2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第二十六章 二次函数单元测试卷1

2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册第二十六章二次函数单元测试卷1一、选择题：本题共12小题，共44分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数属于二次函数的是(

)A.y=2x+1 B.y=−1x C.y=ax2.已知点(−1,3)在抛物线y=x2+bx上，则b的值为A.−4 B.−2 C.2 D.43.抛物线y=−(x−1)2+2与y轴的交点坐标为A.(0,−2) B.(0,−1) C.(0,1) D.(0,2)4.抛物线y=3(x−1)2+1的顶点坐标是A.(1,1) B.(−1,1) C.(−1,−1) D.(1,−1)5.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数x−2.14−2.13−2.12−2.11y=a−0.03−0.010.020.04A.−2<x<−2.14 B.−2.14<x<2.13

C.−2.13<x<−2.12 D.−2.12<x<−2.116.对于二次函数y=(x+1)2−4，下列说法正确的是A.图象的开口向下 B.当x=1时，y有最大值−4

C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x=−17.二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数x…−5−4−3−2−10…y…40−2−204…下列说法正确的是(

)A.抛物线的开口向下 B.当x>−3时，y随x的增大而增大

C.抛物线的对称轴是x=−52 D.8.已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则A.−5或2 B.−5 C.2 D.−29.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是A. B.

C. D.10.已知二次函数y=2(x−2)2+1图象上三点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(6,yA.y1<y2<y3 B.11.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①abc>0；②a+b+c<0；③c−a=2；④方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根A.1个

B.2个

C.3个

D.4个12.已知二次函数y=ax2+2ax+3a−2(a是常数，且a≠0)的图象过点M(x1,−1)，N(x2,−1)，若A.a≥13 B.0<a≤13 C.二、填空题：本题共8小题，共30分。13.抛物线y=x2−1的顶点坐标是

14.已知抛物线y=x2+2x+m与坐标轴有两个交点，则m的值为

15.若抛物线y=x2−6x+a的顶点在x轴上，则a=

16.将抛物线y=−2x2先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为

．17.当−1≤x≤3时，二次函数y=x2−4x+5有最大值m，最小值n，则m−n的值为

18.如图二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x19.如图，点A是抛物线y=x2−4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为______．

20.定义：横坐标与纵坐标相等的点，称为“智慧点”，例如：(−3,−3)，(1,1)均为智慧点.则抛物线y=x2−x−3上所有“智慧点”的坐标为

三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题8分)

已知关于x的二次函数的图象与x轴的交点为(−1,0)，(3,0)，与y轴交于点(0,3)．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)写出它的开口方向，对称轴以及顶点坐标．

22.(本小题8分)

已知二次函数y=x2+2mx+m2−1(m为常数)．

(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

(2)若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围．

23.(本小题10分)

某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？

(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，求此时售价的范围．

24.(本小题8分)

要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=−x2+3x+74(x>0)．

(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？

(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=x2+bx+c．

(1)当b=−2时，

①若c=4，求该函数最小值；

②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；

(2)当c=2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．

答案解析一、选择题：本题共12小题，共44分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数属于二次函数的是(

)A.y=2x+1 B.y=−1x C.y=ax【答案】D

【解析】解：y=2x+1，y=−1x不是二次函数，y=ax2+bx+c中当a=0时，它不是二次函数，

y=x2−1符合二次函数的定义，它是二次函数，

故选：D．

一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c2.已知点(−1,3)在抛物线y=x2+bx上，则A.−4 B.−2 C.2 D.4【答案】B

【解析】解：由题知，

因为点(−1,3)在抛物线y=x2+bx上，

所以1−b=3，

解得b=−2，

所以b的值为−2．

故选：B．

将点(−1,3)的坐标代入y=3.抛物线y=−(x−1)2+2与A.(0,−2) B.(0,−1) C.(0,1) D.(0,2)【答案】C

【解析】解：由题知，

将x=0代入y=−(x−1)2+2得，

y=−1+2=1，

所以抛物线与y轴的交点坐标为(0,1)．

故选：C．

将x=04.抛物线y=3(x−1)2A.(1,1) B.(−1,1) C.(−1,−1) D.(1,−1)【答案】A

【解析】解：∵抛物线y=3(x−1)2+1是顶点式，

∴顶点坐标是(1,1)．

故选：A．

已知抛物线顶点式y=a(x−h)2+k(a,h,k为常数，5.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,cx−2.14−2.13−2.12−2.11y=a−0.03−0.010.020.04A.−2<x<−2.14 B.−2.14<x<2.13

C.−2.13<x<−2.12 D.−2.12<x<−2.11【答案】C

【解析】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，

函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；

由表中数据可知：y=0在y=−0.01与y=0.02之间，

∴对应的x的值在−2.13与−2.12之间，即−2.13<x1<−2.12，

故选：C．

根据函数y=ax2+bx+c6.对于二次函数y=(x+1)2A.图象的开口向下 B.当x=1时，y有最大值−4

C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x=−1【答案】D

【解析】解：∵二次函数y=(x+1)2−4，

∴该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，不符合题意；

函数图象的顶点坐标为(−1,−4)，所以x=−1时，函数有最小值为−4，故选项B的说法错误，不符合题意；

当x<−1时，y随x的增大而减小，故选项C中的说法错误，不符合题意；

对称轴是直线x=−1，故选项D中的说法正确，符合题意．

故选：D．

7.二次函数y=ax2+bx+c，自变量xx…−5−4−3−2−10…y…40−2−204…下列说法正确的是(

)A.抛物线的开口向下 B.当x>−3时，y随x的增大而增大

C.抛物线的对称轴是x=−52 D.【答案】C

【解析】解：将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，

得：0=16a−4b+c0=a−b+c4=c，解得：a=1b=5c=4，

∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．

A、a=1>0，抛物线开口向上，A不正确；

B、−b2a=−52，当x≥−52时，y随x的增大而增大，B不正确；

C、−b2a=−52，抛物线的对称轴是直线x=−8.已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移A.−5或2 B.−5 C.2 D.−2【答案】B

【解析】解：∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，

∴x=−k2>0，

∴k<0．

∵抛物线y=x2+kx−k2=(x+k2)2−5k24．

∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y=(x+k2−3)9.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2A. B.

C. D.【答案】D

【解析】解：观察函数图象可知：a>0，b>0，c<0，

∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a<0，与y轴的交点在y轴负半轴．

故选：D．

根据二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象，即可得出a>0、b>0、c<0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a10.已知二次函数y=2(x−2)2+1图象上三点A(−1,y1)，B(2,y2)，A.y1<y2<y3 B.【答案】B

【解析】解：由题可知二次函数对称轴为直线x=2，且开口方向向上，

∴离对称轴越远，函数y值越大，

∵2−2<2−(−1)<6−2，

∴y2<y1<y3，

故选：11.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①abc>0；②a+b+c<0；③c−a=2；④方程ax2A.1个

B.2个

C.3个

D.4个【答案】C

【解析】解：∵抛物线开口向下，

∴a<0，

∵对称轴在y轴左侧，

∴b<0，

∵对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，

∴与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，

∴抛物线和y轴正半轴相交，x=1时，y<0，

∴c>0，a+b+c<0，

∴abc>0，故①正确，②正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a−1，

∴b=2a．

∵x=−1时，y=2，

即a−b+c=2，

∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；

∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，

即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，

∴方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，故④错误；

故选：C．

抛物线开口向下a<0，对称轴在y轴左侧，b<0，根据抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，抛物线和y轴正半轴相交，c>0，a+b+c<0，则abc>0，则可对①②进行判断；由抛物线的对称轴方程得到b=2a，而x=−1时，a−b+c=2，则a−2a+c=2，、于是可对③进行判断；利用抛物线y=ax2+bx+c的顶点D(−1,2)，可得到抛物线与直线y=2只有一个公共点，于是可对④进行判断．

本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b12.已知二次函数y=ax2+2ax+3a−2(a是常数，且a≠0)的图象过点M(x1,−1)，N(x2A.a≥13 B.0<a≤13 C.【答案】B

【解析】解：令y=−1，得y=ax2+2ax+3a−2=−1，

化简得，ax2+2ax+3a−1=0，

∵二次函数y=ax2+2ax+3a−2(a是常数，且a≠0)的图象过点M(x1,−1)，N(x2,−1)，

∴△=4a2−12a2+4a=−8a2+4a>0，

∴0<a<12，

∵ax2+2ax+3a−1=0，

∴x1+x2=−2，x1x2=3a−1a，

∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x二、填空题：本题共8小题，共30分。13.抛物线y=x2−1【答案】(0,−1)

【解析】【分析】

本题考查了二次函数的性质，形如y=ax2+k的顶点坐标为(0,k)，据此可以直接求出顶点坐标．

【解答】

解：抛物线y=x2−1的顶点坐标为14.已知抛物线y=x2+2x+m与坐标轴有两个交点，则m的值为【答案】0或1．

【解析】解：当抛物线y=x2+2x+m经过原点，且与x轴有两个交点时，则该抛物线与坐标轴有两个交点，

∵原点(0,0)在抛物线y=x2+2x+m上，

∴m=0；

当抛物线y=x2+2x+m与x轴只有一个交点，且该交点不为原点时，则该抛物线与坐标轴有两个交点，

∵一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，

∴22−4m=0，

解得m=1，

综上所述，当抛物线y=x2+2x+m与坐标轴有两个交点时，则m的值为0或1，

故答案为：0或1．

分两种情况讨论，一是抛物线y=x2+2x+m经过原点，且与x轴有两个交点，将15.若抛物线y=x2−6x+a的顶点在x轴上，则【答案】9

【解析】解：由题可知抛物线与x轴只有一个交点，

∴Δ=36−4a=0，

解得a=9，

故答案为：9．

由题意可知抛物线与x轴只有一个交点，据此利用Δ=0求解即可．

本题主要考查了抛物线与x轴交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．16.将抛物线y=−2x2先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为

【答案】y=−2(x+1)2【解析】解：由题知，

将抛物线y=−2x2向左平移1个单位后，所得抛物线的解析式为y=−2(x+1)2，

再将所得抛物线向上平移3个单位后，所得抛物线的解析式为y=−2(x+1)2+3．

17.当−1≤x≤3时，二次函数y=x2−4x+5有最大值m，最小值n，则m−n的值为【答案】9

【解析】解：∵a>0，

∴抛物线开口向下，

∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，

∴函数的顶点坐标是(2,1)，

∴x=2时，函数有最小值为1，

∴当−1≤x≤2时，y随x的增大而减小，

x=−1时，函数有最大值为10，

∴2≤x≤3时，y随x的增大而增大，

x=3时，函数有最大值为2，

综上所述，当−1≤x≤3时，二次函数y=x2−4x+5有最大值m=10，最小值18.如图二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象相交于A，B【答案】−1<x<3

【解析】解：∵当−1<x<3时，y1的图象在y2的图象的下方，

∴不等式x2+bx+c<mx+n的解为−1<x<3．

故答案为：−1<x<3．

由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为−1和3，当−1<x<3时，y1的图象在y19.如图，点A是抛物线y=x2−4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点

【答案】(2,−1)或(2,2)

【解析】解：∵抛物线y=x2−4x对称轴为直线x=−−42=2，

∴设点A坐标为(2,m)，

如图，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2，

∴∠APO=∠AQO′=90°，

∴∠QAO′+∠AO′Q=90°，

∵∠QAO′+∠OAQ=90°，

∴∠AO′Q=∠OAQ，

又∠OAQ=∠AOP，

∴∠AO′Q=∠AOP，

在△AOP和△AO′Q中，

∵∠APO=∠AQO′∠AOP=∠AO′QAO=AO′，

∴△AOP≌△AO′Q(AAS)，

∴AP=AQ=2，PO=QO′=m，

则点O′坐标为(2+m,m−2)，

代入y=x2−4x得：m−2=(2+m)2−4(2+m)，

解得：m=−1或m=2，

∴点A坐标为(2,−1)或(2,2)，

故答案为：(2,−1)或(2,2)．

根据抛物线对称轴解析式设点A坐标为(2,m)，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2，证△AOP≌△AO′Q得AP=AQ=2、PO=QO′=m，则点O′坐标为20.定义：横坐标与纵坐标相等的点，称为“智慧点”，例如：(−3,−3)，(1,1)均为智慧点.则抛物线y=x2−x−3上所有“智慧点”的坐标为【答案】(−1,−1)和(3,3)．

【解析】解：由题知，

“智慧点”在直线y=x上，

则x2−x−3=x，

解得x1=−1，x2=3．

当x=−1时，y=−1；当x=3时，y=3，

所以抛物线y=x2−x−3上所有“智慧点”的坐标为(−1,−1)和(3,3)．

故答案为：(−1,−1)和(3,3)．

根据题意得出“智慧点”在直线y=x三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题8分)

已知关于x的二次函数的图象与x轴的交点为(−1,0)，(3,0)，与y轴交于点(0,3)．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)写出它的开口方向，对称轴以及顶点坐标．【答案】这个二次函数的表达式为y=−x2+2x+3;

该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为【解析】解：(1)设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0)，(3,0)，(0,3)，

∴a−b+c=09a+3b+c=0c=3，

解得a=−1b=2c=3，

∴这个二次函数的表达式为y=−x2+2x+3．

(2)该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,4)，

理由：∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，

∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,4)．

(1)设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将(−1,0)，(3,0)，22.(本小题8分)

已知二次函数y=x2+2mx+m2−1(m为常数)．

(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

【答案】解：(1)因为b2−4ac=4m2−4(m2−1)=4>0，

所以方程x2+2mx+m2−1=0有两个不相等的实数根，

所以该函数图像与x轴总有两个公共点；

(2)当y=0时，x2+2mx+m2−1=0，解这个方程，得x1=−m+1，x2=−m−1．

函数图像与x【解析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

(1)由b2−4ac=4m2−4(m2−1)=4>0，即可求解；

(2)求出函数图像与x轴的交点的坐标为(−m+1,0)，(−m−1,0)，因为函数图像与23.(本小题10分)

某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？

(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，求此时售价的范围．【答案】解：(1)y=300+30(60−x)=−30x+2100．

(2)设每星期利润为W元，

W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750．

∴x=55时，W最大值=6750．

答：每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．

(3)由题意(x−40)(−30x+2100)≥6480，

解得：52≤x≤58．

答：当售价x满足52≤x≤58时，该网店每星期能获得不低于【解析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，学会利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

(1)根据售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系即可得到结论．

(2)设每星期利润为W元，根据总利润=每件的利润×销售量，构建二次函数利用二次函数性质即可解决问题．

(3)由(2)得出关于利润的不等式，结合二次函数的性质先求出售价的范围，即可解决问题．2