2.5 极限存在准则 两个重要极限 连续复利

01极限存在准则02两个重要极限公式03连续复利04单利与复利的终值与现值05普通年金的现值与终值第五节极限存在准则两个重要极限连续复利

在前面我们系统学习了极限的基本性质和运算法则，这节将通过极限存在准则确立严谨的理论框架，作为应用准则的例子，还将讨论两个重要极限：一、极限存在准则准则

如果数列,

,满足下列条件:

（2）,那么数列的极限存在，且（1）I证

由于数列收敛于，数列也收敛于.依据数列极限的定义，对于任意给定的正数,

当

时，成立；当

时，同时存在正整数

，存在正整数

，

成立；现取，那么当

时，和

同时满足即与同时成立.所以当

时，有即成立.又因为数列的每一项

介于和之间这表明

如果，且则准则

和准则

称为夹逼准则.上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限.例2-27

求解

而所以准则

Ⅱ

单调有界数列必有极限.几何解释：类似地存在例

2-28已知数列，，，，求解

（1）证明数列有下界.已知，且所以数列

有下界得：，有（2）证明数列单调递减.因此数列

单调递减.存在.根据单调有界收敛准则，设两边同时取极限，得(舍).解得因此，现以为例，将相应的准则叙述如下：

设函数在点的某个左领域内单调并且有界，则在的左极限必定存在.相应于单调有界数列必有极限的准则Ⅱ，函数极限也有类似的准则.，准则在变量的不同变化过程有不同的形式.

二、两个重要极限公式（1）证

函数

除

外对其他

都有定义.设圆心角点处的切线与

的延长线相交于,又

，则因为所以即

（或

）

上面的不等式对于

也成立.下面证明

当时，由准则

，有所以由不等式（1）及准则，即得利用变量代换，可导出上述极限的一般形式：例2-29

求解

例2-30求解

例2-31

求解

例2-32求解

令，则当时，(2)下面考虑

取正整数,且趋于

的情形.设

，现证明数列是单调有界的.按牛顿二项公式，有19因此，.所以数列

是单调增加的

数列

是有界的

根据准则Ⅱ

数列必有极限，有当

时，有而根据准则，得利用变量代换，可导出上述极限的一般形式定理1设幂指函数，则例2-33

求解

例2-34求解

例2-35确定，使

解

因此三、连续复利设一笔贷款

（

称本金），年利率为

，则两年末的本利和

年末的本利和一年末的本利和如果一年分

期计息，年利率仍为

，则每期利率为

，且前一期的本利和为后一期的本金，则一年末的本利和年末的本利和上式称为

年末本利和的离散复利公式.如果计息期数,即利息随时计入本金（称为连续复利），则年末的本利和为离散复利和连续复利公式中的

称为现在值或现值，称为将来值

.已知

求，称为复利问题；已知

求，称为贴现问题；这时称利率

为贴现率.某大学生为了购买某品牌手机，向某无金融监管资质的网络贷款平台借款10000元.平台广告标明：“借款1000元，日利息仅一瓶矿泉水价格（0.2%）”.约定借款期限为一年，按日复利计息.到期需一次性还清全部本息.请你计算一年后该同学需要偿还的总金额，并运用复利知识分析其还款负担.分析

该贷款采用每日复利计息方式.本金为10000元，日利率为0.2%，一年按365天计算，一年后的本利和为例2-36因此一年后需要偿还约20736元.若换算为等效连续复利年利率,使得与每日复利一年后的结果相同,解得因此连续复利的年利率约为72.927%，远高于常规贷款利率.对比单利计算，​​一年后需要偿还的总金额约为则复利比单利多支付约3436元由此可见，单利的借款成本已属高昂，而​复利的利滚利效应更为可怕​​，最终还款金额翻倍；日利率0.2%看似很小，但复利效应极易陷入债务困境​​。所以建议消费者理性评估自身还款能力，避免资金需求而承担不合理的债务风险.四、单利与复利的终值与现值(1)单利终值是指现在的一笔资金在单利计息方式下，按照给定其中

是终值

，是本金（现值），

是利率，

是计息期数.

例如，本金

元，年利率

，期限

年，那么单利终值的利率和计息期数，在未来某个时间点的价值.计算公式为现值

是指未来一笔资金在单利计息方式下的现在价值.它是终值的(2)复利终值

是指现在的一笔资金或一系列收付款项按复利计息方式，被称为复利终值系数，记作在未来某个时间点的价值.计算公式为逆运算，计算公式为例如，本金

元，年利率

，期限年，复利终值

现值

是指未来的一笔资金或一系列收付款项按复利计息方式计算所得到的现在的价值.它是复利终值的逆运算，计算公式为被称为复利现值系数，记作五、普通年金的现值与终值普通年金

又称后付年金，是指各期期末收付的年金.如等期等额普通年金终值

是一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和.偿还贷款、等期等额发放养老金、每年相同的销售收入等，都属于普通年金收付形式.假设每年的支付金额为

，利率为，期数为,计算公式

为例如，假设每年年末存入银行100元，连续存3年，银行存款利率为其中

称为年金终值系数，记作.1.85

%，则第3年末积累的钱数

已调整存款利率普通年金现值

是指一定期间内每期期末等额的系列收付款项的现值之和.假设每年的支付金额为,利率为，期数为

，计算公式为其中