贵州省黔东南苗族侗族自治州2026届高三数学下学期模拟预测试题【含答案】

贵州省黔东南州2026届高三数学模拟统测试卷一、单选题1．若集合，，则中的元素个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．62．已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（

）A．，1 B．2，1 C．，i D．2，i3．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（

）A．8 B．6 C．5 D．45．一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（

）A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米6．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（

）A． B．C． D．7．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（

）A．120种 B．150种 C．210种 D．300种二、多选题9．已知直线l：与圆C：，则（

）A．直线l过定点B．当时，直线l被圆C所截的弦长为C．当直线l与圆C相交时，D．当直线l与圆C相切时，10．如图，这是某校写作兴趣小组25名同学暑假的课外阅读量（单位：本）的折线统计图，则（

）A．这25名同学暑假的课外阅读量的众数是4本B．这25名同学暑假的课外阅读量的中位数是5本C．这25名同学暑假的课外阅读量的平均数是4.4本D．这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本11．正四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，，，过的中点E作球O的截面，则（

）A．直线与平面所成角的正切值为B．平面与平面夹角的余弦值是C．D．截面的面积的最小值是三、填空题12．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为_____.13．已知双曲线C：（，）上任意一点P到其两条渐近线的距离之积为，则双曲线C的离心率为_________.14．已知函数若，，则a的取值范围是_________.四、解答题15．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)求使成立的n的最小值.16．某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立.(1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率；(2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望.17．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，.(1)证明：平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.(3)在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．已知椭圆C：（）的焦距与短轴长均为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知直线：（）与椭圆C交于A，B两点，点A在x轴上方，过点B作斜率为的直线，交椭圆C于另一个点P.①证明：.②求面积的最大值.19．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程.(2)当时，证明：当时，.(3)若有两个零点，求a的取值范围.

参考答案题号12345678910答案CBADBBDCABDBCD题号11答案ACD1．C【详解】因为集合，，所以，则中有4个元素.2．B【详解】由题意可得，则复数z的实部和虚部分别是2，1.故选：B.3．A【详解】由，得，解得，则“”是“”的充分不必要条件.4．D【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，根据抛物线的定义可得，则.5．B【详解】如图，由题意可知千米，，，则由正弦定理知千米.6．B【详解】由题意可得，令，得，此时，所以图象的对称中心是.7．D【详解】设，则.因为，所以，即，所以在上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为在上单调递减，所以，解得.8．C【详解】安排1名同学去A公司实习，安排2名去B公司实习，3名去C公司实习，则有种不同的安排方法；安排1名同学去A公司实习，安排3名去B公司实习，2名去C公司实习，则有种不同的安排方法；安排2名同学去A公司实习，有种不同的安排方法.故满足条件的不同安排方法有种.9．ABD【详解】由直线l：可得，则直线l过定点，则A正确.当时，直线l：，圆心C到直线l的距离，则直线l被圆C所截的弦长为，B正确.当直线l与圆C相交时，圆心C到直线l的距离，解得，C错误.当直线l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离，解得，D正确.10．BCD【详解】由图可得课外阅读量为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，对于A，这25名同学暑假的课外阅读量的众数是5本，A错误；对于B，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，中位数是5本，B正确；对于C，平均数是本，C正确；对于D，，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，第个数为，所以这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本，D正确.11．ACD【详解】如图，作平面，则H为线段的中点，是直线与平面所成的角.因为，，所以，，所以，A正确.取棱的中点F，连接，，.由正棱锥的性质知点H在线段上，，则.由正四棱锥的性质易证是平面与平面的夹角或其补角，则平面与平面夹角的余弦值是，B错误.因为，，所以O在正四棱锥外部，连接，则，解得，C正确.连接，当截面垂直于时，截面的面积最小.因为，所以截面的面积的最小值为，D正确.12．【详解】由可得，因为为单位向量，故，故，故答案为：13．或【详解】设，因为点在双曲线上，所以.由已知双曲线的渐近线的方程为，所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，所以，即，即，解得或，故双曲线的离心率或.14．【详解】当时，恒成立，此时.当时，由，得，所以，即.当时，由，得，即.设（），则（），所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则.综上，a的取值范围是.15．(1)；(2)6.【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，由题意可得，化简得，解得，，所以.（2）由（1）可知.由，得，即，即，解得或.因为，所以n的最小值是6.即使成立的n的最小值为6.16．(1)；(2)，【详解】（1）由题意可得随机检测1件该零件合格的概率是，则检测3件该零件，至少有2件合格的概率是.（2）由题意可知X的所有可能取值为，，，10，40.，，，，，则X的分布列为故.17．(1)证明见解析；(2)；(3)存在，【详解】（1）因为，，所以，所以.因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为四边形是矩形，所以.因为平面，平面，且，所以平面；（2）由（1）可知，，两两垂直，则以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，，所以，，，，.设平面的法向量为，则，令，得.易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.（3）假设存在满足条件的点D，且（），使得直线与平面所成角的正弦值为.由（2）可知，，，则.因为直线与平面所成角的正弦值为，所以.解得，所以，即，则存在满足条件的点D，此时.18．(1)；(2)①证明见解析；②.【详解】（1）由题意可得，解得，，所以椭圆C的标准方程是.（2）解法一：联立方程，解得或.因为点A在x轴上方，所以，，则直线的方程为，即.又由，消去y化简得，则，所以，故点P的坐标为.如图：①证明：因为，，所以直线的斜率，所以，故.②因为，，所以.因为，，所以.因为，所以的面积.设，由，得，当且仅当时，等号成立，所以.因为对勾函数在上单调递增，所以，故，当且仅当即时等号成立，所以面积的最大值为.解法二：①设，则.如图：联立方程解得，所以.又因A，P在椭圆上，所以，两式相减，，又因为，所以，且，所以，即，故.②设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，因为是直角三角形，，，所以，设，由，得，当且仅当时，等号成立，所以.因为对勾函数在上单调递增，所以，故，当且仅当即时等号成立，所以面积的最大值为.19．(1)(2)证明见解析；(3).【详解】（1）当时，，则，从而，，故曲线在点处的切线方程为，即；（2）设，则.显然在上恒成立，所以在上单调递减.又，所以在上恒成立，所以在上单调递增，故，即当时，.（3）由题意可得.设，则.①若，显然，则在上单调递增，即在上单调递增.又，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以只有一个零点，故不符合题意.②若，则当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.又，所以，又，所以