【探究】双循环问题若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛．如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n（n－1）．解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n（n－1）=300.解方程，得n=1±由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数．因此，总场数不可能为300，这个人算得不对．归纳总结：双循环指所有参赛选手相遇两次，如足球双循环赛、互发邮件等．总次数=n（n－1），其中n为参与对象的数量．3.学以致用，应用新知【例1】一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由.解：设这个多边形是n边形.根据题意，得n(n−3)/2=20.解得n1=8，n2=−5（不合题意，舍去）.故该多边形是八边形.不存在有18条对角线的多边形.理由如下：若n(n−3)/2=18,则n=3±3√17/2.∵

n不是正整数，∴不存在这样的多边形.【例2】“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛.解：设共有x支球队参加比赛.根据题意得x(x-1)=240.解得x1=16，x2=-15(不合题意，舍去).答：共有16支球队参加比赛.4.随堂训练，巩固新知（1）在某元宇宙平台举办的行业峰会上，每位参会者都通过VR设备与其他所有参会者进行了一次击拳致意，若系统后台显示共有15次击拳记录，则参加这次会议的人数是___.答案：6（2）云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心.某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了42种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？解：设这条线路共有

x

个站点.根据题意，得x(x−1)=56.解得x1=8，x2=−7（不合题意，舍去）.答：这条线路共有8个站点.5.课堂小结，自我完善掌握用“循环问题”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．6.布置作业课本P23练习。以实际问题引入，激发学生兴趣.思考并探究单循环指所有参赛选手只相遇一次，从而进行列方程解决问题.双循环(互相进行)含义：任意两者之间互相发生两次行为，你来我往.根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解。学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。板书设计实际问题与一元二次方程——循环问题循环问题单循环：用一元二次方程解决循环问题。教后反思教学过程中，强调解决循环问题时，区分单循环和双循环的区别，并考虑实际，对方程的根进行取舍。

第二十六章二次函数单元备课第二十六章本章所需课时数13课时课标要求1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。教材分析本章内容是学生已经学习了一次函数和正比例函数的基础上展开的，中间有一段时间的间隔，注意复习已学函数和坐标中点的特征。在整个学习过程中体现类比、数形结合和归纳的思想。主要内容本章的主要内容是二次函数的图象、性质及应用。主要包括三节：第26.1节“二次函数的概念”，第26.2节“二次函数的图象和性质”，第26.3节“二次函数与一元二次方程”是在研究二次函数与一元二次方程的联系，第26.4节“实际问题与二次函数”是用二次函数的图象和性质解决实际问题。教学目标1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。2.能用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。3.会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的定点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。5.知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。课时分配26.1二次函数的概念1课时26.2二次函数的图象和性质5课时26.3二次函数与一元二次方程2课时26.4实际问题与二次函数3课时数学活动小结2课时教与学建议1.注意复习已学的一次函数，对称的坐标表示，配方法等相关知识。2.关注数形结合的研究方法。3.加强对实际问题的分析。26.1二次函数的概念课题二次函数的概念课型新授课教学内容教材第30-32页的内容教学目标1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式。2．会利用二次函数的概念解决问题。3．列二次函数解析式解决实际问题。教学重难点教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数解析式，并求出函数的自变量的取值范围。教学难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数解析式，并求出函数的自变量的取值范围。教学过程备注1.创设情境，引入课题【探究1】正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系是什么？【师生活动】老师提示：设正方体的棱长为x，表面积为y，它们有什么联系呢？学生回答：y=6x2.老师引导：对于上面的式子，x取一个值，y是不是都有一个值与之对应？学生肯定回答后，老师追问：反过来，对于y的每一个值，x都有唯一的值与之对应吗？学生回答、交流，老师总结：y是x的函数，具体关系可表示为y=6x2。【探究2】n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？分析：每个队要与其他（n-1）个球队各比赛一场，那么n个球队要比赛n（n-1）场比赛，但甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛总场数是12n（n-1），从而m=12n（n-1），即m=12n2【师生活动】借鉴探究一中的活动进行，最终得出m是n的函数。【探究3】某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？分析：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20（1+x）t，在经过一年后的产量是20（1+x）（1+x）t，即两年后的产量y=20（1+x）2，即y=20x2+40x+20.【师生活动】借鉴探究一中的活动进行，最终得出y是x的函数。老师提问：对上面问题中的函数进行观察，有什么共同点？学生从自变量的个数，式子的次数等方面入手，讨论交流，发表自己的意见。老师点评，总结。2.类比探究，归纳概念【思考】函数①②③有什么共同点?在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的。一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a≠0;（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.3.学以致用，应用新知例(1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式.(2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位:万件)关于x的函数解析式.解：（1）S=4πr2.（2）y=8x2-16x+8.4.随堂训练，巩固新知（1）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y＝3xB．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2D．y＝ax2+bx+c答案：C（2）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．答案：3﹣51（3）如图，某公园内有一块长为100m、宽为80m的矩形场地，计划修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进种植花卉．设修建的道路宽为xm，如果种植花卉的面积为ym2，那么y与x之间的函数解析式为（）A.y＝8000﹣100x﹣80xB．y＝（100﹣x）（80﹣x）+x2C.y＝（100﹣x）（80﹣x）D.y＝100x+80x答案：C（4）某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。若设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，求y与x的函数解析式。分析：如果不降低售价，该商品每件利润是10－8=2(元)，一天总的利润是(10－8)×100=200(元)。若每件商品降价x元，则每件商品的利润是(10－8－x)元，一天可销售约(100＋100x)件商品。解：y=x(20－2x)，即y=－2x2＋20x（0≤x≤2）。5.课堂小结，自我完善（1）请叙述二次函数的定义．（2）许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数解析式。6.布置作业课本P31练习，P32习题26.1。二次函数的概念是通过具体问题引入的。关键是让学生明白2点：（1）每个队比赛（n-1）场，比赛的场次是n（n-1）的一半。一年后的产量可以表示为20+20x，也可以表示为20（1+x），用后者更易于表示出再经过一年后的产量。学生已经具备有关一元二次方程一般形式的知识，并且学过了一次函数的意义，可以对二次函数的意义有进一步的理解。能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数。能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数。紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c。学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。利润=(售价－进价)×销售量。注意此时x的值不可以任意取，0≤x≤2。通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。板书设计二次函数的概念通过具体问题引入二次函数的概念，类比一元二次方程和一次函数进行探究学习.教后反思教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识。研究学习的套路跟一元二次方程和一次函数一致。

26.2二次函数的图象和性质26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质课题二次函数y=ax2的图象和性