广西南宁市2025-2026学年高二数学下学期3月阶段检测试题（一）【含答案】

广西壮族自治区南宁市2025-2026学年高二数学下学期3月阶段检测试题一、单选题1．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（

）A．12 B．24 C．64 D．812．的展开式中的常数项为（

）A．60 B．120 C．160 D．2403．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（

）A．60 B．84 C．100 D．1204．已知，是随机事件，若，，则（

）A． B． C． D．5．已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（

）A． B． C． D．6．从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（

）A．480种 B．240种 C．120种 D．60种7．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（

）A．110种 B．100种 C．90种 D．80种8．已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（

）A．150 B．240 C．390 D．1440二、多选题9．在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从这个盒子中有放回地先后取两个小球，取到球的标号分别为，，记，则下列说法正确的是（

）A．事件“”与“且”是相等事件B．当时，，的取值有4种情况C．D．10．已知，则下列描述正确的是（）A．B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为C．被7整除所得的余数是4D．11．有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．某批产品分别来自甲，乙，丙三条生产线，甲生产线生产的产品占，次品率为；乙生产线生产的产品占，次品率为；丙生产线生产的产品占，次品率为．现从这批产品中随机抽取一件进行检测，则抽到的产品是次品的概率是______．13．的展开式中常数项为___________.14．将五张标有、、、、的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按取走卡片的顺序是“和谐序”，按取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为_________．四、解答题15．已知等比数列满足，且是与的等差中项．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．16．甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响．(1)记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求；(2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望．17．如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段的中点．(1)求证：平面平面；(2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值．18．已知抛物线的准线为，点到的距离为3.过点作两条直线，其中斜率为的直线与交于、两点，斜率为的直线与交于、两点，其中点均在第四象限.(1)求抛物线的方程;(2)若，证明:;(3)若直线经过点，证明直线经过定点，并求出该定点坐标.19．已知函数，．(1)当时，求在区间上的最大值与最小值；(2)讨论的零点个数；(3)若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围．参考答案1．D【详解】由题意可知：每位同学均有3个运动队选择，所以不同的报名方法种数是.故选：D.2．D【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择，则的展开式中的常数项为.3．C【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，共有种选法，若首位为，从剩下的五个数字中任选个数字，共有种选法，所以组成无重复数字的三位数的个数为.故选：4．D【详解】由条件概率公式得，因此，将代入得，解得.故选：D5．A【详解】由，而展开式中的通项为，，令，得；令，得，则的展开式中项的系数为，解得.故选：A.6．C【详解】站在一起有种，将看成一个整体与进行全排列，共有种，同时要求在的左边，共有种．故选：.7．B【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种；若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种；所以满足条件的不同的派遣方案有种．故选：B．8．C【详解】因为或所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中（1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法：各放1个，2个，2个的方法有种.各放3个，1个，1个的方法有种.（2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有种.综上，总的放球方法数为种.故选：C9．BD【详解】事件“”表示，有“且”或“且”两种情况，故A错误；当时，或或或四种情况，故B正确；从这个盒子中有放回地先后取两个小球，共种情况，其中的有或或或或或共6种情况，，故C错误；的情况有、、、、、、、、、共10种，其中且的有、、、、、、共7种，，故D正确．10．ABC【详解】对于A，令，得，令，得，故，A正确；对于B，所有含的奇数次项的二项式系数和，与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，都为，故B正确；对于C，，故只需考虑被7整除得余数，因为，被7整除的余数为4，故C正确；对于D，，两边求导得，再令，得，故D错误.11．BCD【详解】对于A，，所以A错误；对于B，，所以，所以B正确；对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，由题意可得，，，所以，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以，所以，所以，则，所以D正确.故选：BCD.12．【详解】设抽到的产品来自甲生产线为事件，来自乙生产线为事件，来自丙生产线为事件，抽到的产品为次品时事件，则，，，，，.所以.故答案为：13．141【详解】解：的展开式的通项为，其中又的通项为，其中则取常数项时，则的可能取值为，对应的的取值为则的展开式的常数项为：.故答案为：141.14．【详解】分两种情况讨论：（1）第一步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，第二步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，第三步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，第四步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，第五步，抽最后一张卡片，此时，不同的抽法种数为种；（2）第一步，抽号卡片，第二步，从、、号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，第三步，从、号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，第四步，从、号卡片抽取一张，有种情况，第五步，抽最后一张卡片，此时，不同的抽法种数为种.而从张卡片随意抽取，不同的抽法种数为，因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）设等比数列的公比为q（)，因为是与的等差中项，所以，所以，因为，所以，所以的通项公式为．（2）由（1）可得，则，①，②①②得．则．16．(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）的取值为3,2,0,对应的概率分别为，，.的取值为2,0，对应的概率分别为，.当时，取2或0都满足，此时概率为.当时，取2或0都满足，此时概率为.当时，只有满足，此时概率为.根据互斥事件概率的加法公式，可得.（2）的可能取值为0,2，3，4，5......的分布列如下表所示：02345可得.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明因为内接于圆，为圆的直径，所以．因为平面，平面，所以．又，平面，，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）因为平面，，平面，所以，．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，则，，，，所以，．设平面的法向量，由得不妨设，则，所以平面的一个法向量．又，，设平面的法向量，由得不妨设，则，，所以平面的一个法向量．所以，即平面与平面所成角的余弦值为．18．(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析，.【详解】（1）抛物线的准线为，由点到的距离为3，得，解得，所以抛物线的方程.（2）依题意，令，由，得，设，直线的方程为，直线的方程为，由消去得，则，，同理得，所以.（3）直线的斜率，方程为，整理得，而直线过点，则，设，同理得直线的方程，而直线过点，因此，由，得，则，直线的方程，即，整理得，所以直线经过定点.19．(1)最大值为，最小值为1(2)当时，无零点，当或时，有1个零点，当时，有2个零点.(3)【详解】（1）当时，，，当时，，所以在上单调递增，所以，．（2）令，得，即，令，则的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数，，令，得，当时，，则，所以在上单调递增；当时，，则，所以在上单调递减，所以，又当时，，当时，；所以的大致图象如下所示：数形结合得，当时，直线与的图象无交点，故无零点；当或时，直线与的图象有1个公共点，故有1个零点；当时