2026年初升高数学暑假衔接讲义：板块二 集合与常用逻辑用语 教师版 （A版）

2026年高一暑假讲义

集合的概念与表示

题型1判断是否构成集合（确定性）题型5利用集合的互异性求参数

题型2元素与集合的关系题型6利用集合相等求参数

题型3用列举法表示集合题型7利用集合中的元素个数求参数

题型4用描述法表示集合

知识点1元素与集合的概念及表示

1、元素与集合的概念及表示

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a,b,c…表示．

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A,B,C…表示．

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．

2、元素的特性

(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在

不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．

(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记

为“互异性”．

(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．

知识点2元素与集合的关系

属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA．

不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA．

知识点3常用的数集及其记法

常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

数学符合NN或NZQR

知识点4列举法与描述法

62

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1、列举法

(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

注：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．

(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．

2、描述法

(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合

表示为{xA|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．

(1)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

题型1判断是否构成集合（确定性）

例1、下列对象能构成集合的是（）

A．我国近代著名的数学家B．2的所有近似值

C．所有的欧盟成员国D．2025年全国高考数学试题中所有难题

【答案】C

【详解】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合；

C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合.

故选：C.

【变式训练1】以下四组对象，能构成集合的是（）.

A．最大的正实数B．最小的整数

C．平方等于1的实数D．最接近1的实数

【答案】C

【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误；

对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误；

对于C，平方等于1的实数为1，可以构成集合，故C正确；

对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误；

故选：C.

【变式训练2】(多选)下列各组对象能组成集合的是（）

A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题

63

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1

C．被3除余2的所有整数D．函数y图象上所有的点

x

【答案】ACD

【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；

而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．故选：ACD

故选：ACD.

题型2元素与集合的关系

2

例2、给出下列6个关系：①R，②3Z，③0N，④4N，⑤πQ，⑥2Z．其

2

中正确命题的个数为（）

A．4B．2C．3D．5

【答案】A

22

【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以R，所以①正确；

22

对于②，因为3是无理数，所以3Z，所以②错误；

对于③，因为0不是正整数，所以0N，所以③正确；

对于④，因为42N，所以④正确；

对于⑤，因为π是无理数，所以πQ，所以⑤正确；

对于⑥，因为22Z，所以⑥错误．

故选：A．

2

【变式训练3】已知Ax,yyx,xR，则（）

A．1AB．1AC．1,1AD．1,1A

【答案】C

xy0x1x2

【详解】由2，解得或，

xy2y1y2

xy0

所以方程组2解集是1,1,2,2.

xy2

故选：C.

3

【变式训练4】给出下列关系：①2N*；②0Z；③2Q；④R；⑤1.21Q.其中错误

2

的个数是（）

64

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A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【详解】对于命题①，22N*，所以命题①错误，

对于命题②，0Z，所以命题②错误，

对于命题③，因为2是无理数，2Q，所以命题③错误，

3

对于命题④，因为R，所以命题④正确，

2

对于命题⑤，因为1.21是无限循环小数，是有理数，即1.21Q，所以命题⑤正确，

故选：C.

【变式训练5】已知集合M0,1，则集合Nx,yxM,yM中所含元素的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【详解】因为集合M0,1，Nx,yxM,yM，

所以N0,0,0,1,1,0,1,1,

故选：D

【变式训练6】已知集合Ax2mx30,mR，若1A且3A，则实数m的取值范围是（）

131331

A．,B．,C．,D．,

222222

【答案】A

2m30,

【详解】由1A且3A，得

6m30,

13

解得m，

22

故选：A．

题型3用列举法表示集合

例3、用列举法表示集合x|2x2,xN.

【答案】0,1,2

【详解】x|2x2,xN0,1,2.

故答案为：0,1,2

3

【变式训练7】已知集合AxNZ，则用列举法表示A（）

x1

65

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A．2,0,1,2,4B．2,0,2,4C．0,2,4D．2,4

【答案】C

3

【详解】由Z得，x11,3，即x0,2,4,2，

x1

又xN，∴x0,2,4

故A0,2,4.

故选：C.

【变式训练8】用列举法表示下列集合：

(1)大于1且小于6的整数；

(2)Ax(x1)(x2)0；

(3)BxZ32x13．

(4){x,y|0x2,0y2,x,yZ}．

【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为2,3,4,5；

（2）Ax(x1)(x2)01,2

（3）BxZ32x13xZ1x20,1

（4）{x,y|0x2,0y2,x,yZ}0,0,0,1,1,0,1,1,2,0,2,1

题型4用描述法表示集合

1111

例4、对集合1,,,,用描述法来表示，其中正确的是（）

2345

11

A．x|x,nZ,且n5B．x|x,nZ,且n5

nn

11

C．x|x,nN,且n5D．x|x,nN,且n5

nn

【答案】D

1111

【详解】集合1,,,,是不超过5的正整数的倒数形成的集合，

2345

对于AB，集合AB中的x有负数，AB不是；

1

对于C，集合中没有，C不是；

5

1111

对于D，满足对集合1,,,,的描述，D是.

2345

66

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故选：D

【变式训练9】已知集合M1,5,9,13,17，则M（）

A．xx2n1,nN,n8B．xx2n1,nN,n9

C．xx4n1,nN,n4D．xx4n3,nN,n5

【答案】C

【详解】因为集合M1,5,9,13,17，

根据集合中5个元素的特点知x14n，nN,n4.

所以xx4n1,nN,n4，

故选：C.

【变式训练10】用描述法表示下列集合：

(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；

(2)抛物线yx24上的点组成的集合；

2

(3)使函数y=有意义的实数x组成的集合．

x-1

【答案】(1){(x,y)|xR,y0}；

(2)x,y|yx24；

(3){x|x1}.

【详解】（1）由x轴上的点的特征为xR,y0，故集合为{(x,y)|xR,y0}；

（2）由点在抛物线上，故集合为x,y|yx24；

2

（3）由y=，则x10x1，故集合为{x|x1}.

x-1

【变式训练11】(多选)下列各组中M,P表示不同集合的是（）

A．M3,1，P3,1

B．M3,1，P1,3

C．Myyx21,xR，Pxxt21,tR

D．Myyx21,xR，Px,yyx21,xR

【答案】ABD

【详解】选项A中，M3,1是数集，P3,1是点集，二者不是同一集合,故MP；

选项B中，3,1与1,3表示不同的点，故MP；

67

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选项C中，Myyx21,xR1,)，Pxxt21,tR1,)，故MP；

选项D中，M是二次函数yx21,xR的所有y组成的集合，而集合P是二次函数yx21,xR

图象上所有点组成的集合，故MP.

故选：ABD.

题型5利用集合的互异性求参数

例5、已知集合Am2,2m2m,若3A，则m的值为（）

333

A．1B．C．1或D．1或

222

【答案】B

【详解】因为Am2,2m2m,3A,

所以m23或2m2m3，

当m23时，m1，此时，m22m2m3，故舍去：

3

当2m2m3时，解得m或m1（舍去），

2

3

综上m．

2

故选：B

【变式训练12】（多选）若集合Aa22a,3a2,8，则实数a的取值可以是（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】BD

【详解】集合Aa22a,3a2,8，则a22a8,3a28,a22a3a2，

解得a4,a2,a1，可知BD符合题意，

故选：BD.

2

【变式训练13】已知集合Aa3,2a1,a1，集合B{0,1,x}.

(1)若3A，求a的值；

(2)是否存在a和x的值使得AB，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2；(2)不存在，理由见解析

【详解】（1）∵3A，a213

当a33，即a0时，此时2a11,a211，A3,1,1不成立，

68

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当2a13，即a2，此时a35,a215，A5,3,5成立，

∴a2；

（2）由题意可得，a210，

若a30，则a3,A0,7,10B，不符合题意，

175

若2a10，则a,A0,,B，不符合题意，

224

故不存在实数a和x的值，使得AB.

题型6利用集合相等求参数

2

例6、已知集合M1,2m1,N1,m，且M=N，则m（）

A．1B．1C．1D．0

【答案】A

2

【详解】因为集合M1,2m1,N1,m，且M=N，

2m11

则2，解得m1.

m1

故选：A.

n

【变式训练14】已知m,nR，集合A1,mn,m,B0,,n，且AB，则mn.

m

【答案】1

n

【详解】因为A1,mn,m,B0,,n，显然m0，

m

n

则mn0，即mn，可得1，

m

此时A1,0,m,B0,1,n，可得m1,n1，所以mn1.

故答案为：1.

【变式训练15】（多选）已知集合xmx22x10n，则mn的值可能为（）

1

A．0B．

2

C．1D．2

【答案】BD

2

【详解】∵集合xmx2x10n，只有1个元素，

69

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m0m0

∴1或44m0，

n

2n1

m0

m1

解得1或，

nn1

2

1

∴mn或mn2

2

故选：BD.

b

【变式训练16】含有3个实数的集合可表示为a，，1，又可表示为a2,ab,0，则

a

a2024b2024．

【答案】1

b

【详解】因为有3个实数的集合可表示为a,,1，又可表示为a2,ab,0，

a

b

所以a0，0，即b0，

a

则a21，即a1或a1，

当a1时，集合为{1,0,1}，{1,1,0}与集合元素的互异性矛盾，

故a1，b0，

a2024b20241.

故答案为：1．

题型7利用集合中的元素个数求参数

例7、若集合xbx24x10只含有一个元素，则实数b的取值范围为．

【答案】0,4

1

【详解】当b0时，x|4x10，符合题意.

4

当b0时，164b0,b4.

综上所述，b的取值范围是0,4.

故答案为：0,4

【变式训练17】若集合Ax|kx24x40中有2个元素，则k的取值范围是.

【答案】(,0)(0,1)

【详解】因为集合Ax|kx24x40中有2个元素，

70

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k0

所以，解得k1且k0，所以k的取值范围是(,0)(0,1)，

1616k0

故答案为：(,0)(0,1).

2

【变式训练18】（多选）若集合Ax|k1xk2x30有且只有一个元素，则实数k的值

可以为（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】AD

【详解】当k10，即k1时，A1，符合题意；

当k10，即k1时，若集合A只有一个元素，

2

由一元二次方程根的判别式k24k130，解得k4.

综上实数k的值可以为1，4.

故选：AD

一、单选题

1、设集合A1,2,4，集合Bx|xab,aA,bA，则集合B中有（）个元素

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【详解】因为集合A1,2,4，集合Bx|xab,aA,bA，

所以x2,3,4,5,6,8，

所以B2,3,4,5,6,8，

即集合B中有6个元素.

故选：C.

2、已知集合A0,1,2，则集合Bx,y∣xy,xA,yA中元素的个数是（）

A．1B．3C．6D．9

【答案】C

【详解】由题，可得B0,0,0,1,0,2,1,1,1,2,2,2，

所以集合B含有6个元素.

故选：C.

3、以下选项中，是集合A{x,y∣2xy10}的元素的是（）

A．{2,2}B．2,2C．{1,1}D．(1,-1)

71

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【答案】D

【详解】集合A的元素表示的是平面直角坐标系中一条直线上的点（数对），

选项A和选项C表示的都是只有一个点作为元素的集合，可以首先排除；

再将点的坐标代入到集合A的直线方程当中，可知2,2不在直线上，1,1在直线上.

故选D．

4、集合A{xZ∣64x26}，则下列表示正确的是（）

A．1AB．0A

C．1AD．1A

【答案】B

【详解】A{xZ∣64x26}0,1，所以0A,1A，

故A，C，D错误，B正确

故选：B.

5、若3a3,2a1,a21，则a的值为（）

A．－1B．0C．1D．2

【答案】A

【详解】因为3a3,2a1,a21，

所以a33，或2a13，或a213，

当a33时，得a0，此时集合为3,1,1，不合题意，舍去，

当2a13时，得a1，此时集合为4,3,0，

当a213时，得a22无解，

综上，a1.

故选：A

二、多选题

6、一次函数y2x3与yx2的图象的交点组成的集合是（）

A．1,1B．1,1

y2x3x1

C．x,yD．

yx2y1

【答案】BC

y2x3x1

【详解】解方程组，解得，

yx2y1

故一次函数y2x3与yx2的图象的交点组成的集合是：

y2x3

x,y或1,1.

yx2

72

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故选：BC

三、填空题

xkx

7、已知集合a{x|}恰有一个元素，则k的取值集合为

x2x22x

1

【答案】,0,6

4

xkxx22x0

【详解】方程化为：，

22

x2x2xxxk0

由已知集合只有一个元素，

1

①14k0，解得k，

4

1

此时方程的解为x，符合题意；

2

xkxxx

②x0是方程x2xk0的一个根，此时k0，方程即为，

x2x22xx2x22x

此时方程的解为x1，符合题意；

xkxx6x

③x2是方程x2xk0的一个根，此时k6，方程即为，

x2x22xx2x22x

此时方程的解为x3，符合题意；

1

所以k的取值集合为,0,6.

4

1

故答案为：,0,6

4

8、已知集合A{x|x(x1)(x1)0}，则A

【答案】{1,0,1}

【详解】因为x(x1)(x1)0x0或x1或x1，所以A{1,0,1}.

故答案为：{1,0,1}

四、解答题

9、选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．

(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A；

(2)小于8的质数组成的集合C；

(3)方程2x2x30的实数根组成的集合D；

(4)函数y2x2x图象上的所有点组成的集合E；

(5)不等式2x35的解组成的集合F．

【答案】(1)A{x|1x70,xZ}，是有限集

(2)C{2,3,5,7}，是有限集

73

2026年高一暑假讲义

3

(3)D1,，是有限集

2

(4)Ex,y|y2x2x，是无限集

(5)F{x|x4}，是无限集

【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则1x70,xZ，故A{x|1x70,xZ}，是有限

集；

（2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以C{2,3,5,7}，是有限集．

33

（3）方程2x2x30的实数根为1、，所以D1,，是有限集．

22

（4）由y2x2x表示坐标系中的曲线，故Ex,y|y2x2x，是无限集．

（5）由2x35，得x4，所以F{x|x4}，是无限集．

10、已知集合Aa2,2a25a,12，且3A，求a的值.

3

【答案】

2

【详解】由于3A，故a23或2a25a3，

3

解得a1或a.

2

当a1时，A3,3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去；

37

当a时，A,3,12，满足题意.

22

3

故a.

2

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集合间的基本关系

题型1判断集合的包含关系题型5空集的概念及性质应用

题型2求集合子集、真子集题型6根据集合的包含关系求参数

题型3子集、真子集的个数题型7根据两个集合相等求参数

题型4判断两个集合是否相等

知识点1子集、真子集与Venn图

1、子集

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个

集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A包含于B”

（或“B包含A”）。

2、Venn图

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Venn图。则上述集合A和

集合B的包含关系，可以用如下Venn图表示：

注：

①子集的定义可以理解为：若任意的xA，都有xB，则AB.这可以作为证明AB的方法；

②规定：空集是任何集合的子集；

③任何一个集合是它本身的子集，记作AA；

④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC；

⑤集合A是集合B的子集不．能．理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可

能是空集，也可能是集合B．

⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；

“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．

3、真子集

如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作（或

BA）.读作“A真包含于B”或“B真包含A”.

注：

①空集是任何非空集合的真子集；

②对于集合A，B，C，AB，且BC，则AC；

75

2026年高一暑假讲义

③若AB，则A与B有两种可能的关系：即或AB；

知识点2空集

1、定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；

2、空集的性质：

①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即A；

③空集是任何非空集合的真子。

④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；

知识点3集合相等

如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集

合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB。

注：

①若AB且BA，则AB；反之，如果AB，则AB且BA。这就给出了我们证明

两个集合全等的方法，即预证AB，只需证AB且BA都成立即可；

②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；

③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合

的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。

④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；

⑤集合中的关系与实数中的结论类比

实数集合

ab包含两层含义：ab，或abAB包含两层含义：AB，或

若ab，且ab，则ab若AB，且AB，则A＝B

若ab，bc，则ac若AB，BC，则AC

题型1判断集合的包含关系

例1、下列各式正确的是（）

A．1xx2B．0xx2

C．0D．0

【答案】D

76

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【详解】对于A选项，1xx2，A错；

对于B选项，0xx2，B错；

对于C选项，0，C错；

对于D选项，0，D对.

故选：D.

【变式训练1】（多选）若集合AxN∣2x103x，则下列结论正确的是（）

A．22AB．8AC．4AD．0A

【答案】AD

【详解】AxN∣2x103xxN∣x100,1,2,3,4,5,6,7,8,9，

所以22A，0A，故AD正确；

所以8A，4A，故BC错误.

故选：AD.

【变式训练2】若集合A{xN|x2025}，a42，则下面结论中正确的是（）

A．aAB．aAC．aAD．aA

【答案】D

【详解】由a42，得a是无理数，由A{xN|x2025}，得集合A是不超过45的自然数形

成的集合，

因此aA，集合{a}不包含于集合A，D正确，A错误，由元素、集合间关系知BC错误.

故选：D

k1k1

【变式训练3】已知集合Mxx,kZ,Nxx,kZ，则（）

2442

A．MNB．M=NC．MND．M与N的关系不确定

【答案】A

2k1k2

【详解】∵Mxx,kZ,Nxx,kZ，

44

k2是整数，2k1是奇数，∴MN.

故选：A．

题型2求集合子集、真子集

例2、（多选）下列是集合A1,2的子集的为（）

A．1B．2C．D．

【答案】ABD

77

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【详解】集合A1,2的子集为1,2,1,2,．

故选：ABD

【变式训练】（多选）下列各个选项中，满足xx22x30A1,0,1,3的集合有（）

4⫋A

A．{1,3}B．{1,1}C．{1,0,3}D．{1,0,1,3}

【答案】AC

【详解】因为x22x3x3x10，即有1,3A1,0,1,3，

所以A中定有1和3，故排除B，又因为A是1,0,1,3的真子集，故排除D．

故选：AC.

【变式训练】（多选）已知集合M满足1,2M1,2,3,4，则这样的集合M可能为（）

5⫋

A．1,2B．1,2,3C．1,2,4D．1,2,3,4

【答案】ABC

【详解】因为1,2M1,2,3,4，故M1,2或1,2,3或1,2,4，

⫋

ABC正确，D错误.

故选：ABC

【变式训练6】已知非空集合M满足:对任意xM，总有x2M，且xM.若M{0,1,2,3,4,5}，

则满足条件的M的个数是（）

A．11B．12C．15D．16

【答案】A

【详解】当M中有元素0时，020M,00M，

当M中有元素1时，121M,11M，

所以0M,1M，

所以集合M是集合2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，

故满足题意的集合M有2,3,4,5,2,3,2,5,3,4,3,5,4,5,2,3,5，3,4,5共11个.

故选：A.

78

2026年高一暑假讲义

题型3子集、真子集的个数

2

例3、集合AxZ∣x2的真子集个数为．

【答案】7

【详解】AxZ∣x221,0,1,

故真子集的个数为2317，

故答案为：7

5

【变式训练7】已知集合M{x|1,xN*}，则M的非空子集的个数是.

x

【答案】15

【详解】依题意，M{1,2,3,4}，所以M的非空子集的个数是24115.

故答案为：15

12

【变式训练8】已知集合AxxN,N，则集合A的真子集个数为（）

6x

A．32B．4C．5D．31

【答案】D

12

【详解】∵N

6x

∴6x为12的正约数，又xN，

∴x5，4，3，2，0

∴集合A{0,2,3,4,5}，

∴集合A的真子集个数为31，

故选：D.

111

【变式训练9】若xA,则A,就称A是伙伴关系集合，集合M1,0,,,1,2,3,4的所有非空

x43

子集中，具有伙伴关系的集合的个数为

A．15B．16C．32D．256

79

2026年高一暑假讲义

【答案】A

【详解】具有伙伴关系的集合中有1个元素时：1、1共2个

11

具有伙伴关系的集合中有2个元素时：1，1、,3、,4共3个

34

1111

具有伙伴关系的集合中有3个元素时：1，,3、1，,3、1，,41,,4共4个

3344

1111

具有伙伴关系的集合中有4个元素时：1，1，,3、1,1,,4、,3，,4共3个

3434

1111

具有伙伴关系的集合中有5个元素时：1，,3，,4、1,,3，,4共2个

3434

11

具有伙伴关系的集合中有6个元素时：1,1，,3，,4共1个

34

则共有2+3+4+3+2+1=15个

故选A

yx1

【变式训练10】若集合Ax,y有且仅有2个子集，则实数k的最小值

2

yk2x2k1x

为（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】A

yx1

【详解】由题意知，结合Ax,y|2有且仅有2个子集，

yk2x2k1x

yx1

即方程组2只有一个解，

yk2x2k1x

即方程k2x22kx10只有一个解，

13

当k2时，A,，满足条件；

44

当k2时，4k24k20，解得k1或k2，

综上，实数k的最小值为2．

故选：A.

2

【变式训练11】设集合AxR|x4x0，BxR|x22a1xa210,aR．

(1)若集合B有且仅有两个子集，求实数a的取值范围；

(2)若BA，求实数a的取值范围．