【苏科】2026版《同步教学课件》3.2 勾股定理的逆定理（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

3.2勾股定理的逆定理

第三章

勾股定理

学

习

目

标23经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之间的关系，发展推理能力.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形，发展应用意识．了解勾股数的概念，熟悉常用的勾股数．1问题引入

四千多年前，古埃及人在建造金字塔时，他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4份、5份的长度做边长，用木桩钉成三角形，他们认为其中一个角就是直角，你知道为什么吗？新知探究

逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的内容是什么？你能说出它的逆命题并判断真假吗？勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．新知探究

逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．条件结论分析：1.这个命题的条件是什么？结论是什么？2.直角三角形的判定方法有哪些？3.如何构造一个已知是直角三角形的图形，这个图形的边长与已知三角形的边长有直接关系？有一个角是直角．构造辅助直角三角形与原三角形的边长对应相等．新知探究已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且a2＋b2＝c2．求证：△ABC是直角三角形．AbaCBc证明：作一个△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝a，

A′C′＝b．根据勾股定理，得

A′B′2＝a2＋b2.∟A′baC′B′因为

AB2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB根据“SSS”，可知△ABC

≌△A′B′C′.于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形．新知归纳CABabc

如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的逆定理符号语言：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.典例分析例1

△ABC的三边长分别是a，b，c且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1．△ABC是直角三角形吗？证明你的结论．最长边证明：是直角三角形，∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1．c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1．∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形.讨论归纳运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤是什么？找：确定三角形的最长边；算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形.新知巩固(1)a＝8，b＝15，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15．1.下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角．解：(1)在△ABC中，∵a2＋b2＝82＋152＝64＋225＝289，c2＝172＝289，∴a2＋b2＝c2．∴△ABC是直角三角形，∠C是直角．(2)在△ABC中，∵a2＋b2＝132＋142＝365，c2＝152＝225，∴a2＋b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形．新知巩固(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；

(2)

a:b:c=3:4:5．解：(1)在△ABC中，∵∠A＝25°，∠C＝65°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－25°－65°＝90°．∴△ABC是直角三角形.(2)设a＝3k、b＝4k、c＝5k(k＞0)，∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形，∠C是直角.2.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形．讨论归纳判断一个三角形是否是直角三角形有哪些方法？用角判定：

1．两个锐角互余的三角形是直角三角形；2．有一个角是90°的三角形是直角三角形．用边判定：如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断．新知应用你知道古埃及人构造的三角形为什么是直角三角形了吗？3份4份5份如图，∵32＋42＝52，∴这个三角形为直角三角形．新知归纳如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数．勾股数必须同时满足两个条件：

1．三个数都是正整数；2．两个较小数的平方和等于最大数的平方．写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律．典例分析例2已知：a，b，c为正整数，且a2＋b2＝c2．求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数．证明：∵a2＋b2＝c2，∴(ka)2＋(kb)2＝k2a2＋k2b2＝k2(a2＋b2)＝k2c2＝(kc)2．∵a，b，c，k为正整数，∴ka，kb，kc为正整数.∴ka，kb，kc构成勾股数.新知巩固1.下列各组数是勾股数吗？为什么？(1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12．解：(1)∵122＋152＝144＋225＝369，182＝324，∴122＋152≠182．∴12，15，18不是勾股数．(2)∵112＋602＝121＋3600＝3721，612＝3721，∴112＋602＝612．∴11，60，61是勾股数．新知巩固1.下列各组数是勾股数吗？为什么？(1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12．解：(3)∵152＋362＝225＋1296＝1521，392＝1521，∴152＋362＝392．∴15，36，39是勾股数．(4)∵122＋352＝144＋1225＝1369，362＝1269，∴122＋352≠362．∴36，35，12不是勾股数．新知巩固2.已知直角三角形的三边长分别是a，b，c下列说法是否正确？(1)以长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形；证明：(1)说法正确．假设直角三角形的斜边为c，则有a2＋b2＝c2，∵(2a)2＋(2b)2＝4a2＋4b2＝4(a2＋b2)＝4c2＝(2c)2．∴以长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形.新知巩固

典例分析例3

如图，AD是△ABC的中线，AD＝24，AB＝26，BC＝20．求AC的长．ABCDABD

新知巩固1.一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60.求这个三角形的面积.

新知巩固2.计算图中四边形ABCD的面积．∟CABD12161525

新知巩固3.如图，AD⊥BC，垂足为D.

如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由.CABD∟解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°.∴在Rt△ADC中，AC2=AD2＋DC2＝22＋12＝5.

在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝22＋42＝20.∵AC2＋AB2＝20＋5＝25，BC2＝52＝25.∴AC2＋AB2＝BC2.∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°.124思维提升观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b＝________，c＝________；(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值；180181解：(2)通过观察知c－b＝1，∵(2n＋1)2＋b2＝c2，∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2，∴b＋c＝(2n＋1)2.又∵c＝b＋1，∴2b＋1＝(2n＋1)2，∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1.思维提升(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．解：不是．理由如下：由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1为一组勾股数．当n＝7时，2n＋1＝15，112－111＝1，但2n2＋2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．讨论归纳勾股定理与其逆定理有什么区别与联系？勾股定理勾股定理的逆定理图形条件结论区别联系AbaCB∟在Rt△ABC中，∠C＝90°a2＋b2＝c2“直角三角形”为条件，数量关系a2＋b2＝c2为结论.是直角三角形的性质.AbaCBc都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2+b2=c2有关在△ABC中，