七年级数学北师大版上册知识点总结带关键习题

七年级数学是初中阶段数学学习的重要开端，它不仅是小学数学的延伸，更是后续更复杂数学知识的基础。为了帮助同学们更好地掌握北师大版七年级上册数学的核心内容，我们对各章节的知识点进行了系统梳理，并配以关键习题，希望能为大家的学习提供有力的支持。第一章丰富的图形世界本章旨在引导同学们从生活中常见的物体入手，认识基本的几何体，并学习图形的构成要素。1.1生活中的立体图形知识点：*常见几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱（如三棱柱、四棱柱）、球等。*几何体的构成：点、线、面。面有平面和曲面之分；线有直线和曲线之分。面与面相交得到线，线与线相交得到点。*棱柱与棱锥：棱柱有两个互相平行且全等的底面，侧面是长方形（直棱柱）。棱锥有一个底面，侧面是三角形。关键习题：1.请说出下列物体类似于哪些几何体：*篮球：__________*课本：__________*铅笔（未削尖部分）：__________*金字塔（模型）：__________（答案：球；长方体；圆柱；棱锥）2.一个棱柱有12个顶点，它是几棱柱？它有多少条棱？多少个面？（思路：n棱柱有2n个顶点，3n条棱，(n+2)个面。12个顶点则n=6，所以是六棱柱，有18条棱，8个面。）1.2展开与折叠知识点：*正方体的表面展开图：正方体有6个面，将其表面沿某些棱剪开，可以展开成平面图形。注意不是所有的六个正方形组合都能折成正方体。*常见立体图形的展开：圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。关键习题：1.下面哪个图形是正方体的表面展开图？（）A.一个“田”字格图形B.四个正方形排成一行，上下各一个正方形（且不在同一直线上）C.三个正方形排成一行，两端各一个正方形分别在同侧（答案：B。提示：“田”字格、“凹”字形、“7”字形（特定情况）等不能折成正方体。）1.3截一个几何体知识点：*截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面的形状与几何体的形状以及截面的角度和方向有关。*常见几何体的截面：正方体可以截出三角形、四边形、五边形、六边形；圆柱可以截出圆形、椭圆形、长方形；圆锥可以截出圆形、椭圆形、三角形。关键习题：1.用一个平面去截一个圆锥，不可能得到的截面形状是（）A.圆B.三角形C.长方形D.椭圆（答案：C）1.4从三个方向看物体的形状知识点：*三视图：从正面、左面（或右面）、上面三个不同方向看一个物体，然后描绘出所看到的图形，即主视图、左视图（或右视图）、俯视图。*由三视图还原几何体：根据三视图的形状和大小，可以想象出原几何体的大致形状。关键习题：1.一个几何体的三视图都是正方形，那么这个几何体是__________。（答案：正方体）2.一个几何体的主视图和左视图都是三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是__________。（答案：圆锥）第二章有理数及其运算本章是初中数学的重要基础，引入了负数，将数的范围扩展到有理数，并学习有理数的四则运算。2.1有理数知识点：*正数与负数：大于0的数叫做正数，在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数。0既不是正数也不是负数。*有理数的定义：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。*有理数的分类：*按定义分：整数、分数。*按性质分：正有理数、0、负有理数。*数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。*相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等。*绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。*正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。*互为相反数的两个数的绝对值相等。关键习题：1.在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：-3，1.5，0，-1.5，2。（思路：先在数轴上找到各点，再根据数轴上右边的数总比左边的数大进行比较。大小关系：-3<-1.5<0<1.5<2）2.若|a|=5，|b|=3，且a<b，求a、b的值。（思路：由|a|=5得a=5或a=-5；由|b|=3得b=3或b=-3。因为a<b，所以a只能是-5，b可以是3或-3。即a=-5，b=3或a=-5，b=-3。）2.2有理数的加法知识点：*有理数加法法则：*同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。*异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。*一个数同0相加，仍得这个数。*加法运算律：*交换律：a+b=b+a*结合律：(a+b)+c=a+(b+c)关键习题：1.计算：(-12)+(+3)+(+8)+(-7)（思路：利用加法交换律和结合律，将正数与正数相加，负数与负数相加。原式=[(-12)+(-7)]+[(+3)+(+8)]=(-19)+11=-8）2.3有理数的减法知识点：*有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。关键习题：1.计算：(-5)-(-3)-(+2)-0（思路：将减法转化为加法。原式=(-5)+(+3)+(-2)+0=[(-5)+(-2)]+3=(-7)+3=-4）2.4有理数的乘除法知识点：*有理数乘法法则：*两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。*任何数与0相乘，积仍为0。*乘法运算律：*交换律：a×b=b×a*结合律：(a×b)×c=a×(b×c)*分配律：a×(b+c)=a×b+a×c*有理数除法法则：*除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。*两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。关键习题：1.计算：(-4)×(+1/2)×(-3)（思路：先确定符号，负负得正，所以结果为正。再计算绝对值：4×1/2×3=6。原式=6）2.计算：(-18)÷(-3/2)×(+2/3)（思路：除以一个数等于乘以它的倒数。原式=(-18)×(-2/3)×(2/3)=(18×2/3)×(2/3)=12×(2/3)=8）2.5有理数的乘方知识点：*乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作aⁿ。其中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。*乘方的符号法则：*正数的任何次幂都是正数。*负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。*0的任何正整数次幂都是0。*科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。关键习题：1.计算：(-2)³-(-3)²（思路：先算乘方，再算减法。(-2)³=-8，(-3)²=9。原式=-8-9=-17）2.用科学记数法表示：光的速度约为每秒____千米。（答案：3×10⁵千米/秒）2.6有理数的混合运算知识点：*运算顺序：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减。2.同级运算，按照从左到右的顺序进行。3.如果有括号，先算括号里面的。关键习题：1.计算：-1⁴-(1-0.5)×1/3×[2-(-3)²]（思路：注意-1⁴与(-1)⁴的区别，-1⁴=-1。原式=-1-0.5×1/3×(2-9)=-1-(1/2×1/3)×(-7)=-1-(1/6)×(-7)=-1+7/6=1/6）第三章整式及其加减本章主要学习代数式、整式的概念，以及整式的加减运算，是代数学习的基础。3.1字母表示数知识点：*字母可以表示任何数，用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算律和计算公式等。关键习题：1.设某数为x，用含x的代数式表示：*比某数的3倍大5的数：__________*某数与它的1/2的和：__________（答案：3x+5；x+1/2x或(3/2)x）3.2代数式知识点：*代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。*代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果叫做代数式的值。关键习题：1.当a=2，b=-1时，求代数式3a²b-2ab²+ab的值。（思路：将a、b的值代入代数式计算。原式=3×(2)²×(-1)-2×(2)×(-1)²+(2)×(-1)=3×4×(-1)-2×2×1+(-2)=-12-4-2=-18）3.3整式知识点：*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。*系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。*次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。*项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。*次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。*整式：单项式和多项式统称为整式。关键习题：1.指出下列整式的系数和次数：*-5x²y：系数__________，次数__________*3a³b²-2ab+1：次数__________，常数项__________（答案：-5，3；5，1）3.4整式的加减知识点：*同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。*合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。*合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。*去括号法则：*如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。*如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。*整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。关键习题：1.化简：3(2x²-y²)-2(3y²-2x²)（思路：先去括号，再合并同类项。原式=6x²-3y²-6y²+4x²=(6x²+4x²)+(-3y²-6y²)=10x²-9y²）2.先化简，再求值：(5a²-3b²)+(a²+b²)-(5a²+3b²)，其中a=-1，b=1。（思路：先化简。原式=5a²-3b²+a²+b²-5a²-3b²=(5a²+a²-5a²)+(-3b²+b²-3b²)=a²-5b²。当a=-1，b=1时，原式=(-1)²-5×(1)²=1-5=-4）第四章基本平面图形本章将学习线段、射线、直线以及角等基本平面图形的概念和性质。4.1线段、射线、直线知识点：*线段：有两个端点，可度量长度。*射线：有一个端点，向一方无限延伸，不可度量长度。*直线：没有端点，向两方无限延伸，不可度量长度。*基本事实：*两点确定一条直线。*两点之间，线段最短。*两点间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。*线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。关键习题：1.如图，点C是