2025-2026学年北京市昌平区初二（下）期末考试数学试卷（含答案）

第第页2026北京昌平初二（下）期末数学（第一组）本试卷共8页，共100分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）1.我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.杨辉三角B.割圆术C.赵爽弦图 D.洛书2.下列各曲线中，能表示是的函数的是（）A.B.C. D.3.已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A. B. C. D.4.一元二次方程根的情况是（）A.有两个相等的根 B.没有根C.无法确定 D.有两个不相等的根5.小田在整理一组数据时，列式如下：，则下列结论不正确的是（）A.众数是5 B.方差是1.5 C. D.离差平方和是66.我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（）A. B. C. D.7.如图，在中，，则的长为（）A. B. C.8 D.8.甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程（米）与所用的时间（分）的函数关系如图所示．给出下面四个结论：①比赛全程1500米；②2分钟时，甲、乙相距200米；③乙到达终点时，甲距离终点还有150米；④3分40秒时，乙追上甲．上述结论中，所有正确选项的序号是（）A.②③④ B.①③ C.①②④ D.①③④二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9.已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是_________．10.一次函数的图象经过一、二、四象限，则_________0（填“”或“”）．11.为了解某校初二年级200名女生的跳绳情况，从中随机抽取40名女生进行调查，体育委员统计了60秒跳绳的次数，列出如下频数分布表：次数频数348205根据以上数据，估计全年级女生跳绳次数在范围的女生的人数共_________．12.一元二次方程的解为_________．13.菱形的对角线，交于点，，，则菱形的周长为________．14.若点都在一次函数的图象上，则________（填“”或“”）．15.设，是关于x的方程的两个根，且，则______．16.如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形．给出下面四个结论：①当时，点的纵坐标是10；②点与原点距离的最小值是6；③若点在轴正半轴上，则点的横坐标是6；④若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是2．上述结论中，所有正确的结论的序号是_________．三、解答题（本题共68分，第17，19-21，25-26题，每小题6分，第18，24题，每小题5分，第22-23题，每小题4分，第27-28题，每小题7分）17.解方程：（1）（配方法）；（2）．18.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，中三个顶点的坐标为，，．（1）请画出与关于原点成中心对称的图形（，，的对应点分别为，，）；（2）将以点为旋转中心顺时针旋转得到的图形为（，，的对应点分别为，，），请画出，并写出的坐标．19.已知函数，解决下列问题：（1）画出此函数的图象；（2）根据图象直接写出当时，的取值范围．20.如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．21.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于轴的直线交于点．（1）求这个一次函数的解析式及点的坐标：（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．22.【课本再现】下面是直角三角形关于斜边中线的一个性质定理及证明此定理的两种添加辅助线的方法：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图1，在中，，点为斜边的中点，连接．求证：．方法一：如图2，延长到点、使，连接，．方法二：如图3，过点作，交于点，，交于点．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程．23.某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率．24.某数学小组在主题为折纸中的数学活动课上，进行了如下的实践操作：如图①，一张矩形纸片．【实践操作1】步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为；步骤二：然后左右对折，折痕为；步骤三：将原纸片展开还原后，连接，，，．如图②所示得到四边形．【实践探索1】（1）①四边形的形状为_________；②判定四边形的形状的依据是_________．【实践操作2】步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折；步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕；步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图③所示，得到四边形．【实践探索2】（2）判断四边形的形状，并加以证明．25.数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整：（1）函数的自变量的取值范围是_________：（2）下列表格是与几组对应值：…………直接写出的值_________；（3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）：（4）结合函数图象，发现函数的下列特征：①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）；②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围．26.某校图书馆为了解八年级学生的阅读习惯，以便优化图书采购与阅读推广策略，随机抽取八年级名学生，调查他们本学年（月至次年月）的课外书籍借阅数量．将借阅数量（单位：本）分为个区间，具体分组如下表：组别借阅数量（本）整理数据如下：

a．借阅数量频数分布表如下表：借阅数量（本）频数频率60.150.251480.2020.05合计401b．借阅数量频数分布直方图如图：（1）填空：_________；_________；（2）补全频数分布直方图；（3）抽取的名学生的中位数落在区间_________内；上四分位数落在区间_________内；（填写、、、、中的字母）（4）若规定学年借阅数量在本以上（包括本）为阅读活跃者，学校计划对阅读活跃者进行表彰．如果八年级共有名学生，请估算八年级阅读活跃者大约有多少人？27.已知菱形，对角线与交于点，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．（1）当时，判断的形状，是_________三角形；（2）猜想的度数：_________，并证明；（3）直接用等式表示线段，，之间的数量关系．28.在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，对于平面内点和点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在正方形上，称点为正方形的创新点．（1）已知点的坐标为．①如图1，在点，，中，正方形的创新点是_________；②如图2，若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围；（2）如图3，点，直线：．若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）题号12345678答案BABDCBAD二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9.【答案】【详解】解：∵点，点与点关于轴对称，∴点的坐标为．10.【答案】【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限，∴．11.【答案】名【详解】解：由频数分布表可得，样本中跳绳次数在范围的频数为，根据用样本估计总体的方法，估计全年级该范围的女生人数为：（名）．12.【答案】，【详解】解：，

因式分解得：，

可得或，

解得：，．13.【答案】20【详解】解：四边形是菱形，对角线，交于点，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，菱形的周长为.14.【答案】【详解】解：将，代入，得，将，代入，得，因为，所以．故答案为：．15.【答案】8【详解】解：，是关于x的方程的两个根，，，，，即，则，故答案为：．16.【答案】②④##④②【详解】解：如图，连接，，∵，，∴，，∴，∵四边形是正方形，∴，，，∴，由旋转性质可知：，当时，，此时三点共线，三点共线，如图，∴，∴轴，由旋转性质可知，∵，∴，∴纵坐标为8，故①错误；如图，连接，∵，，∴，∴当点三点共线时，有最小值6，故②正确；若在轴正半轴上，如图，过作轴于点，在中，，，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴点的横坐标是，故③错误；如图，过作轴于点，过作轴于点，连接，交于点，则，同理可得：，∴，，设，，∴，∴，即，∵直线将正方形分为面积相等的两部分，∴直线过正方形中心，即点在上，∴，解得：，∴纵坐标为2，故④正确．综上所述，正确的结论是②④．三、解答题（本题共68分，第17，19-21，25-26题，每小题6分，第18，24题，每小题5分，第22-23题，每小题4分，第27-28题，每小题7分）17.【答案】（1），（2），【小问1详解】解：解得，；【小问2详解】解：∴或解得，．18.【答案】（1）如图所示：（2）如图所示：坐标：．【小问2详解】解：画出略，坐标：．19.【答案】（1）列表：描点并连线：（2）（2）将与代入解析式求出对应，结合一次函数增减性确定时的范围．【小问2详解】解：由图可得时，．20.【答案】（1）详见解析；（2）13．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四边形BMDN是平行四边形；（2）∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM=BN，∵CD=AB，CD∥AB，∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，∵∠CEM=∠AFN=90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN=EM=5，在Rt△AFN中，AN===13．21.【答案】（1），；（2）．【小问1详解】解：一次函数由平移得到，，，图象经过点，，解得，一次函数解析式为：，过且平行于轴的直线为，令代入，，解得，点的坐标为；【小问2详解】解：由题意得：∴，，，，∵要保证时，恒成立，．22.【答案】方法一证明：延长到点，使，连接，，为中点，，，四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，，， ，，，；方法二证明：过点作，交于点，，交于点，，，四边形是矩形，∴，，，∴，，是中点，，∴，∴，垂直平分，，是中点，，23.【答案】【详解】解：设参赛人数的年平均增长率为，则，解得：，（舍），答：参赛人数的年平均增长率为．24.【答案】（1）菱形，四条边相等的四边形是菱形；（2）四边形是菱形，证明如下：∵矩形，∴，∴，∵折叠使与重合，折痕，∴垂直平分，∴，，在和中，，∴（），∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形．【小问1详解】解：由折叠可得，，∴四边形是菱形，故①四边形的形状为菱形；②判定四边形的形状的依据是四条边相等的四边形是菱形；25.【答案】（1）（2）1；（3）如图，（4）①减小；②或【小问1详解】解：由题意可得，解得，∴自变量的取值范围是．【小问2详解】解：当时，；【小问3详解】略【小问4详解】解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小；②如图，过点，作一次函数，由图可知，当时，的取值范围：或．26.【答案】（1），；（2）补全频数分布直方图如下：（3）C，D；（4）人．【小问1详解】解：，；【小问2详解】略【小问3详解】解：解法一：组累计频数，两组累计频数，三组累计频数，总数据共40个，∴40个数据从小到大排序后，第20、21个数据都落在区间C，中位数为第20、21个数据的平均数，∴中位数落在区间C；∵总数据共40个，中位数为第20、21个数据的平均数，∴上四分位数为后20个的中位数，即是第30、31个数据的平均数，∵三组累计频数，、四组累计频数，∴第30、31个数据的平均数大于第个数据，∴上四分位数落在区间D．解法二：总数据共40个，，中位数为中位数为第20、21个数据的平均数，∴第20、21个数据都落在区间C，∴中位数落在区间C；，∴上四分位数为第30、31个数据的平均数，∵三组累计频数，、四组累计频数，∴第30、31个数据的平均数大于第个数据，上四分位数落在区间D．【小问4详解】解：估算八年级阅读活跃者人数（人），答：八年级阅读活跃者大约有人．27.【答案】（1）等边（2），证明如下：四边形是菱形，，，平分，，∴，，绕逆时针旋转得，，，，，，，，为等边三角形，，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；（3）．【小问1详解】解：四边形是菱形，，菱形为正方形，，，线段绕点逆时针旋转得到，，，，，，，是等边三角形；【小问2详解】略【小问3详解】解：菱形对角线，，，∴，∴，由（2）得，，过作于，∴，，∴，∴，∵，∴，即，∴．28.【答案】（1）①点，；②；（2）或．【分析】（1）①先将正方形四顶点绕分别顺、逆时针旋转，得到点的全部边界范围，再对比三个给定点坐标，判断落在范围内的点即为创新点．②求出旋转后点的完整矩形区域，再求直线与该正方形有交点时的最值，进而确定的取值．（2先把正方形四顶点绕顺、逆时针旋转，得到含参数的点正方形区域，再联立直线与正方形边界，求解直线与区域存在交点时的临界值，最终整合的取值