高考数学复习第1篇专题5第1讲

第一篇第一篇核心专题突破、素养能力提升专题五解析几何三年考情题型单选题多选题填空题解答题年份题号123456789101112131415161718192021222023Ⅰ

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2024

单选题多选题填空题解答题

题号12345678910111213141516171819Ⅰ

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√2025单选题多选题填空题解答题

题号12345678910111213141516171819Ⅰ

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Ⅱ

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第1讲直线、圆、圆锥曲线结构框架明体系真题再现明考向考点突破提能力课时跟踪训练考情分析明方向考情分析明方向1．考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题．2．考查圆锥曲线的定义、标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题，难度中档或较难，热点是椭圆、双曲线的离心率，双曲线的渐近线等问题．结构框架明体系真题再现明考向【答案】

D【答案】

B3．(2025·新课标全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(

)A．3 B．4C．5 D．6【答案】

C4．(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(

)【答案】

A【答案】

ACD【答案】

ACD【答案】

ABD8．(多选)(2024·新课标全国Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则(

)A．l与⊙A相切

C．当|PB|＝2时，PA⊥AB

D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个【答案】

ABDΔ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．9．(2023·新课标全国Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝(

)【答案】

B考点突破提能力考点一直线与圆●核心知识1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．与圆的切线有关的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上的一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上的一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)过圆x2＋y2＝r2外的一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.●方法技巧1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径作比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心之间的距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线长的问题，可先求出该点与圆心之间的距离，再结合半径利用勾股定理计算．2．直线截圆所得弦长的求解方法提醒：求直线方程，特别是研究含参数的直线方程问题时，一定要对直线斜率的存在性进行讨论．【答案】

(1)C

(2)B

(3)C●跟踪训练1．(2025·海淀区校级模拟)“a＞0”是“直线x－ay＋2a－1＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝1相交”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件【答案】

B【答案】

C考点二圆锥曲线的定义和标准方程●方法技巧圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．(3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题．(4)圆锥曲线基本问题考查的一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去．●典例研析2．(1)(2025·黄冈二模)设abc≠0，“曲线ax2＋by2＝c为椭圆”是“ac＞0”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件【答案】

(1)A

(2)A

(3)D

(4)D【答案】

B【答案】

A【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，而AB的中点横坐标为4，即x1＋x2＝8，由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋p＝10，所以8＋p＝10，即p＝2.故选A．考点三圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法(2)建立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，然后求得椭圆、双曲线的离心率(离心率范围)．建立关于a，b，c的方程或不等式时，要充分利用椭圆、双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等．2.双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法①若已知双曲线的标准方程，则把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得渐近线方程；【答案】

(1)C

(2)D

(3)B【答案】

A6．(多选)(2025·喀什市模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P(x0，y0)在C上，则(

)A．抛物线C的准线方程为x＝2

B．F的坐标为(1,0)C．若y0＝2，则|PF|＝2 D．|PF|≥2【答案】

BC考点四直线与圆锥曲线的综合问题●方法技巧1．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤(1)设线：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋b(或斜率不为零时，设x＝my＋n)．(2)设点：设直线与圆锥曲线的两个交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．2.弦中点问题的解决方法(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．提醒：斜率恰好等于双曲线渐近线的斜率的直线l可能与双曲线相交，但交点只有一个．与抛物线的对称轴平行或重合的直线与抛物线只有一个公共点，故直线与双曲线(抛物线)有一个公共点是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件．【答案】

(1)D

(2)C

(3)A【答案】

B【答案】

ABC课时跟踪训练【答案】

C【答案】

A【答案】

D【答案】

C【答案】

C【解析】作出示意图如下：【答案】

B7．(2025·安顺校级模拟)已知A(－5,1)，B(1,1)，C(1，－2)三点，点P在圆x2＋y2＝1上运动，则|PA|2＋2|PB|2＋3|PC|2的最大值与最小值之和为(

)A．96 B．98C．100 D．102【答案】

D【解析】由题意设P(cosθ，sinθ)，则|PA|2＋2|PB|2＋3|PC|2＝(cosθ＋5)2＋(sinθ－1)2＋2(cosθ－1)2＋2(sinθ－1)2＋3(cosθ－1)2＋3(sinθ＋2)2＝6cos2θ＋6sin2θ＋6sinθ＋45＝51＋6sinθ，因为－6≤6sinθ≤6，所以原式的最大值为57，最小值为45，所以最大值与最小值的和为102.故选D.【答案】

B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．(2025·鄢陵县三模)已知点P(4m＋3，－3m－4)，点Q在圆C：(x－1)2＋y2＝1上，则(

)A．点P在直线3x＋4y＋7＝0上B．点P可能在圆C上C．|PQ|的最小值为1D．圆C上有2个点到点P的距离为1