2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第二十六章二次函数单元测试提升卷

2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册第二十六章二次函数单元测试提升卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是(

)A.y=2x2−5x B.y=6x+1 C.y=2.将抛物线y=x2−1的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是A.y=x2+2

x+2 B.y=x2+2x−23.抛物线y=2x2−3x−1与y轴的交点的坐标是A.(0,−2) B.(−2,0) C.(0,−1) D.(0,0)4.若二次函数y=ax2的图象经过点P(−2,4)，则该图象必经过点(

)A.(2,4) B.(−2,−4) C.(−4,2) D.(4,−2)5.如果抛物线y=(x+3)2+m与x轴的一个交点的坐标为(−1,0)，那么另一个交点的坐标为A.(−6,0) B.(−5,0) C.(−4,0) D.(−3,0)6.函数y=x2+2x−3(−2≤x≤2)的最大值和最小值分别是A.4和−3 B.−3和−4 C.5和−4 D.−1和−47.已知A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是二次函数y=−xA.y1<y2<y3 B.8.已知直线y=kx+b的图象如图所示，则抛物线y=x2+bx+k的图象可能是(

)A.

B.

C.

D.

9.表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…−2013…y…6−4−6−4…下列各选项中，正确的是(

)A.这个函数的最小值为−6 B.这个函数的图象开口向下

C.这个函数的图象与x轴无交点 D.当x>2时，y的值随x值的增大而增大10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象，有如下结论：

①abc<0；②2a+b=0；③3b−2c<0；④am2+bm≥a+b(m为实数)．A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

11.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为B(4,0)；直线AB的解析式为y2=mx+n(m≠0).下列结论：

①2a+b=0；

②abc>0；

③方程ax2+bx+c=mx+n有两个不相等的实数根；

④抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；

A.①② B.①③⑤ C.①④ D.①④⑤12.如图，抛物线m：y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A.ab=−2 B.ab=−3 C.ab=−4 D.ab=−5二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13.若抛物线y=x2−x+c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是

14.抛物线y=3x2−6x+5的对称轴为直线x=

15.飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y=60t−32t2.在飞机着陆滑行中，飞机从开始滑行到停止所需时间为

16.如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx>mx+n的解集为

17.在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x2+mx+2m(m为常数，m<0)，若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m=18.如图，抛物线y=x2−4x+3与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则△MAC周长的最小值是

．

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,−2)，(−2,13)．

(1)求a，b的值；

(2)若(5,y1)，(n,y2)是抛物线上不同的两点，且y2=12−y1，求n的值；

(3)将此抛物线沿x轴平移m(m>0)个单位长度，当自变量x的值满足−1≤x≤3时，与其对应的函数值y20.(本小题8分)

平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2−4a2x(a≠0)．

(1)当a=2时，

①直接写出抛物线的解析式；

②求抛物线的顶点坐标；

(2)在(1)的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象.当−5≤x≤0时，请分别求出变换后新二次函数的最大值与最小值．

(3)已知P(x1,y1)，Q(x2,y2)为抛物线上的两点，若x21.(本小题8分)

某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克40元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍.经市场调研发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若该经销商希望每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

(3)在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

22.(本小题8分)

如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线.建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔AD水平距离为x(单位：m)的地点，主索距桥面的竖直高度为y(单位：m)，则y与x之间近似满足函数关系y=a(x−h)2+k(a>0)．

小石通过测量获得y与x的几组数据如下：x(m)0482432404864y(m)1814.2511323618根据上述数据，解决以下问题：

(1)主索最低点P与桥面的距离PO为______m.

(2)求出主索抛物线的解析式y=a(x−h)2+k(a>0)；

(3)若与点P水平距离为12m处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．

23.(本小题8分)

如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

(1)求证：AC⊥BD；

(2)如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则筝形的面积=______cm2；

(3)已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD=6.试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？

24.(本小题8分)

已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点(x,y1)、(x,y2)关于点(x,x)对称，则称这两个函数为关于y=x的对称函数，例如，y1=12x和y2=32x为关于y=x的对称函数．

(1)判断：①y1=3x和y2=−x；②y1=x+1和y2=x−1；③y1=x2+1和y2=x2−1，其中为关于y=x答案解析一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是(

)A.y=2x2−5x B.y=6x+1 C.y=【答案】A

【解析】解：A、是二次函数，故此选项符合题意；

B、是一次函数，故此选项不符合题意；

C、是反比例函数，故此选项不符合题意；

D、是正比例函数，故此选项不符合题意；

故选：A．

形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)2.将抛物线y=x2−1的图象先向左平移1个单位，再向上平移A.y=x2+2

x+2 B.y=x2+2x−2【答案】A

【解析】解：将抛物线y=x2−1的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，

得到的抛物线的解析式是y=(x+1)2−1+2=x2+2x+1−1+2=3.抛物线y=2x2−3x−1与A.(0,−2) B.(−2,0) C.(0,−1) D.(0,0)【答案】C

【解析】解：由题意，∵抛物线为y=2x2−3x−1，

∴令x=0，则y=−1．

∴抛物线y=2x2−3x−1=0与y轴的交点为(0,−1)．

故选：C．

依据题意，由抛物线为y=2x2−3x−1，从而令x=0，则y=−14.若二次函数y=ax2的图象经过点P(−2,4)A.(2,4) B.(−2,−4) C.(−4,2) D.(4,−2)【答案】A

【解析】∵二次函数y=ax2图像的对称轴为y轴，∴若图像经过点P(−2,4)，则该图像必经过点(2,4).故选5.如果抛物线y=(x+3)2+m与x轴的一个交点的坐标为A.(−6,0) B.(−5,0) C.(−4,0) D.(−3,0)【答案】B

【解析】解：由抛物线y=(x+3)2+m知，该抛物线的对称轴是直线x=−3．

∵该抛物线与x轴的两交点一定关于对称轴对称，

∴另一个交点为(−5,0)．

故选：B．

根据二次函数图象具有对称性和抛物线y=(x+3)2+m与x轴的一个交点的坐标是(−1,0)，可以得到该抛物线与6.函数y=x2A.4和−3 B.−3和−4 C.5和−4 D.−1和−4【答案】C

【解析】解：∵y=x2+2x−3(−2≤x≤2)，

∴y=(x+1)2−4，

∴抛物线的对称轴为x=−1，x=−1时y有最小值−4，

∵−2≤x≤2，

∴x=2时，y=5是最大值．

∴函数的最大值为5，最小值为−4．

故选：7.已知A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是二次函数A.y1<y2<y3 B.【答案】D

【解析】解：因为二次函数解析式为y=−x2+2x+c，

所以抛物线的对称轴为直线x=1，且开口向下，

则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小．

因为1−(−1)=2，2−1=1，4−1=3，且3>2>1，

所以y3<y1<y2．

故选：D．8.已知直线y=kx+b的图象如图所示，则抛物线y=x2+bx+kA.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】解：∵直线y=kx+b的图象过第一、二、四象限，

∴k<0，b>0．

由k<0，可知抛物线y=x2+bx+k与y轴的交点在y轴的负半轴，排除A，D两个答案；

又∵抛物线的对称轴x=−b2<0，排除C答案．

∴故选B．

先根据一次函数的图象判断k、9.表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…−2013…y…6−4−6−4…下列各选项中，正确的是(

)A.这个函数的最小值为−6 B.这个函数的图象开口向下

C.这个函数的图象与x轴无交点 D.当x>2时，y的值随x值的增大而增大【答案】D

【解析】解：∵抛物线经过点(0,−4)，(3,−4)，

∴抛物线对称轴为直线x=32，

∵抛物线经过点(−2,6)，

∴当x<32时，y随x增大而减小，

∴抛物线开口向上，

∴x>32时，y随x增大而增大，

∴当x>2时，y随x增大而增大，

故选：D．

根据抛物线经过点(0,−4)，(3,−4)可得抛物线对称轴为直线10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象，有如下结论：

①abc<0；②2a+b=0；③3b−2c<0；④am2+bm≥a+b(m为实数A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【答案】C

【解析】解：①∵对称轴在y轴右侧，

∴a、b异号，

∴ab<0，

∵c<0，

∴abc>0，

故①错误；

②∵对称轴x=−b2a=1，

∴2a+b=0；

故②正确；

③∵2a+b=0，

∴a=−12b，

∵当x=−1时，y=a−b+c>0，

∴−12b−b+c>0，

∴3b−2c<0，

故③正确；

④根据图象知，当x=1时，y有最小值；

当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，

所以am2+bm≥a+b(m为实数)．

故④正确．

本题正确的结论有：②③④，3个；

故选：C．

由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定2a+b=0；当x=−1时，y=a−b+c；然后由图象顶点坐标确定am2+bm与a+b的大小关系．

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时11.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为B(4,0)；直线AB的解析式为y2=mx+n(m≠0).下列结论：

①2a+b=0；

②abc>0；

③方程ax2+bx+c=mx+n有两个不相等的实数根；

④抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)

A.①② B.①③⑤ C.①④ D.①④⑤【答案】B

【解析】【试题解析】

【分析】

本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，所以中考常考题型．

利用函数图象的性质即可求解．

【解答】

解：①因为抛物线对称轴是直线x=1，则−b2a=1，2a+b=0，故①正确，符合题意；

②∵抛物线开口向下，故a<0，

∵对称轴在y轴右侧，故b>0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，故c>0，

∴abc<0，

故②错误，不符合题意；

③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程ax2+bx+c=mx+n有两个不相等的实数根，正确，符合题意；

④因为抛物线对称轴是：x=1，B(4,0)，

所以抛物线与x轴的另一个交点是(−2,0)，

故④错误，不符合题意；

⑤由图象得：当1<x<4时，有y2<y1，故12.如图，抛物线m：y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.若四边形AA.ab=−2 B.ab=−3 C.ab=−4 D.ab=−5【答案】B

【解析】解：令x=0，得：y=b.∴C(0,b)．

令y=0，得：ax2+b=0，∴x=±−ba，∴A(−−ba,0)，B(−ba,0)，

∴AB=2−ba，BC=OC2+OB2=b2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13.若抛物线y=x2−x+c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是【答案】c>1【解析】解：由题意，∵抛物线y=x2−x+c(c是常数)与x轴没有交点，

∴Δ=1−4c<0．

∴c>14．

故答案为：c>14．

依据题意，由抛物线y=x2−x+c(c是常数14.抛物线y=3x2−6x+5的对称轴为直线x=【答案】1

【解析】解：由题意，∵抛物线为y=3x2−6x+5，

∴抛物线的对称轴是直线x=−−62×3=1．

故答案为：1．

依据题意，由抛物线为15.飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y=60t−32t2.在飞机着陆滑行中，飞机从开始滑行到停止所需时间为【答案】20

【解析】解：∵y=60t−32t2=−32(t−20)2+600，

∴t=20时，y取最大值，

即飞机从开始滑行到停止所需时间为20s，

故答案为：2016.如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx>mx+n

【答案】−3<x<1

【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，B(1,−2)，

∴关于x的不等式ax2+bx>mx+n的解集为−3<x<1，

故答案为：−3<x<1．

根据17.在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x2+mx+2m(m为常数，m<0)，若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12【答案】−2−2【解析】【分析】

将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线x=m+2与抛物线交点为最低点，进而求解．

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．

【解答】

解：∵y=x2+mx+2m=(x+m2)2−m24+2m，

∴抛物线开口向上，顶点坐标为(−m2,−m24+2m)，

当m<−m2<m+2时，−43<m<0，

−m218.如图，抛物线y=x2−4x+3与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则△MAC周长的最小值是

【答案】3【解析】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，此时MA=MB，△MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，

令y=x2−4x+3=0，解得x=1或3，

令x=0，则y=3，

∴点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,3)，

∴AC=12+32=10，BC=32+32=32

∴此时△MAC的周长=CA+BC=32+10，三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,−2)，(−2,13)．

(1)求a，b的值；

(2)若(5,y1)，(n,y2)是抛物线上不同的两点，且y2=12−y1，求n的值；

(3)将此抛物线沿x【答案】解：(1)把点(1,−2)，(−2,13)代入y=ax2+bx+1得，a+b+1=−24a−2b+1=13，

解得：a=1b=−4；

(2)由(1)得函数解析式为y=x2−4x+1，

把x=5代入y=x2−4x+1得，y1=6，

∴y2=12−y1=6，

∵y1=y2，且对称轴为直线x=2，

∴n=4−5=−1；

(3)∵y=x2−4x+1=(x−2)2−3，

∴抛物线开口向上，的对称轴为直线x=2，

∴抛物线在x=2时有最小值为−3，

①向左平移m个单位，即当x=−1时，存在与其对应的函数值y的最小值6，

∴6=(x−2+m)2−3，

将x=−1代入得：m2−6m+9−3=6，

∴m=6或m=0，

∵m>0，

∴m=6；

②向右平移m【解析】(1)把点(1,−2)，(−2,13)代入y=ax2+bx+1解方程组即可得到结论；

(2)把x=5代入y=x2−4x+1得到y1=6，于是得到y1=y2，即可得到结论；

20.(本小题8分)

平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2−4a2x(a≠0)．

(1)当a=2时，

①直接写出抛物线的解析式；

②求抛物线的顶点坐标；

(2)在(1)的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象.当−5≤x≤0时，请分别求出变换后新二次函数的最大值与最小值．

(3)已知P(x1,y1)，【答案】①y=2x2−16x；②(4,−32)；

最大值为0，最小值为−32；

y2>y1，理由：

∵抛物线y=ax2−4a2x(a≠0)，

∴抛物线的对称轴为x=−b2a=−−4a22a=2a，

∵x1<2a，x2>2a，x1+x2=5a，

当a>0时，P(x1,y1)到对称轴的距离为2a−x1，Q(x2【解析】(1)①当a=2时，抛物线的解析式为y=2x2−16x；

②∵y=2x2−16x=2(x−4)2−32，

∴抛物线的顶点坐标为(4,−32)；

(2)由条件可知原抛物线关于y轴对称的解析式为y=2(x+4)2−32，

∵a=2>0，对称轴为直线x=−4，−5≤x≤0，

∴x=−4，ymin=−32，

∴x=0，ymax=2×42−32=0；

(3)y2>y1，理由如下：

∵抛物线y=ax2−4a2x(a≠0)，

∴抛物线的对称轴为x=−b2a=−−4a22a=2a，

∵x1<2a，x2>2a，x1+x2=5a，

当a>0时，P(x1,y1)到对称轴的距离为2a−x1，Q(x2,y2)到对称轴的距离为x2−2a，

∴x2−2a−(2a−x1)=5a−4a=a>0，

∴Q(x2,y21.(本小题8分)

某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克40元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍.经市场调研发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若该经销商希望每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

(3)在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】y=−10x+800；

销售单价为50元或70元；

销售单价为60元时，利润最大，最大利润为4000元

【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，

∵该函数的图象过(50,300)，(60,200)，

∴50k+b=30060k+b=200，

解得k=−10b=800，

∴y与x之间的函数关系式为y=−10x+800．

(2)由题意，设利润为w，则w=(x−40)(−10x+800)=−10x2+1200x−32000，

∴当w=3000时，−10x2+1200x−32000=3000，

解得x1=50，x2=70，

∴销售单价为50元或70元．

(3)由(2)得到w=−10x2+1200x−32000=−10(x−60)2+4000，

∵−10<0，

∴当x=60时，w有最大值，最大值为w=4000，

∴当销售单价为60元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是4000元．

(1)运用待定系数法求解即可，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将点(50,300)22.(本小题8分)

如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线.建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔AD水平距离为x(单位：m)的地点，主索距桥面的竖直高度为y(单位：m)，则y与x之间近似满足函数关系y=a(x−h)2+k(a>0)．

小石通过测量获得y与xx(m)0482432404864y(m)1814.2511323618根据上述数据，解决以下问题：

(1)主索最低点P与桥面的距离PO为______m.

(2)求出主索抛物线的解析式y=a(x−h)2+k(a>0)；

(3)若与点P【答案】2；

y=164(x−32)2+2；【解析】解：(1)由表格数据知，抛物线的对称轴为x=12(24+40)=32，

当x=32时，y=2，即PO=2(m)，

故答案为：2；

(2)抛物线的顶点坐标为(32,2)，且过(0,18)，

则抛物线的表达式为：y=a(x−h)2+k=a(x−32)2+2，

则18=a(0−32)2+2，解得：a=164，

故抛物线的表达式为：y=164(x−32)2+2；

(3)设点Q在P点左侧12m处，则xQ=32−12=20，

当x=20时，y=164(20−32)2+2=174，

则这两条吊索的总长度为：2×1723.(本小题8分)

如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

(1)求证：AC⊥BD；

(2)如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则筝形的面积=____